Ｉ Ｔ 技 术
２００９ ＮＯ．３５
科技创新导报
线性方程组的解的结构
刘勇
(大连交通大学理学院 辽宁大连 116028)
摘 要:本文对非齐次线性方程组进行了深入的讨论,并给出了另一种刻画非齐次线性方程组解的结构的方法,即只用自身的有限个解来表示全部的解。从而使非齐次线性方程组解的结构更加完善。关键词:线性方程组 线性无关 解的结构中图分类号:G642文献标识码:A文章编号:1674-098X(2009)12(b)-0033-01
线性方程组理论是线性代数最基本的内容之一,它在数学的各个领域及其他学科的各个分支都有着广泛的应用。研究线性方程组解之间的关系及解的结构是线性方程组理论的核心内容。齐次线性方程组解的结构可以通过自身的有限个解来表示其全部解。而在一般的线性代数教材中关于非齐次线性方程组解的结构则是借助于它的导出方程组的基础解系和它自身的一个解来表示。那么,非齐次线性方程组能否也像齐次线性方程组一样也用其自身的解来表示全部解呢？这是我们要讨论的问题。
设数域P上的线性方程组为
AX=B (1)对应齐次方程组可表为
AX=0 (2)若令α1,α2,L,αn为A的列向量则(1)还可表为x1α1+x2α2+L+xnαn=B,显然方程组(1)有解的充要条件是B可由α1,α2,L,αn线性表示。
在解决线性方程组有解的判定之后,进一步讨论线性方程组解的结构问题。在线性方程组解是唯一的情况下当然不存在什么结构问题。有许多解的情况下,所谓的解的结构问题就是解与解之间的关系问题。同样分两种情况:1.B=O
定理1设齐次线性方程组(2)有非零解即r(A)=r
定理2(齐次线性方程组解的结构定理)设齐次线性方程组(2)中,r(A)=r
2.B≠O
定理3(非齐次线性方程组解的结构定理)设非齐次线性方程组(1)中,
r(A)=r(A
%)=r
是非齐次线性方程组(1)的
导出η1方,η2程,L组,ηn(2)−r
的一个基础解系,那么非齐次线性方程组(1)的全部解为
γ0+k1η1+k2η2+L+kn−rη,
n−r
其中k1,k2,L,kn−r∈P。
r(A)=r(A
上述3个定理在一般的线性代数教材%)=r
如果γ1,γ2,L,γn−r+1是它的n−r+1个线现在,我们比较上述两种情况,齐次线性无关解,那么非齐次线性方程组(1)的全性方程组解的结构是通过自身有限个解来部解为:γ=k1γ1+k2γ2+L+kn−r+1γn−r+1,其表示全部解的,而非齐次线性方程组解的中k1+k2+L+kn−r+1=1。
结构则是通过导出方程组的基础解系和它这样,关于非齐次线性方程组解的结自身的一个解来表示的。那么,非齐次线性构我们有定理3和定理4两种表达形式。可方程组是否也可以用自身的有限个解表示以证明两个定理是等价的。
全部解呢？我们构想非齐次线性方程组(1)在有无穷多解时的另一种解的结构。
参考文献
引理1设非齐次线性方程组(1)有无穷
[1]陈志杰著.高等代数与解析几何[M].北
多解,即r(A)=r(A
%)=r
n−r+1个线性无关解。
[2]王德生著.高等代数与解析几何习题解
引理2设非齐次线性方程组(1)中
析[M].大连:辽宁师范大学出版社,2002.
r(A)=r(A
%)=r
如果γ1,γ2,L,γn−r+1是它的n−r+1个线育出版社,1994.
性无关解,则当k1+k2+L+kn−r+1=1时,
[4]蔡光兴著.线性代数[M].北京:科学出
γ=k1γ1+k2γ2+L+kn−r+1γn−r+1是非齐次线性
版社,2002.
方程组(1)的一个解。
引理3设非齐次线性方程组(1)满足r(A)=r(A
%)=r
程组(1)的任意一个解γ都是γ1,γ2,L,γn−r+1的线性组合:γ=k1γ1+k2γ2+L+kn−r+1γn−r+1,其中k1+k2+L+kn−r+1=1。
从引理1与引理3可以得到以下的结论:
非齐次线性方程组(1)中r(A)=r(A%)=r
η1,η2,L,ηn−r是齐次线性方程组(2)的一个基
础解系,则γ0,γ0+η1,γ0+η2,…,γ0+ηn−r线性无关且非齐次线性方程组(1)的任意解
可表示为:
nr
γ=k−0γ0+∑ki(γ0+ηi)i=1
,
其中k0+k1+L+kn−r=1
这并不是一个一般的结论。
现在,把上面这个结论进一步深化我们就得到了非齐次线性方程组在有无穷多解的时候如何用自身的有限个解来表示它全部解的方法。
定理4 (非齐次线性方程组解的结构定理)设非齐次线性方程组(1)中,
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