２００７年 ３ 月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｏｆ Ｔｅａｃｈｅｒｓ′Ｃｏｌｌｅｇｅ ａｎｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｍａｒ． ２００７
文章编号：１００７－９８３１（２００７）０２－０００１－０２
几种可降阶的三阶变系数齐次
线性微分方程类型
张敬，周莉
（齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 １６１００６）
摘要：讨论了三阶变系数齐次线性微分方程可降阶的３个充分条件，它是文献［１￣２］中相关结论的改进和发展．
关键词：齐次线性微分方程；变系数；变换；降阶
中图分类号：Ｏ１７５．１ 文献标识码：Ａ
１ 引理
三阶变系数齐次线性微分方程虽没有统一适用的解法，但降阶无疑会使该种微分方程的求解得到简化． 本文所讨论的三阶变系数齐次线性微分方程的标准形式为
y ′′′+p (x ) y ′′+q (x ) y ′+r (x ) y =0 （１）
其中p (x ) ，q (x ) ，r (x ) 均为x 的连续函数．
引理１ 三阶变系数齐次线性微分方程（１）经过变换y (x ) =z (x ) e ∫ϕ(x ) d x （其中ϕ(x ) 为待定函数），可化为微分方程z ′′+A (x ) z ′+B (x ) z ′+C (x ) z =0的充分条件是：A (x ) =3ϕ(x ) +p (x ) ，B (x ) =3ϕ′(x ) +3ϕ2(x ) + 2p (x ) ϕ(x ) +q (x ) ，C (x ) =ϕ′′(x ) +3ϕ(x ) ϕ′(x ) +p (x ) ϕ′(x ) +ϕ3(x ) +p (x ) ϕ2(x ) +q (x ) ϕ(x ) +r (x ) ．
证明 由 y (x ) =z (x ) e ∫ϕ(x ) d x ，有y ′(x ) =[z ′(x ) +z (x ) ϕ(x )]e ∫ϕ(x ) d x ，y ′′(x ) ={z ′′(x ) +2ϕ(x ) z ′(x ) +[ϕ2(x ) + ϕ′(x )]z (x )}e ∫ϕ(x ) d x ，y ′′′(x ) ={z ′′′(x ) +3ϕ(x ) z ′′(x ) +[3ϕ2(x ) +3ϕ′(x )]z ′(x ) +[ϕ′′(x ) +3ϕ(x ) ϕ′(x ) +ϕ3(x )]z (x )} e ∫ϕ(x ) d x ．故微分方程（１）可化为z ′′(x ) +[3ϕ(x ) +p (x )]z ′′(x ) +[3ϕ′(x ) +3ϕ2(x ) +2p (x ) ϕ(x ) +q (x )]z ′(x ) +[ϕ′′(x ) + 3ϕ(x ) ϕ′(x ) +p (x ) ϕ′(x ) +ϕ3(x ) +p (x ) ϕ2(x ) +q (x ) ϕ(x ) +r (x )]z (x ) =0．
若令A (x ) =3ϕ(x ) +p (x ) ，B (x ) =3ϕ′(x ) +3ϕ2(x ) +2p (x ) ϕ(x ) +q (x ) ，C (x ) =ϕ′′(x ) +3ϕ(x ) ϕ′(x ) +p (x ) ϕ′ (x ) +ϕ3(x ) +p (x ) ϕ2(x ) +q (x ) ϕ(x ) +r (x ) ，则微分方程（１）可化为z ′′+A (x ) z ′+B (x ) z ′+C (x ) z =0． 证毕． ２ 主要结果
定理１ 三阶变系数齐次线性微分方程（１）满足q (x ) =2p ′(x ) ，r (x ) =p ′(x ) ，则可化为可降阶的微分方程：z ′′(x ) −2p (x ) z ′′(x ) +[p 2(x ) −p ′(x )]z ′(x ) =0.
