复变函数的精确之美
——学习复变的感想
对于理科类学科的学习而言，最重要的一点莫过于概念的清晰程度。因为所有的推导、证明以及应用，归根结底都是在基本概念的基础上衍生而来的。因此只有将相关概念真正理解同时牢记于心，才可以真正地走进一门学科，真正的领略一门学科的美妙与精华所在。 在我的理解看来，复变函数从某种意义上来说可以看成是大一所学的高等数学的一种延伸与拓展。在高等数学，也就是我们通常所说的微积分学中，我们所研究讨论的对象都是实函数，也就是函数的定义域与值域所代表的集合都是实数集合。这样的研究将许多生活中遇到的数学问题用实变函数的微分与积分表达出来，让我们能够很快地了解一些微积分中的基本概念、知识以及应用技巧。但是同时，实变函数的应用范围十分狭窄。尤其是电气工程等方面的计算和问题中，实变函数几乎可以算是毫无用武之地。因此为了能够更好地解决工程中遇到的问题，我们便对现有的实变函数进行了拓展延伸，创建了复变函数体系，并总结发现了一系列复变函数的定义、定理、方法以及技巧。
精确是所有理科研究学科，尤其是数学学科的一个重要特点，这一点在复变函数中也体现的尤为明显。复变函数是将复数域之间的映射的特点和关系进行全面系统的总结和归纳。其研究对象就是复数域之间映射的函数关系。因此在复变函数的研究中基本都是代数运算，
没有带数字之后为计算方便而出现约等的情况。当然复变函数的精确美远远不止表现与这些方面。
为了解决问题的方便，复变函数的研究中总结归纳了许多的定理和方法。但每一种的定理与方法都有其十分明确的适用范围和使用方法。这是为了保证它们在被使用于求解相应问题时不出现错用、误用而最终导致结果有偏差甚至完全错误。比如在我们在计算闭路积分时常运用的留数定理就有其很明确的适用范围。此外，复变函数在许多相似概念的区分上也做到了精确二字。如可导、连续以及解析之间的区别，在复变函数中就体现的尤为明显。
作为一门研究数的学科，复变函数对于结果的精确程度是有着相当高的要求的。在绝大部分问题上，复变函数的求解结果都是一个代数式或者函数式。也就是说这样的结果保证了求解的100%的准确度，过程中的每一个步骤都是严格按照数学上的公理以及定理进行推导和演算的，不存在任何意义上的误差。
但在有些问题上，复变函数为了求解的方便，经常采用极限以及逼近的思想。有部分人认为这便是复变函数中不精确的一大表现，而我认为恰恰相反。举一个最简单却也最典型的例子来说，复变函数与实变函数中都存在有级数展开这一运算方法。级数是表示解析函数，研究解析函数性质的有力工具，可以在解决某些特定问题时极大程度地简化运算过程。其核心思想是将函数通过相应定理展开成无数个对应的多项式之和，再借助多项式运算中的一些便利条件帮助我们解决相应的函数问题。可以说极限与逼近就是级数展开的精华所在。我认
为这样的数学思想非但不是不精确的表现，恰恰相反，这正是复变函数中为了追求能够更加精确的解决问题而探索出的一条极佳的解题方法。对于某些特定的复杂的函数问题，如果我们不采用级数方法对其进行研究，我们几乎无法获得函数的一些性质与特性，甚至我们连它的导数和积分都无法求得，更不要说在工程问题中应用这些函数来解决实际问题。而级数思想以严格证明过的极限逼近作为基础，即在n 趋近于无穷大时相应多项式的和与函数式完全等价的。因此以函数的级数展开形式作为研究对象是完全不会导致精确性降低的，反而能够为我们更加方便精确的研究和使用复变函数铺平了道路。
以上为本人本学期的复变函数期末总结论文。该论文只是就本人粗浅的学识和个人观点，对复变函数的一些特征和优越性作出浅显的分析以及点评，由于知识和能力有限，文章中必然有一些问题和许多不到位的地方存在，恳请老师批评指正。