第23卷第3期V o l 123N o 13
济宁师范专科学校学报Jou rnal of J in ing T eachers’College
2002年6月Jun 12002
文章编号:1004-1877(2002) 03-0014-02
推导“拉格朗日方程”的另类方法
冯名诚
(济宁师专, 山东济宁272025)
摘 要:本文从质点系动能定理出发, 给出了拉格朗日第二类方程的另一推证方法, 其过程简便, 避免了繁杂的数学推算和不易理解的变分、惯性力等概念的使用, 充分体现了其物理实质:拉格朗日方程是质点系动能定理在广义坐标中的表述形式。
关键词:约束; 拉格朗日方程; 质点系动能定理; 广义坐标。中图分类号:O 174. 21 文献标识码:A
, 在引入不易理解的变, ]。由于拉格朗、, 我们尝试应用质点系动能定理, 在上述约束条件下推证拉格朗日方程, , 更重要的是在拉格朗日方程的建立和推证中实现其物理实质:拉格朗日方程是质点系动能定理在广义坐标中的表述形式。
设有n 个质点构成的受有k 个理想、完整、稳定约束的力学体系, 其自由度s =3n -k , 应用质点系动能定理可得:
n
dT =
_
∑F ・dr
i=1
i
__
i
(1)
_
T 为力学体系动能, F i 为第i 个质点所受主力(对理想约束来说, 约束反力虚功之和等于零) , dr i 是第i 个质点相对
惯性系的元位移。
引入s 个广义坐标q i , 则力学体系中第i 个质点的位置矢量、位移、速度分别为
_
_
r i =r i (q 1, q 2, …, q s )
d r i =∑(dq Α)
Α=15q Α
_
s
_
・=_r i
力学体系的动能
・
) ∑(q q
s
_
Α=1ΑΑ
・・T =T (q 1, q 2, …q s , ・q 1, q 2, …q s )
微分, 得
dT =∑(dq Α) +
Α=1q Α
又力学体系动能为 T =
2
s
s
・∑(d )
・q
Α=1
5q Α
Α
(2)
∑m
i=1n
n
i r i
_
2
=2
收稿日期:2001-03-08
) ]2∑m i [∑(・q Αi=1Α=15q Α
s
_
作者简介:冯名诚(1946-) , 男, 济宁师专副教授, 主要从事力学、理论力学的教学工作。
=2
n
∑a
Α=1Β=1
s
ΑΒq Αq Β
・・
) 其中a ΑΒ=∑(m i
i=1q Αq Β
T 是・q Α的二次齐次函数, 由齐次函数定理, 可得,
2T =
・) ∑(・q
Α=1
s
__
5q Α
Α
微分上式, 得
2dT =∑d () ・+
Α=1・q Α
5q Α
s s
・) d ∑(・q
Α=1
s
5q Α
Α
=
∑
Α=1
() q Α+dt ・
5q Α
・∑(d )
・q
Α=1
s
5q Α
Α
(3) , 可得力学体系动能的微分联立(2) 、
s
s
(3)
=1
s
(-dt q Α
q
Α=1
Α
Α
=
(-∑[dt
・
Α=1
5q Α
]dq Αq Α
(4)
又主动力的功为
∑F i ・dr i =∑[F i ・(∑dq Α) ]i=1i=1Α=1q Α
_
_
_
n
n
s
_
=∑(∑F i ・dq ]a=1i=1Α) Α
_
s
s n
_
=
n
∑Q
a=1
a
dq Α
(5)
其中Q Α=∑(F i ・) 称力学体系对应于广义坐标q Α的广义力。
i=1Α(4) 、(5) 整理得:由(1) 、
_
_
∑[
Α=1
s
() --Q a ]dq Α=0
dt ・q Α
5q Α
由于dq 1……dq S 是完全独立的。上式恒等的条件是:
