第!&卷第%期
沈阳师范大学学报
（自然科学版）
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拉格朗日中值定理的新证明
孟宪吉，王
瑾
（沈阳师范大学数学与系统科学学院，辽宁沈阳&）&
摘要：拉格朗日中值定理是微分学中一个应用广泛的重要定理+本文从拉格朗日中值定理
高等代数、空间解析几何知识有机的结合起来，改变的几何意义出发，通过几何直观，把数学分析+
传统的构造函数差的方法，通过构造新的函数（行列式函数）得出定理的新证明，并给出了此种构造方法的推广+
关键词：中值定理；辅助函数；向量；行列式中图分类号：文献标识码：.&)!/&0
（（））来证明拉格朗日中值定理的，多数教材都是通过构造函数!（
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（（））（为任意常数）论得证)事实上，构造!（
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值定理)这自然启示我们：无论通过何种方式，只要构造函数满足罗尔定理即可)找到辅助函数满足罗尔在定理条件，从几何意义上讲，就是找到一种几何量（斜率、角度、长度、面积等），它在点,、-值相等，结合图&不难发现：曲线上任意一点
.到直线,-的距离/.0/恰好是具有这样性质的几何量，进一步与距离/.0/相关的由点.与弦,-组成的!显.,-面积也具有在点,、-值相等性质)然，在坐标平面上利用空间解析几何知识是求面积由向量矢量积的几何意义，可推导出下的最好途径)面引理)
引理：在平面直角坐标系中，已知!,-0三个
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（（），（（），（（），则!（顶点的坐标分别为,’，’）-&，&）0+，+）,-0面积为1!&）&&$$$$,-0#!
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（（，），证明：把平面直角坐标系扩充为空间直角坐标系，则,、-、0三点坐标分别为,’，’）
收稿日期：!
作者简介：孟宪吉（，男，辽宁辽阳人，沈阳师范大学讲师，硕士+&()#*）
第$期
孟宪吉等：
拉格朗日中值定理的新证明
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于是我们得到关于定理的新证明%
（-）满足：（）在闭区间［上连续，（）在开区间（内可导，那么在拉格朗日定理：若函数#)，
证明：如图#，设（（）是直线&%，%）!与.&##（-）从&点开始的第一个交点，则构造
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易验证0（-）满足罗尔定理条件：在［)，%］上内可导；且0（（则存在!#连续；在（)，%）)）%）’0（，使0（)，%）1’!!）
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沈阳师范大学学报（自然科学版）
第$!卷
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在上面的探求过程中，是将数形相结合，考虑实际背景刻意构造函数
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［］%总之，“数学的发展并非是无可怀疑与反驳的复杂过程”，多方面的思考问题更有助于学生思维能力的提高和创新意识的培养&参考文献：
［］华东师范大学数学系&数学分析（上）［’］北京：高等教育出版社（第二版），!&!((!&
［］同济大学应用数学系&高等数学（上）［’］北京：高等教育出版社（第五版），$&$
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拉格朗日中值定理的新证明
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
孟宪吉， 王瑾
沈阳师范大学,数学与系统科学学院,辽宁,沈阳,110034
沈阳师范大学学报(自然科学版)
JOURNAL OF SHENYANG NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)2003，21(4)4次
1.华东师范大学数学系 数学分析 19912.同济大学应用数学系 高等数学 20023.郑毓信 数学方法论 1996
4.党宇飞 促使思维教学进入数学课堂的几点作法[期刊论文]-数学通报 2001(01)5.王爱云 高等数学课程建设和教学改革研究与实践[期刊论文]-数学教育学报 2002(02)
1.期刊论文 李冬梅 利用参数变导法引入证明中值定理的辅助函数 -辽宁师范大学学报(自然科学版)2004,27(2)
微分学中有3个著名的中值定理,其中在Lagrange中值定理的证明过程中,引入了辅助函数,然后由Rolle中值定理来证明Lagrange中值定理.这个突如其来的辅助函数很难让学生理解和接受.文中从一个全新的角度,利用参数变异法引入辅助函数,攻克了教学难点.
2.期刊论文 李声锋.张相蓉 微分中值定理应用中构造辅助函数的两种方法 -安徽电子信息职业技术学院学报2004,3(3)
本文重点介绍了在微分中值定理的应用过程中,如何构造辅助函数,从而使问题的解决更加便捷,有一定独到之处.
3.期刊论文 吴静.Wujing Rolle中值定理应用中辅助函数的构造 -科技信息（科学·教研）2008,
Rolle中值定理是研究函数在区间上整体性质的一个有力工具,本文主要介绍在应用Rolle中值定理时构造辅助函数的两种方法.
4.期刊论文 邹国辉 中值定理或命题证明中辅助函数构造的几种思路 -九江学院学报（自然科学版）2005,20(1)
在现行人大版教材中证明拉格朗日中值定理时,首先构造一个辅助函数,然后验证辅助函数满足罗尔定理的假设条件,最后利用罗尔定理的结论得出拉格朗日定理的证明.我认为关键是弄清楚如何构造这个辅助函数,一旦辅助函数构造出来了,剩下的只是一些验证演算了.
5.期刊论文 刘瑛.LIU Ying 中值定理中逆推法构造辅助函数 -河南教育学院学报（自然科学版）2005,14(2)
介绍了一种基于罗尔定理用逆推法来构造辅助函数的方法,它是从结论出发,逆推而上,构造出辅助函数.
6.期刊论文 宋向荣.陈梦华.SONG Xiangrong.CHEN Menghua 谈几类中值定理辅助函数的构造方法 -榆林高等专科学校学报(综合版)2001,11(2)
给出三类中值定理辅助函数的构造方法.
7.期刊论文 丁仰彰 如何构造辅助函数--浅谈中值定理及相关命题的证明 -泰州职业技术学院学报2002,2(2)
证明微分中值定理及相关命题时,如何构造辅助函数,本文作了一些探讨,提出了构造辅助函数的一般思路,对现有教材中的方法提出了不同意见.
8.期刊论文 游学民
高等数学中有关
9.期刊论文 赵芳玲.ZHAO Fang-ling Lagrange中值定理的证明 -西安航空技术高等专科学校学报2007,25(1)
通过从Lagrange中值定理的结论、条件、几何意义三个方面的分析,提出了构造辅助函数的思路和方法,并利用辅助函数证明了Lagrange中值定理.
10.期刊论文 宋振云.许新华.陈少元.SONG Zhen-yun.XU Xin-hua.CHENG Shao-yuan 运用向量构造辅助函数证明拉格朗日中值定理 -湖北职业技术学院学报2008,11(3)
文章从拉格朗日中值定理的几何意义出发,通过几何直观,利用向量运算构造适合罗尔中值定理条件的辅助函数.应用罗尔中值定理得到了拉格朗日中值定理的简捷证明.
1.宋振云.陈少元.涂琼霞 微分中值定理证明中辅助函数的构造[期刊论文]-高师理科学刊 2009(2)2.龚东山.牛富俊 首次积分法在微分中值定理证明中的应用[期刊论文]-石家庄学院学报 2008(6)
3.宋振云.许新华.陈少元 运用向量构造辅助函数证明拉格朗日中值定理[期刊论文]-湖北职业技术学院学报2008(3)
4.赵芳玲 Lagrange中值定理的证明[期刊论文]-西安航空技术高等专科学校学报 2007(1)
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下载时间：2010年8月8日