编号
学士学位论文
利用微积分求极限的简捷方法
学生姓名：玛依热姆·图尔迪 学 系 专 年 号：[1**********] 部：数学系 业：数学与应用数学 级：08-1 班
指导教师：姑丽巴哈尔·穆罕默德艾力 完成日期：2013 年 5 月 10 日
摘要
本论文主要介绍了利用导数定义，微分中值定理，洛必达法则，泰勒公式， 积分中值定理，定积分定义，广义积分定义求极限的方法等几种方法分别讨论 了如何利用微积分计算初等函数（三角函数，反三角函数，对数函数，指数函 数，幂函数，常数函数）和非初等函数（被积函数）的极限.例如，通过导数定 义和微分中值定理来解决幂函数；利用微分中值定理来解决反三角函数；利用 定积分定义来解决常数函数；通过积分中值定理和广义积分定义来解决被积函 数. 其次讨论了上述所说的定义的应用和计算方法，定理的证明，且给出了 13 个例题．
关键词：导数；微分；积分；微分中值定理；积分中值定理
1
目
录
摘要 ........................................................ 1 引言 ........................................................ 3 1.利用微分求极限的特殊方法 ..................................... 3 1.1 利用导数的定义求极限的方法 .................................. 3 1.2 利用微分中值定理求极限的方法 ................................ 4 1.3 利用洛必达法则求极限的方法................................... 6 1.4 利用 Taylor 公式求限的方法 ................................... 8 2.利用积分求极限的特殊方法 .................................... 11 2.1 利用定积分定义求极限的方法 ................................. 11 2.2 利用积分中值定理求极限的方法 ............................... 14 2.3 利用广义积分定义求极限的方法 ............................... 16 总结 ....................................................... 17 参考文献 .................................................... 19 致谢 ....................................................... 20
2
引言
极限理论是微积分学的基础理论，贯全整个微分学，要学好微积分必须认 识和理解极限理论，这是解决微积分问题的基本方法. 微积分的基本思想和基本方法与极限始终有着密不可分的联系.在学习中 若能掌握好极限的使用，对学好微积分有着很大的帮助. 通常我们使用的教材只能计算出一些常见的，简单的式子的极限，但对于 一些复杂式子的计算过程不仅麻烦， 而且有可能导致无法计算.这会使我们在教 学过程中遇到较大的障碍，为了在教学过程中简化运算，本文主要介绍了利用 导数定义，微分中值定理，洛必达法则，泰勒公式，定积分定义，积分中值定 理，广义积分定义求极限的方法等 7 种利用微
积分求极限的简便方法.
1.利用微分求极限的特殊方法
1.1 利用导数的定义求极限的方法
定义 1 （导数的定义）设函数 y f x 在点 x0 的某领域内有定义，若极限
x x0
lim
f x f x0 x x0
1
存在，则称函数 f 在点 x0 处可导，并称该极限为函数 f 在点 x0 处的导数， 记作
f x0
.