证明 由引理，取ϕ(x ) =−p (x ) ，则ϕ′(x ) =−p ′(x ) ，ϕ′′(x ) =−p ′′(x ) ，有A (x ) =−2p (x ) ，B (x ) =−3p ′(x ) + p 2(x ) +q (x ) ，C (x ) =−p ′′(x ) +2p (x ) p ′(x ) −q (x ) p (x ) +r (x ) ．
若令C (x ) =0，则有q (x ) =2p ′(x ) ，r (x ) =p ′(x ) ，且B (x ) =p 2(x ) −p ′(x ) ，因此，若微分方程（１）满足定理条件，则可通过变换y (x ) =z (x ) e ∫p (x ) d x 化为可降阶的微分方程：z ′′(x ) −2p (x ) z ′′(x ) +[p 2(x ) −p ′(x )] z ′(x ) =0． 证毕． 收稿日期：２００６－０６－０１
基金项目：黑龙江省教育厅科学技术研究资助项目（１０５４１２８７）
作者简介：张敬（１９６９－ ），女，黑龙江齐齐哈尔人，副教授，硕士，从事常微分方程的可积性研究．Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｈａｎｇｊｉｎｇ６９７０＠１６３．ｃｏｍ
定理２ 三阶变系数齐次线性微分方程（１）满足：q (x ) =(2/9) p 2(x ) −xp (x ) ，r (x ) =x p ′(x ) +(1/3) p ′′(x ) −x 2p (x ) −(2/9) xp 2(x ) −x 3−3x ，则可化为可降阶的微分方程：z ′′−3x z ′′+[3x +3−p ′(x ) −xp (x ) − (1/9) p 2(x )]z ′=0．
证明 由引理，取ϕ(x ) =x −(1/3) p (x ) ，则ϕ′(x ) =1−(1/3) p ′(x ) ，ϕ′(x ) =−(1/3) p ′′(x ) ，有A (x ) =3x ， B (x ) =3+3x 2−p ′(x ) −(1/3) p 2(x ) +q (x ) ，C (x ) =x 3+3x +(2/27) p 3(x ) −(1/3) xp 2(x ) −(1/3) q (x ) p (x ) − x p ′(x ) −(1/3) p ′(x ) +xq (x ) +r (x ) ．
若令C (x ) =0，则有q (x ) =(2/9) p 2(x ) −xp (x ) ，r (x ) =x p ′(x ) +(1/3) p ′′(x ) −x 2p (x ) −(2/9) xp 2(x ) −x 3− 3x ，且B (x ) =3x 2+3−p ′(x ) −xp (x ) −(1/9) p 2(x ) ．
因此，若微分方程（１）满足定理条件，则可通过变换y (x ) =z (x ) e ∫[x-(1/3) p (x )]d x 化为可降阶的微分方程： z ′′−3x z ′′+[3x +3−p ′(x ) −xp (x ) −(1/9) p 2(x )]z ′=0． 证毕．
定理３ 三阶变系数齐次线性微分方程（１）满足： q (x ) =(1/3) p 2(x ) +p (x ) ，r (x ) =(1/3) p ′′(x ) −(1/3) p (x ) p ′(x ) −(5/27) p 3(x ) ，则可化为可降阶的微分方程：z ′′+(3/x ) z ′′=0．
证明 由引理，取ϕ(x ) =1/x −(1/3) p (x ) ，则ϕ′(x ) =−1/x 2−(1/3) p ′(x ) ，ϕ′′(x ) =2/x 3−(1/3) p ′′(x ) ，有A (x ) =3/x ，B (x ) =−p ′(x ) −(1/3) p 2(x ) +q (x ) ，C (x ) =(2/27) p 3(x ) −(1/3) xp 2(x ) −(1/3) q (x ) p (x ) −(1/x ) p ′(x ) −(1/3) p ′′(x ) +(1/x ) q (x ) +r (x ) ．
若令C (x ) =0，则有q (x ) =(1/3) p 2(x ) +p (x ) ，r (x ) =(1/3) p (x ) p ′(x ) +(1/3) p ′′(x ) −(5/27) p 3(x ) ，且 B (x ) =0．
因此，若微分方程（１）满足定理条件，则可通过变换y (x ) =z (x ) e ∫[x-(1/3) p (x )]d x 化为可降阶的微分方程： z ′′+(3/x ) z ′′=0． 证毕． ３ 实例
例１ 将微分方程y ′′′+[x /(1+x 2)]y ′+[3(1−x 2) /(1+x 2)]y ′−[2(3x +2x 3−x 5) /(1+x 2) 4]y =0化为可 降阶方程．
