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考点23 双曲线
1. （2010²安徽高考理科²Ｔ5）双曲线方程为x 2-2y 2=1，则它的右焦点坐标为（ ）
⎛⎫（A
） 2⎪⎪
⎝⎭⎛⎫
（B
） 2⎪⎪
⎝⎭⎛⎫
（C
） 2⎪⎪
⎝⎭
(D)
)
【命题立意】本题主要考查双曲线方程及其中系数的几何意义，考查考生对双曲线方程的理解认知水平．
x 2y 2
-=1, 【规范解答】选 C. 双曲线方程为x -2
y =
1，即
12
2
2
∴ a =1，b
=
c == =2⎛⎫
⎪，故C 正确. ⎪
⎝2⎭
∴ 它的右焦点坐标为
x 2y 2
2. （2010²浙江高考理科²Ｔ8）设F 1，F 2分别为双曲线2-2=1(a ＞0, b ＞0) 的左、右焦点. 若在双
a b
曲线右支上存在点P ，满足PF 2=FF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的12，且F 2到直线PF 渐近线方程为（ ）
（A ）3x ±4y =0 （B ）3x ±5y =0 （C ）4x ±3y =0 （D ）5x ±4y =0 【命题立意】本题考查圆锥曲线的相关知识，考查双曲线的基础知识，解题的关键是熟练掌握双曲线的 定义、渐近线的求法.
【思路点拨】本题利用条件PF 2=FF 12及双曲线的定义，构造三角形解题.
【规范解答】选C. 由题意作图如下. |PF 2|=|F ∴F 2Q 为线段F 1P 的垂直平分1F 2|=2c . 作F 2Q ⊥PF 1于Q ，则
4b 24ab 22(-c ) () 2
4b 4ab ∴P (-c , ) . 代入双曲线方程得2线，且|F 2Q |=2a . ∴ |FQ -2=1，1|=|PQ |=2b ，
c c a b
(4b 2-c 2) 2-16a [1**********]
=1a +b =c 即. 把代入得(3b -a ) -16a =a (a +b ) ， 22
a c
即(16a 2-9b 2)(a 2+b 2) =0，∴16a -9b =0，
2
2
∴
b 44
=，∴渐近线方程为y =±x ，即4x ±3y =0. a 33
【方法技巧】（1）涉及到圆锥曲线上的点到焦点的距离时用定义解题比较方便. （2）求双曲线的渐近线时
x 2y 2
可令2-2=0，解出渐近线方程.
a b
3. （2010²辽宁高考理科²Ｔ9）设双曲线的—个焦点为F ，虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
【命题立意】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了两直线垂直的条件，双曲线的离心率. 【思路点拨】
【规范解答】选D. 不妨设双曲线方程为线方程为y =±
焦点F （c,0）, 虚轴端点B （0，b ）, 则渐近
b -0b b b b
=-, ∴⋅(-) =-1, 即b 2=ac , x ，直线BF 的斜率k =
0-c c a a c
∴c 2-a 2=ac , 两边同时除以a 2可得e 2-e -1=0，
解得e x 2y 2
4. （2010²浙江高考文科²Ｔ10）设O 为坐标原点，F 1, F 2是双曲线2-2=1（a ＞0，b ＞0）的焦点，
a b
若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1P F 2=60°，∣OP ∣
, 则该双曲线的渐近线方程为（ ） （A ）x
（B
±y=0 （C ）x
=0 （D
±y=0
【命题立意】本题将解析几何与三角知识相结合，主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何图形、几何性质、渐近线方程以及斜三角形的解法，属中档题.
【思路点拨】本题先利用双曲线的定义式|PF 1|-|PF 2|=2a 及相关三角形知识，可解出a , b , c 间的关系，再求渐近线方程.
【规范解答】选D. 如图所示，作点P 关于原点的对称点P ' ，则四边形PF 1P ' F 2为平行四边形，
000
°. |P ' F 1|=
|PF 2|，|P ' P |=2|OP |=. ∠F 60, ∴∠PF ' =120°∠F 1PF ==60, ∴∠PF ' =1201PF 1P 221P 222
在∆PF 1P ' 中，由余弦定理，得|PF 1|+|P ' F 1|+|PF 1||P ' F 1|=28a ，
|PF 1|-|P ' F 1|=|PF 1|-|PF 2|=2a ，∴|PF 1||PF 2|=8a 2. 与|PF 1|-|PF 2|=2a 联立解得
00
°|PF 1|=4a ,|PF 2|=2a ，在∆PF 1F 2中，∠F 1PF =60,|,|F 1F |=2c ∠F PF =60F |=2c ，由余弦定理得 221221F
b
4c 2=16a 2+4a 2-8a 2，∴c 2=3a 2，∴b 2=
2a 2，∴=，
a
∴
±y =0.
y
x 2y 2
5. （2010²天津高考理科²Ｔ5）已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的一条渐近线方程是
, 它的
a b
一个焦点在抛物线y =24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( )
2
x 2y 2x 2y 2
-=1 （B ）-=1 （A ）
36108927x 2y 2x 2y 2
-=1 （D ）-=1 （C ）
10836279
【命题立意】考查双曲线、抛物线的方程和几何性质.
【思路点拨】根据双曲线的渐近线方程和焦点列方程组，求出a 和b .