令 x x0 x , y f x0 x f x0 则 1 式可改写为
f x0 x f x0 y lim f x0 ． x x0 x x 0 x lim
3
e e e 例 1:求极限 lim ，其中 n 为自然数． x x0 n
x 2x nx
1 x
解:令 f x ln e x e 2 x e nx ，则 f 0 = ln n ，故
1 e x e 2 x e nx ln e x e 2 x e nx ln n lim ln lim x0 x 0 x n x0
lim
x 0
f x f 0 f 0 x0
ln e x e2 x enx ln n
从而，原式 =
e
1 e x e 2 x e nx lim ln x0 x n
1
=e
x0
lim
x 0
= e f 0 = e n ．
例 2：求极限 lim x cot 2 x 2 x 2 1 解：取 f ( x ) tan 2 x ，则 lim x cot 2 x cot 2 x 2 x 2 x 1 2 lim 1 lim x tan 2 x x tan 2 x tan 2 x tan(2 ) 2 2 2 lim x x 2 x 2 2
lim
x 2
1
f ( x) f ( ) 2 x
1
f ( ) 2
1
2
2sec (2 ) 2
1 1 2 2 1 2
2
1.2 利用微分中值定理求极限的方法
定理 1 (拉格朗日中值定理)若函数 f 满足如下条件：,
4
i f 在闭区间 a，b 上连续； ii f 在开区间 a，b 内可导，
则在 a， b 内至少存在一点 C ，使得
f b f a f a b a b a ，
0 1 ．
证 :作辅助函数
x f x f a
f b f a ba
x a ．
已知函数 x 在 a， b 上连续，在 a， b 内可导，又有 a b 0 根据罗尔定理，在 a， b 内至少存在一点 C ，使 c 0 ．而
x f x
即， f c
f b f a ba
．
于是
c f c
f b f a 0. ba
f b f a 2 ba
因为不论 a b 或 a b ，比值 成立，即 f c
f b f a ，或 f b f a f cb a ，在 C 在 a 与 b
之间． ba
f b f a 不变，所以 2 式对 a b 或 a b ， ba
因为 c a，b 0， ，使 c a b a ，所以 2 式也常写为 1
f b f a f a b ab a ， 0 1 ．
例 3 :计算 lim 解 ：
e x e sin x ． x 0 x sin x
假设 f x e x
e x e sin x f x f sin x x sin x f sin x x sin x
5
x sin xe sin x xsin x
lim
x sin x e sin x xsin x e x e sin x lim x 0 x sin x x 0 x sin x
lim esin x xsin x e 0 1 ， 0 1 x0
lim
e x esin x 1. x 0 x sin x
1.3 利用洛必达法则求极限的方法
在极限的四则运算中， lim
x x 0
lim f ( x ) x x f ( x ) g ( x ) lim g ( x )
0
x x 0
lim 成立的条件是： f ( x),lim g ( x) 必须都存在，且 lim g ( x ) 0
x x0
然而，当 lim f ( x ) lim g ( x ) 0 时，就不能其他方法去计算极限
f ( x) f ( x) 0 lim ，这时 lim g ( x ) 这个极限分别称为未定式“ ”型或未 x x0 g ( x) x x0 0
定式“ “
”型未定式，将利用柯西定理得求这些未定型求极限的简单而实用 的方法，称为洛必达法则. 0 众所周知，在数学分析和高等数学中， L, Hospital 法则是“ ”“ ”等型 ， 0 不定式极限计算的有效方法. 0 型未定式 0
0 cot x sin x ”型。例如，lim 是“ ”型的未定式， lim 是 x 0 ln x 0 x0 x
例 4：求 lim 2
x
arctan x sin 1 x
0 解：这是 型未定，于是 0
6
x
lim 2
arctan x sin 1 x
lim
1 1 x2 lim x 1 1 cos 2 x x
x2 1. 1 x 1 x 2 lim cos x x 1
型未定式
ln sin mx ln sin nx 解： limlnsin mx limlnsin nx ,
例 5：求 lim x0
x0 x0
此极限是
型的；
m cos mx sin mx
(ln sin mx) lim
x 0
，
(ln sin nx )
n cos nx sin nx
ln sin mx m cos mx sin nx m sin nx m n lim lim 1 x 0 n sin mx cos nx x 0 sin mx ln sin nx n n m
0 有时候对于 “ ”型不定式极限利用 L, Hospital 法则计算不了它的极限. 0
x sin x 比如：求 lim x x sin x
0 显然，此题是“ ”型不定式，若分子分母分别求导，则得 0
x sin x 1 cos x x sin x lim = lim ，从题可以看出 lim 不存在，所以 x x sin x x 1 cos x x x sin x x sin x 用 L, Hospital 法则不能判断 lim 的值. x x sin x
7
sin x 1 x sin x x lim 1 0 1 . 因为 lim = lim x x sin x x 1
sin x x 1 0 x
所以使用 L, Hospital 法则求极限时应注意以下两个问题：
lim f ( x ) 0 x x0 （1）每次使用 L Hospital 法则前必须检验函数 是否属于“ ”或 lim g ( x ) 0 x x0
,
“
0 ”型不定式，若不是“ ”或“ ”不定式，则不能用此法则. 0
f '( x) (2)若经检验能使用 L, Hospital 法则，但求出的 lim 不存在时并且不为 x a g '( x) f '( x ) 时，不能判定 lim 是否存在，此时不能应用 L, Hospital 法则，使用其它 g '( x ) xa
求极限的方法进一步求解.