解 由于p (x ) =x /(1+x 2) ，则p ′(x ) =(1−x 2) /(1+x 2) 2，p ′′(x ) =(2x 5−4x 3−6x ) /(1+x 2) 4，显然有 q (x ) =2p ′(x ) ，r (x ) =p ′(x ) ．由定理１，利用变换y (x ) =z (x )(1+x 2) −1/2可将原方程化为可降阶方程z ′′−[2x /(1+x 2)]z ′′+[(2x 2−1) /(1+x 2) 2]z ′(x ) =0．
例２ 将微分方程y ′′′+3x y ′′+(3x 2+3) y ′−x (3+5x 2) y =0化为可降阶方程．
解 由于p (x ) =3x ，可验证q (x ) =(1/3) p 2(x ) +p ′(x ) =3x 2+3，r (x ) =(1/3) p ′′(x ) −(1/3) p (x ) p ′(x ) − (5/27) p 3(x ) =−5x 3−3x ．由定理３，利用变换y (x ) =z (x ) x e -x 2/2可将原微分方程化为可降阶方程z ′′+(3/x ) z ′′=0．
参考文献：
［１］ 孙景宏．二阶、三阶变系数线性微分方程可降阶的一个类型［Ｊ］． 信阳师范学院学报，１９９９，１０（４）：２１－２２．
［２］ 王彦海．高阶变系数线性微分方程的不变量解法［Ｊ］．北京教育学院学报，１９９９，１２（６）：１４２－１４４．
［３］ 卡姆克Ｅ． 常微分方程手册［Ｍ］．张鸿林，译．北京：科学出版社，１９７７．
Ｓｅｖｅｒａｌ ｔｙｐｅｓ ｗｈｉｃｈ ｃａｎ ｂｅ ｒｅｄｕｃｅｄ ｆｏｒ ｔｈｉｒｄ ｏｒｄｅｒ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ
ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｖａｒｉｅｄ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ
ＺＨＡＮＧ Ｊｉｎｇ，ＺＨＯＵ Ｌｉ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｑｉｑｉｈａｒ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｑｉｈａｒ １６１００６，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｔｕｄｉｅｄ ｔｈｅ ｒｅｄｕｃｅｄ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｗｈｉｃｈ ｔｈｉｒｄ ｏｒｄｅｒ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｖａｒｉｅｄ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ． Ｔｈｅｙ ａｒｅ ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔｓ ａｎｄ ｅｘｐａｎｓｉｏｎｓ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ［１￣２］． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｖａｒｉｅｄ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ；ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｒｅｄｕｃｅｄ ｏｒｄｅｒ
几种可降阶的三阶变系数齐次线性微分方程类型
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：张敬， 周莉， ZHANG Jing， ZHOU Li齐齐哈尔大学,理学院,黑龙江,齐齐哈尔,161006高师理科学刊JOURNAL OF SCIENCE OF TEACHERS' COLLEGE AND UNIVERSITY2007，27(2)1次
参考文献(3条)
1. 孙景宏 二阶、三阶变系数线性微分方程可降阶的一个类型[期刊论文]-信阳师范学院学报(自然科学版) 1999(04)
2. 王彦海 高阶变系数线性微分方程的不变量解法 1999(06)
3. 卡姆克 E. 张鸿林 常微分方程手册 1977
相似文献(10条)
1.期刊论文 孟红丽. 李文清. MENG Hong-li. LI Wen-qing 一类二阶变系数齐次线性微分方程的通解 -西南民族大学学报（自然科学版）2009,35(4)
通过变量代换, 将一类二阶变系数齐次线性微分方程化为常系数线性微分方程, 并求出在不同条件下的通解公式.