() -=Q Α (Α=1, 2, ……s )
dt ・q Α
q Α5
这就是拉格朗日第二类方程的一般形式, 也称基本形式的拉格朗日方程。
若全部主动力是保守力, 则
Q Α=∑(F i ・)
i=15q Α
_
n n
_
==
∑(F
i=1n
ix
+F iy +F iz ) q Αq Αq Α
) --X i q ΑY i q Αz i q Α
∑(-i=1
5q Α
其中V 是力学体系的功能。基本形式的拉格朗日方程可改写为:
=-() -=0 (Α=1, 2, ……s )
dt q Αq Α
(下转第21页)
+-=2m 0c 2+E k +E k h Τ(11)
其次, 能量足够大的光子在重核附近才可能产生电子偶。因为碰撞前光子的动量不为零, 而碰撞后电子偶的总动量为零, 因此单纯一个光子产生一对电子偶是违反动量守恒的, 只有在原子核、光子、电子偶这个系统才能实现动量守恒。否则, 能量再大的光子也不可能产生电子偶。所以, 光子转化为电子偶是不可能在自由空间中实现。
再者, 光子只可能产生一对正负电子, 不可能只产生一个或三个电子。因为光子是中性的, 只有产生电子偶才可能满足电荷守恒定律。
3. 2电子偶的湮没
光子的能量可转换为静质量, 相反, 静质量也可以转换为光子的能量。正如电子在物质中运动时, 能量会被物质所吸收, 当运动速度小时, 和物质的电子相互吸引, 发生湮没而转化为一对光子。这种电子偶的湮没就是电子偶产生的逆过程, 同样这过程也遵循动量、能量、电荷守恒三大定律。
首先所产生的光子能量与电子偶静能量等值。其次, 为满足动量守恒, 电子偶湮没所产生是一对光子而不是单个光子, 因为电子偶的总动量为零, 湮没后只有产生一对光子, 总动量才可能为零, 而实现动量守恒(m ++m -) c 2=2h Τ。当然还可能产生更多的光子, 但实验告诉我们其几率很小的。再者, 在电子偶产生一对光子的过程中电荷也是守恒的。
4. 结 论
综上所述, 。
4. 1光电效应, 这是光子与束缚电子的相互作用, ) 因为它不满足动
量守恒定律。4. 2, , 实际上可看作是光子与自由电子的弹性碰撞。这时, 光
。
4. 3, 。但对自由电子, 这个效应无法
实现, 电子偶效应的逆效应是电子偶湮没。
当然, 实际上这三种效应不可能截然分开, 有时会出现几种效应交叉产生的情况, 这就要根据客观需要创造条件把他们区分开来。
参考文献
[1]杨仲耆. 大学物理学[M ],人民教育出版社, 1982. [2]李 椿, 夏学江. 大学物理[M ],高等教育出版社, 1995.
(责任编辑 刘汉忠)
(上接第15页)
其中拉格朗日函数L =T -V 。上式即为保守力学体系的拉格朗日方程, 简称拉格朗日方程。
上述推证, 避免了变分符号和惯性力的出现, 推证过程也有所简化, 更重要的是整个推证过程的物理指导思想明确, 思路清晰, 方法简炼, 方程的物理实质容易理解。从能量观点出发, 通过广义坐标表述动能定理, 显示了拉格朗日方程的物理实质:质点系动能定理在广义坐标中的表述形式[2]。在矢量力学中功能关系可表述为动能定理; 在分析力学中, 这种关系又可表述为拉格朗日方程, 这样, 在拉格朗日方程的建立和推证中就可清晰地体会到:分析力学注重的物理量不是力和动量, 而是具有广泛意义的能量(L 或T ) , 并且由于广义坐标甚至可以不具有原来坐标的含义。应用拉格朗日方程确定力学体系的方法具有更为普遍的适用意义。
参考文献
[1]周衍伯. 理论力学教程[M ]. 第五章, 高等教育出版社, 1985. [2]卢圣治. 分析力学基础[M ]. 大学物理, 1988(12) , P 35.
(责任编辑 刘汉忠)