1.4 利用 Taylor 公式求限的方法
泰勒公式是数学分析中重要内容之一.实际上泰勒公式在证明，极限计算方
, 面有着广泛而独特的应用.很显然，当用 L Hospital 法则计算问题时，便可多
次反复使用此法则.有时有些问题不简捷反而变的复杂，导致复杂的运算过程， 甚至计算不出来这些问题.应用 Taylor 公式来计算这种极限是十分方便的. 首先讨论下面的例题：
cos x e
例 6：求极限 lim x0
2 x 2
x4 12
x2 2
x6
cos x e
0 分析:此题为“ ”型不定式，为求 lim 0 x0
8
x6
x4 12 应该接连以用
L, Hospital 法则六次（或六次求导分子分母每一项）.
cos x e
解 ：
x2 2
lim x0
2
x6
x 2
2
x -sin x xe 12 ( 0 ) ＝ lim 0 x 6 x5
3
4
-
x2 2
x3 3 (0) 0
x2 2
= lim
cos x x e 30 x 4 x0
x
2
0 sin x x e 3xe ( ) lim 0 x0 120 x 3
x 2
2
x2 2
2x 0 ( ) 0
= lim
cos x x e
x 2 4
2
6x
2
e
3e
x 2
2
x0
360 x 2
2 0 ( ) 0
x2 2
= lim x0
sin x x5e
x2 2
10 x 3e 720 x
x2 2
15 xe
0 ( ) 0
x2 2
lim x0
cos x x 6e
x2 2
15x 4e 45x 2e 720
x2 2
15e
2 x 2
14 7 720 360
对次问题应用 Taylor 公式，由于
e
x2 2
x2 x4 x6 x2 x4 x6 6 0( x 6 ) 1 0( x ) ,cos x 1 2 24 720 2 8 48
，把展开式代入函数中，得 cos x e
x2 2
cos x e lim x0
x2 2
x6
7 6 x4 x 0( x 6 ) 7 12 lim 360 ; 360 x0 x6
x4 7 6 x 0( x 6 ) 12 360
从上面的例题可以看出，Taylor 公式是非常有用的工具.有时对于有些极 限问题采用 L, Hospital 法则， 将会遇到比较繁杂的求导运算， 这时候运用 Taylor 公式来解决这些问题就可以把问题更简便.
9
例 7 ：计算极限 lim x0
ln(1 sin 2 x) x 2 sin 4 x
sin 4 x 1 ，所以 ln(1 sin 2 x ) 的带有 Peano 型余项的 分析：因为 lim 4 x0 x
Taylor 展开式只要取到 x4 项即可.
