勾股定理论文
一.勾股定理的简介
勾股定律是初等几何的著名定理之一。直角三角形两直角边上正方形面积的和等于斜边上正方形的面积,即如果直角三角形两直角边长度为a 和b ,斜边长度为c ,那么a^2+b^2=c^2。此定理很早已被发现。古埃及人在4500年前建造金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时,就广泛地使用勾股定理。古巴比伦(公元前1800到1600年)的数学家也提出许多勾股数组。数学史上普遍认为最先证明这个定理的是毕达哥拉斯,所以很多数学书上把此定理称为毕达哥拉斯定理。中国古代称直角三角形的直角边为勾和股,斜边为弦,故此定理称为勾股定理.
二.勾股定理在求角问题中的应用
在初中数学当中,有些求角问题使用常规方法难以解决,而使用勾股定理则能够很快地解决。因此,将在求角问题中充分应用勾股定理便有着实质性的作用。例题2:在等边△ABC 中,有一点P ,已知PA 、PB 、PC 分别等于3、4、5,试问∠APB 等于多少度?解:把△APC 绕着点A 旋转,旋转至△ABQ ,让AB 和AC 能够重合;此时,AP =AQ =3,BQ =PC =5,,∠PAQ =∠BAC =60°;所以,△PAQ 是等边三角形;所以,PQ =3;在三角形PBQ 当中,PB 、BQ 分别等于4、5,所以,三角形PBQ 是直角三角形,其中∠BPQ =90°;所以,∠APB =∠BPQ +∠APQ =90°+60°=150°。
三.勾股定理在实际问题中的应用
对于勾股定理,还能够解决实际问题,并且这些实际问题都是在日常生活中可以看到的。例题4:一棵小树高为4米,现有小鸟A 停留在树梢上,此时小鸟B 停留在高20米的一棵大树树梢上发出友好的叫声,已知大树与小树的距离为12米,如果小鸟A 以4m/s的速度飞往大树树梢,试问:小鸟A 至少需要多长时间才能够与小鸟B 在一起?解:如图4,根据题干的已知条件可知,AC =16m ,BC =12m ,由勾股定理得:AB2=AC2+BC2=162+122,求得AB =20m ;所以,小鸟A 所需时间为20/4=5秒。笔者认为,利用勾股定理解决实际问题,需要弄清题意,进而对题目中所涉及的直角三角形找出来,然后结合勾股定理进行求解。在例题4中,最主要的步骤便是依照题意,结合勾股定理,然后画出大树与小树之间的直角三角形,在充分利用已知条件的基础上,便能够使问题有效解决。
四.勾股定理的别名
勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样,世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究,因此有许多名称。
我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000
多年,据记载,商高(约公元前1120年) 答周公曰“勾广三,股修四,经隅五”,其意为,在直角三角形中“勾三,股四,弦五”.因此,勾股定理在我国又称“商高定理”.在公元前7至6世纪一中国学者陈子,曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾,日高为股,勾、股各乘并开方除之得邪至日。 在法国和比利时,勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。
在陈子后一二百年,希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理.为了庆祝这一定理的发现,毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.
前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。
五.勾股定理的证明
【证法1】(项明达证明)
做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b (b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ,交AC 于点P. 过点B 作BM ⊥PQ ,垂足为M ;再过点F 作FN ⊥PQ ,垂足为N.
∵ ∠BCA = 90°,QP ∥BC ,
∴ ∠MPC = 90°,
∵ BM ⊥PQ ,
∴ ∠BMP = 90°,
∴ BCPM 是一个矩形,即∠MBC = 90°.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °, ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,
∴ ∠QBM = ∠ABC ,
又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c, ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA.
同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF.
【证法2】(赵浩杰证明)
做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a 、b (b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF ,AE 为边长做正方形FCJI 和AEIG ,
∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,
∴FI=a,
∴G,I,J 在同一直线上,
∵CJ=CF=a,CB=CD=c,∠CJB = ∠CFD = 90°, ∴Rt ΔCJB ≌ Rt ΔCFD ,
同理,Rt ΔABG ≌ Rt ΔADE ,
∴Rt ΔCJB ≌ Rt ΔCFD ≌ Rt ΔABG ≌ Rt ΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
∵∠ABC= 90°,
∴G,B,I,J 在同一直线上,
【证法3】(欧几米得证明)
做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H 、C 、B 三点在一条直线上,连结 BF 、CD. 过C 作CL ⊥DE ,交AB 于点M ,交DE 于点L. ∵ AF = AC,AB = AD ,∠FAB = ∠GAD ,
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ,
∵ ΔFAB 的面积等于,
ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半,
∵ 正方形ADEB 的面积 = 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积
∴ ,即a²+b²=c²
【证法4】欧几里得的证法
《几何原本》中的证明在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC 为一直角三角形,其中A 为直角。从A 点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形。
此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下: 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS 定理) 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。 证明的概念为:把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
其证明如下:
设△ABC 为一直角三角形,其直角为CAB 。 其边为BC 、AB 、和CA ,依序绘成四方形CBDE 、BAGF 和ACIH 。 画出过点A 之BD 、CE 的平行线。此线将分别与BC 和DE 直角相交于K 、L 。 分别连接CF 、AD ,形成两个三角形BCF 、BDA 。 ∠CAB 和∠BAG 都是直角,因此C 、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B 、A 和H 。 ∠CBD 和∠FBA 皆为直角,所以∠ABD 等于∠FBC 。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC ,所以△ABD 必须相等于△FBC 。 因为 A 与 K 和 L 是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD 。 因为C 、A 和G 有共同线性,所以正方形BAGF 必须二倍面积于△FBC 。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2。 同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2。 把这两个结果相加, AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL,BD ×BK + KL×KC = BD(BK +
KC) = BD×BC 由于CBDE 是个正方形,因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。
六.总结
勾股定理在几何学当中占有非常重要的地位,它不仅仅只是一种解决数学问题的定理那么简单,它还与我们的日常生活息息相关。在数学教学过程中,学习勾股定理进行解题,不但能够提高学生解题的效率,而且还能够让学生对生活引发思考,从而在学习数学过程中,体会到生活与数学学科的密切联系,进一步为数学在生活中的实际应用奠定良机。