轨迹方程的求法(2)

轨迹方程的求法（2）

【教学目标】

1、 知识目标：掌握求轨迹方程的参数法、交轨法、点差法；

2、 能力目标：通过一题多解，培养学生的发散思维能力与创新意识；

3、 情感目标：利用口诀教学，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心；通过感受点的轨迹的形成过程，树立运动变化的唯物主义观点。

【重点难点】

求轨迹方程的参数法、交轨法、点差法及数学思想．

【教法与学法】

通过新旧知识的联系引入新课，通过信息技术的应用让学生直观感受点的轨迹的形成过程，尽可能多地让学生观察，分析小结，教师只是加以点拨；充分调动学生的学习主动性，让学生体会从特殊到一般的归纳方法以及运动变化的思想．

【教学过程】

一、 知识回顾：求轨轨方程的参数法、交轨法、点差法。

二、 诠释方法：通过例题解答对求轨迹方程的常用方法进行诠释。

例1．设圆C：x1y21过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 2

解法四（参数法）参数法一：设动弦OQ所在直线方程为y=kx，与x1y21联立， 2得：1k2x22x0， 设O（x1,y1），Q（x2,y2），P（x,y）， 

x1x211x,x21k2 1k2k为参数 则kkykxy,1k21k2

11消去参数,得 xy2x0 24

参数法二： 设Q坐标为2x1cos为参数，则ysinP的坐标为

1cos2x1122，消去参数，得：x0 xy为参数，2k,kZsin24y2

小结参数法口诀：精心来把参数挑，表示动点两坐标，联立消参并化简，等价转化要记牢．

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y2

1，过点M（0，1）的直线l交椭圆于A、练习4：(2004年辽宁) 设椭圆为x42

B两点，O为坐标原点，点P满足

的轨迹方程． 1()，当直线l绕点M旋转时，求动点P2

解法五（交轨法）易见P为直线OQ与CP的交点的轨迹，设OQ方程为y=kx, ………①

CP⊥OQ CP方程为y1x1………② k

①×②得：y2xx1， 即x2+y2－x=0（x≠0）

小结交轨法口诀：定参数，写方程，求交点，消参成．

练习5：已知两点P（－2，2）、Q（0，2），及直线l：yx，设长为2的线段AB在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．（解答见《优化》P75例4交轨法） 解法六、（点差法）设O（x1,y1）,Q（x2,y2），P（x0,y0）,

x112y121则，两式相减得：x1x22x2x1y2y1y2y10， 22x1y122

x1x22xy2y1(x1x2)2 即又中点坐标公式有：  x2x1(y2y1)y1y2y2

斜率：kOQ11yyy21kOP， 故所求方程为xy2x0. x2x1x242

小结点差法口诀：设点代方程，作差因式分，中点坐标现，斜率自然成

x2

y21， 练习6：已知椭圆为2

（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．

（2）过点A（2，1）引椭圆的割线，求截得的弦的中点轨迹方程．

三、综合应用

例2（2007福建）如图，已知点F(1，0)，

直线l:x1，P为平面上的动点，过P作直线 l的垂线，垂足为点Q，且QPQFFPFQ，

求动点P的轨迹C的方程；

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例3（07湖南）已知双曲线x2y22的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与

O为坐标原点）双曲线相交于A，B两点，若动点M满足FM，F1AF1BFO11（其中

求点M的轨迹方程。

四、小结归纳

①直接法：建系设点，明示条件，代入坐标，化简完善．

②定义法：抓定义，定曲线，求系数，写方程．

③代入法：老点新点两相承，寻求关系式联呈，解出老标代老式，化简便得新方程． ④参数法：精心来把参数挑，表示动点两坐标，联立消参并化简，等价转化要记牢． ⑤交轨法：定参数，写方程，求交点，消参成．

⑥点差法：设点代方程，作差因式分，中点坐标现，斜率自然成．

【课后作业】

1.双曲线经过原点,一个焦点是(4,0),实轴长为2,则双曲线中心的轨迹方程是( )

A.(x－2)2+y2=1 B.(x－2)2+y2=9

C.(x－2)2+y2=1或(x－2)2+y2=9 D.(x－2)2+y2=1(x≥2)

2.已知点P是直线2x－y+3=0上的一个动点,定点M(－1,2),Q是线段PM延长线上的一点, 且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是( )

A.2x+y+1=0 B.2x－y－5=0 C.2x－y－1=0 D.2x－y+5=0

x2y1上运动,则ΔF1F2P的重心G的轨迹方程是. 3.P在以F1,F2为焦点的双曲线169

4.已知圆的方程为x2+y2=4,动抛物线过点A(-1,0),B(1,0),且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程是 .

1125．(05重庆卷)已知A,0，B是圆F：xy4(F为圆心)上一动点，线段AB22

的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 ．

【提高训练】

6．以点F（1，0）和直线x=－1为对应的焦点和准线的椭圆，它的一个短轴端点为B，点P是BF的中点，求动点P的轨迹方程。

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7．求与两定圆x2＋y2＝1，x2＋y2－8x－33＝0都相切的动圆圆心的轨迹方程。

x2y2

8．（辽宁）已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），ab

Q是椭圆外的动点，满足|F1|2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足TF20,|TF2|0.

（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明|F1P|a

（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；

（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使△F1MF2的面积S=b2.若存在，求∠F1MF2

的正切值；若不存在，请说明理由.

cx； a

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