1 解 ：由于 ln(1 sin 2 x ) sin 2 x sin 4 x 0(sin4 x ) 2
因此 lim x0
ln(1 sin 2 ) x 2 sin 4 x
1 sin 2 x sin 4 x 0(sin 4 x) x 2 2 = lim x0 sin 4 x 2 sin 2 x x x4 1
4 1 4 sin x sin x 2 x x2 sin 2 ) lim lim 2 x0 x 0 x4 x4 x4
= lim ( x0
sin 2 x x 2 1 1 I = lim 4 2 2 x0 x sin 2 x x 2 lim 由于 I lim x0 x0 x4
2 x 4 0( x 4 ) 1 3 lim 3 x0 2 x4
sin 2 x x2 I lim x0 x4
2 x2 2 4 x 0( x 4 ) 2 x 2 3 2 x4
lim x0
ln(1 sin 2 x) x 1 1 1 5 I . 2 3 2 6 sin 4 x
10
2.利用积分求极限的特殊方法
2.1 利用定积分定义求极限的方法
积分和的极限简称为定积分．所以计算某一式子的极限时，若能把此式子 表示出某一个被积函数，在某一区间内的积分和，则此式子的极限就是我们所 选定的被积函数在它定义某一区间内的定积分． （定积分定义）设 f 是定义在 a， b 上的一个实值函数.若存在某
定义 2
一实数 J ，使得任给 0 ，总存在相应的 0 ，当对 a， b 所作的分割 T 的细 度 T 时，属于 T 的一切积分和 f i xi 都满足
i 1 n
f x J
i 1 i i
n
则，称函数 f 在 a， b 上黎曼可积，记作
f Ra，b
数 J 称为 f 在 a， b 上的定积分或黎曼积分，记作
J f x dx
b a
用极限记号来表示定积分，则写成
a f xdx lim0 f i xi T
b i 1
n
3
例 8： 利用定积分定义求极限 ；
1 1 1 lim J n n 1 n2 2n
11
解: 把此极限式化为形如 3 式的积分和的极限，并转化为定积分计算，为此作 如下变形：
1 n 1 i 1 1 n n 1 不难看出，其中的和式是函数 f x 在区间 0， 上的一个特殊的积分 1 1 x J lim
i i 1 i 1 ， ；取 i ， ，i 1 2. n ，由于 f 在 0， 上 1 n n n n
n
1
和 T 为 n 等分割，xi
满足牛顿-莱布尼茨公式的条件，故由定积分定义和牛顿-莱布尼茨公式求得
J
1 1 dx ln 1 x ln 2 0 1 x 0
1
定理 2
若函数 f x ， f x 在 a， b 上连续，且有
b
n f x dx
a
1 ba n ba f a k n ，则 lim nn 2 b a f a f b n n k 1
证 :因为函数 f x 在 a， b 上连续，所以 f x 在 a， b 上可积，把 a， b 分成 n 个小区间
n
, a x0，x1， ，xn b ，
ak
b
a
f x dx
ba n ba a k 1 k 1 n n ak
f x dx
所以 n
ba n ba a k 1 k 1 n
f x dx
ba n ba f a k n n k a
n ba
ba n ba a k 1 k 1 n n ak
b a a k n f x a k ak 1ba f x dx k 1 n n
b a f a k dx n
ba ba ，a k 其中 k a k 1 n n
sup 令 inff x mk， f x M k
12
ba ba 又因为 x a k 1 ,a k ，因此 n n
ba ak n ba a k 1 n
ba ba ba x n a k n x dx a k n x 2 a k 1 b a n 2
2
ak
1ba 2 n
且 mk f k M k
ba ba ba mk a k x f k a k x Mk a k x n n n
b a n ba a k 1 k 1 n n ak
n a k ba ba mk a k x dx n ba f k a k x dx a k 1 n n k 1 n
b a
ba n ba a k 1 k 1 n n ak
ba Mk a k x dx n
ba
ba n ba a k 1 k 1 n n ak
n ak ba ba mk a k x dx n n b a M k a k x dx a k 1 n n k 1 n
2 n