2.期刊论文 张敬. 齐秀丽. ZHANG Jing. QI Xiu-li 二阶变系数齐次线性微分方程的几个可积类型 -高师理科学刊2005,25(3)
利用不变量解法讨论了二阶变系数齐次线性方程可积的3个充分条件,它是文[1]和[2]中相关结论的改进和发展.
3.期刊论文 顾央青 一类变系数齐次线性微分方程的求解 -宁波职业技术学院学报2003,3(2)
对于一阶的变系数齐次线性微分方程,我们一般可用变量分离法求解,虽然对于二阶以上的变系数线性微分方程没有一般的求解方法,但对于某些类型,可以利用方程本身的特点,总结出较有规律的办法.本文针对变系数线性微分方程,总结出观察降阶法、化为常系数法、常数变易法等三种解法并就不同方法,举例作了说明.
4.期刊论文 曹根牛 二阶变系数齐次线性微分方程与黎卡提方程 -西安科技学院学报2004,24(2)
工程上有许多问题归结为求二阶线性变系数齐次微分方程y″+p1(x)y′+p2(x)y=0的解,但解这个方程一般情况下是比较困难的.就已知该方程一个解和已知黎卡提方程z′=-
[z2+p1(x)z+p2(x)]的一个解2种形式给出了该方程的通解的表达式,同时,又揭示了二阶线性变系数齐次微分方程与黎卡提方程的内在联系.
5.期刊论文 尚德生. SHANG De-sheng 一类变系数线性微分方程及其解 -大学数学2009,25(3)
根据常系数线性微分方程的求解原理,通过一个适当变换,研究了一类变系数线性微分方程及其解的问题,从而可以得到这类方程在特征根都是互异单根时的解法和通解,并对三阶方程的各种情况进行了较为详尽的讨论.
6.期刊论文 周玲. 张玲玲. ZHOU Ling. ZHANG Ling-ling 关于二阶变系数线性微分方程的求解方法 -安徽教育学院学报2007,25(3)
若知道二阶变系数齐次线性微分方程的一个非零特解,则可以求出它的通解.同时也能推导出相应的二阶变系数非齐次线性微分方程的通解.并且本文也给出了一些求二阶变系数齐次线性微分方程非零特解的构造方法.
7.期刊论文 刘琼 四阶变系数微分方程的可解条件 -杭州师范学院学报(自然科学版)2003,2(1)
研究了四阶变系数非齐次线性微分方程可化为特殊常系数线性微分方程的问题,从而避免了求解高次代数方程的困难.应用变量变换和分析技巧,得到了变系数微分方程具有某种形式的解的充要条件.
8.期刊论文 周玉平 二阶变系数线性齐次微分方程的可转化条件 -南京广播电视大学学报1999,""(4)
二阶常系数线性微分方程的可解性及解的结构已有详尽讨论.而对于变系数线性微分方程,除了几种特殊类型的方程可积分外,关于其可积类型的讨论仍是一个值得研究的课题.本文通过变量替换的方法,推导出二阶变系数齐次线性微分方程y″+P(x)y′+Q(x)y=0可转化为常系数微分方程或一些已知的可求解类型方程的充分条件.
9.期刊论文 朱美玲 求解变系数微分方程的一种方法 -太原城市职业技术学院学报2007,""(6)
常系数化在求解非齐次线性微分方程中有着重要的应用.本文给出了n阶变系数微分方程在不同情形下具体的因变量和自变量替换形式.指出了令在变系数微分方程的具体应用中的简便性,并得出了应用常系数化解二阶变系数非线性微分方程的方法.
10.期刊论文 裴东林 关于一类微分方程初等解法的讨论 -甘肃教育学院学报(自然科学版)2003,17(3)
著名的Riccati方程和二阶变系数齐次线性微分方程通常是不可积的,文[1]对这两类方程的初等解法进行了一些讨论,对文[1]的部分结果进行了推广,得到了更一般的结论.
引证文献(1条)
1. 田巍. 李奇 二阶常系数非齐次线性微分方程特解的特征根公式法[期刊论文]-高师理科学刊 2007(6)
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_gslkxk200702001.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：4fc60a0c-e715-4258-a78e-9dcc0168a847
下载时间：2010年8月8日