1ba 2 n
2 n
1ba mk n 2 n k 1
M
k 1
k
n n 1 b a mk b a nn 1 b a M k b a 2 n 2 n k 1 k 1
因为 f x 在 a， b 上连续，所以 f x 在 a， b 上可积，
lim mk
n k 1 n n b ba ba lim M k f x dx f b f a a n n n k 1
所以 lim nn
n
1 b a f a f b ． 2
13
例 9： 计算 lim e n
n
n 4
n 1 2
1 ， ,3 n 2
1 2 3
1 n n
．
解 : 令 f x x ln x， a，b 0,1 ，则 把区间 0，分成 n 小区间，即 1
0
x ln xdx 4
0
1
1
1 2 n 1 n 1 n n n n
n x ln xdx
0
1
1 n k k 1 1 n ln n 4 n 2 n k 1
k ln k ln n
k 1
n
1 1 2 4 n
k ln k
k 1
n
ln n n 1 1 k 2 2 n k 1 4 n
k ln k
k 1
n
n 1 ln n 2n
n 1 n n 1 nn k ln k ln n 4 n k 1 2
由定理 2，有
n 1 n 1 n 1 lim nn lim k ln k ln n f 0 f 1 0 n n 2 4 n k 1 2
n n2 1
1 2 3 4 又 lim ln e n 1 ， ,3 n n 2 n
1 n
0
lim e 4 n
n
n
n 1 2
1 ， ,3 2
1 2
3
n n
1 n
1 ．
2.2 利用积分中值定理求极限的方法
定理 3 （推广的积分第一中值定理）若 f 与 g 都在 a， b 上连续，且 g x 在 a， b 上不变号，则至少存在一点 a，b ，使得
f x g x dx f g x dx
b b a a
5
14
证 :不妨设 g x 0 ， x a，b .这时有
mgx f xg x Mgx ， x a，b ，
其中 M， m 分别为 f 在 a， b 上的最大，最小值.由定积分的不等式性质， 得到
m g x dx f x g x dx M g x dx .
b b b a a a
若 g x dx 0 ，则由上式知 f x g x 0 ，从而对任何 a，b ， （5）
b b a a
式都成立．若 g x dx 0 ，则得 m
b a
f x g x dx M . g x dx
b a b a
由连续函数的介值性，必至少有一点 a，b ，使得
f x g x dx ， f g x dx
b a b a
f x g x dx f g x dx .
b b a a
例 10:
计算 lim x n 2 x dx ．
n 0
1
解 :令 f x 2 x ， g x x n ，因知 f x ， g x 在 0， 上满足上述定 1 理的条件．所以由推广的积分第一中值定理，有 1 1 1 n n 0 x 2 xdx 2 0 x dx 2 n 1 0 1 1 1 lim x n 2 xdx lim 2 0. 0 n n n 1 例 11： 证明： lim
n
xn dx 0 ． 0 1 x
1
1 证明 : 由推广的积分第一中值定理，存在 0， ，使得
15
0
xn 1 dx 0 1 x 1
1
1
0
xn dx
1 xn1 1 1 n 1 0
1 1 1 1 1 1 0 1 n 1 1 n 1 n 1
1
xn 1 lim 0 lim dx lim 0. n 0 n 0 1 x n n 1
故
lim
n
xn dx 0 . 0 1 x
1
2.3 利用广义积分定义求极限的方法
定理 3 （广义积分定义） 设函数 f x 在无限区间 a， 上连续， b a ， 取
若极限 lim
b a
f x dx 存在，则称这个极限值为 f x 在无限区间 a， 上的广
b
义积分.记作
a
f x dx ,即
a
a
f x dx lim f x dx .
b b a
这时也称广义积分
f x dx 是收敛的．若上述极限不存在，则称广义积分
a
f x dx 发散．
类似地，函数 f x 在无限区间 ，b 上的广义积分定义为：
b
f
x dx lim f x dx
b a a
a b
函数 f x 在无限区间 ， 上的广义积分定义为：
f x dx f x dx
c
c
f x dx
其中 c 是任一有限数，仅当等式右端的两个广义积分都收敛时，左端的广义积 分才收敛；否则发散.
16
例 12： 解:
利用广义积分求极限 lim
a 2
a
dx x ln x
a 2
lim
a
a 1 a dx lim d (ln x ) lim ln | ln x | a 2 x ln x a 2 ln x
lim ln | ln a ln 2 |
x
例 13:
求下列广义积分：
0
1 dx ． 1 x 2 0 0 1 2x 0 2x e2 x 解:（1）由广义积分定义，有 dx alim a e dx alim e 2 a 1 1 1 1 0 2a 0 2a lim e e lim e lim e 1 0 a 2 2． 2 a 2 a
（1） e 2 x dx ； （2）
（2）由广义积分定义，有
c
c 1 1 dx lim 2 a 1 x2 a 1 x
c 1 1 1 dx dx dx 2 2 1 x 1 x c 1 x2 c lim arctan x lim arctan c arctan a a a a dx
lim arctan c lim arctan a arctan c
a a
2
c
b b 1 1 dx lim dx lim arctan x 2 2 b c 1 x b c 1 x lim arctan b arctan c lim arctan b lim arctan c
b b b
2
arctan c
c 1 1 1 dx dx dx 2 2 1 x c 1 x2 1 x
arctan c
2
2
arctan c .
17
总结
总之，利用上述方法可以比较简单地计算出一些比较复杂式子的极限，所 以这些方法可以看作计算极限的补充性算法. 在具体计算极限时往往很难找准计算的方法．要计算某一初等函数或非初 等函数的极限时，可以用一种以上的方法来解决．但又某一初等函数或非初等 函数的极限只能用一种方法，不适合其他方法．所以要计算某个式子的极限时， 我们应该善于辨别它所属于的类型，再讲行计算． 在本文中，介绍了通过导数定义和微分中值定理来解决幂函数；利用微分 中值定理来解决反三角函数；利用定积分定义来解决常数函数；又利用积分中 值定理和广义积分定义来解决被积函数等几种方法．利用本文中所介绍的上述 方法可以使我们在实际问题中遇到的一些复杂的初等函数和非初等函数的极限 计算变得更加简单，快捷且使我们很容易理解其内涵．所以上述的方法对于求 极限起到补充作用．
18
参考文献
[1]华东师范大学数学系.数学分析，上册（
第三版）.[M].北京：高等教育出 版:.88～219 页 [2]刘西坦， 李正元， 周民强， 林源梁.考研 2005 数学专项训练系列 （第三版） .[M]. 北京：机械工业出版社：48 页 [3]赵红海，李艳.极限的几种特殊求法.[J]. 张家口职业技术学院学报：2007. 第 20 卷（第一期） [4]毛羽辉.数学分析选论.[M].北京：科学出版社.89～107 页 [5]李承家，胡晓敏.数学分析全析精解（第三版）.[M].西北工业大学出版社： 92 页 [6] 苗群.微积分.[M].北京：科学出版社. 180～181 页 [7]宋清岳，王龙波，刘月兰. 高等数学.[M].山东大学出版社.85～86 [8]陈传璋，金福临编，数学分析（上、下册）第三版.高等教育出版社.62～68 [9]侯风波，蔡谋全．经济数学［Ｍ］．沈阳：辽宁大学出版社，2006：23～27 页，75 [10]冯丽珠，变形法求极限的变法技巧.武汉职业技术学院学报,2003 年 3 月， 35～36
19
致谢
在喀什师范学院的教育下经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到 了提高． 在姑丽巴哈尔老师的指导下我的毕业论文顺利通过， 她帮我批阅了好多次， 提供了这方面的资料和很好的意见，非常感谢她的帮助，在老师耐心的指导下， 我学会了论文的三步骤：怎么样开头，怎么样继续，怎么样结束． 非常感谢指导老师，也非常感谢我系的各位老师，在他们的教育下，使我 在各方面得到了很大的提高，为以后工作打下了良好的基础． 此致
敬礼 玛依热姆·图尔迪 2013 年 5 月 10 日
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