2
2
【规范解答】选B. 由题意可得
x 2y 2
-=1. 所以双曲线方程为
927
6. （2010²福建高考理科²Ｔ7）若点O 和点F （-2，0）分别为双曲线
的中心和左焦
点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP ⋅FP 的取值范围为（ ）
(A)[3-+∞
) (B)[3++∞) (C)[-, +∞) (D)[, +∞)
【命题立意】本题主要考查求解双曲线的方程以及以平面向量为背景的最值的求解, 属中档题.
7474
【思路点拨】 先求出双曲线的方程，设P 为动点，依题意写出OP ⋅FP 的表达式，进而转化为求解条件
最值的问题，利用二次函数的方法求解.
x 2
-y 2=1. 设P (
x 0, y 0)x 0≥， 【规范解答】选B. a +1=4, ∴a =3, ∴双曲线的方程为3
2
2
(22
x 02x 022222x 0x 0
-y =1即y 0y 0==-=1即-1， 则，0y 03333
2 4437⎛⎫2
∴OP ⋅FP =x 0⋅(x 0+2)+y 02=x 0+2x 0-1= x 0+⎪-.
又x
0x 0=时，
33⎝4⎭4
∴OP ⋅FP
(
)
min
=3+7. （2010²海南高考理科²T12）已知双曲线E 的中心为原点，F(3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N(-12,-15), 则E 的方程为（ ）
x 2y 2x 2y 2x 2y 2
-=1 （B ） -=1 （C ） -=1 （D ）（A ）
364563
x 2y 2
-=1 54
【命题立意】本小题主要考查了直线和圆锥曲线的位置关系.
【思路点拨】根据题意可先设出双曲线的方程，然后列方程组进行求解. 【规范解答】选B. 由于AB 的中点为N(-12,-15) ，所以直线l 的斜率k =
-15-0
=1，所以直线l 的方程
-12-3
x 2y 2
-=1(a >0) ， 为y =x -3. 由于F(3,0)是E 的焦点，可设双曲线的方程为
a 9-a
设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，由
因为AB 的中点为N(-12,-15) ，所以x 1+x 2=-
6a
=-24，解得a =4，故选B.
9-2a
【方法技巧】先根据题意设出双曲线的方程，再利用根与系数的关系，列出两根之和满足的等式，然后利用中点坐标求出参数，进而解决相关的问题.
1x 2y 2
8. （2010²福建高考文科²Ｔ１3）若双曲线-2=1(b>0)的渐近线方程式为y=±x ，则ｂ等
24b
于 .
【命题立意】本题考查双曲线的渐近线方程.
【思路点拨】焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为y =±
b
x . a
【规范解答】 双曲线的渐近线方程为【答案】1
【方法技巧】1. 由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，
x 2y 2x 2y 2
即可得两条直线的方程，如双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的渐近线方程为2-2=0(a >0, b >0) ，
a b a b b a y 2x 2y 2x 2
即y =±x ；双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的渐近线方程为2-2=0(a >0, b >0) ，即y =±x .
a b a b a b
x 2y 2x y
2. 如果双曲线的渐近线为±=0时，它的双曲线方程可设为2-2=λ(λ≠0) .
a b a b
x 2y 2
9. （2010²天津高考文科²Ｔ１3）已知双曲线2-2=1(a >0, b >
0) 的一条渐近线方程是y =，
a b
它的一个焦点与抛物线y =16x 的焦点相同，则双曲线的方程为【命题立意】考查双曲线、抛物线的方程和几何性质.
2
【思路点拨】根据双曲线的渐近线方程和焦点，列方程组，求出a 和b .
2
2
【规范解答】由题意可得
x 2y 2
-=1. 所以双曲线方程为
412x 2y 2
-=1 【答案】
412
x 2y 2
10. （2010²江苏高考²Ｔ6）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线-=1上一点M 的横坐标为3，
412
则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________.
【命题立意】本题考查双曲线上点的坐标的求法，双曲线的焦点坐标以及两点间距离公式的应用. 【思路点拨】
【规范解答】, 双曲线的右焦点坐标为F 2（4，0）. 由题意知，M 点的坐标为M （）由题意知，M 点的坐标为M （322
MF (x 2-x 1) 2+(y 2MF y 1) 22=4. (3由两点间的距离公式得 -4) +(±15-0) =4. 2=【答案】4
x 2y 2x 2y 2
+=1的焦11. （2010²北京高考理科²Ｔ１3）已知双曲线2-2=1的离心率为2，焦点与椭圆
a b 259
点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ，渐近线方程为 . 【命题立意】本题考查双曲线与椭圆的基础知识.
x 2y 2
【思路点拨】先由椭圆方程求出焦点坐标，再利用离心率求a ，利用b =b . 令2-2=0求
a b
渐近线方程.
【规范解答】由题知双曲线的焦点为(-4,0),(4,0)，∴c =4，离心率e =
c
=2，∴a =2，a
x 2y 2x 2y 2
∴b ==∴双曲线方程为-=1. 令-=0，得渐近线方程为
412412
【答案】（±4，0）
x 2y 212. （2010²山东高考理科²Ｔ21）如图，已知椭圆2+2=1(a >b >0)的离心率为，以该椭圆上
2a b
设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为
（1）求椭圆和双曲线的标准方程.
（2）设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，证明k 1·k 2=1. （3）是否存在常数λ，使得AB +CD =λAB CD 恒成立？ 若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
【命题立意】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线 的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试 题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力. 其中问题（3）
是一个开放性问题，考查了考生的观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.
【思路点拨】(1)根据离心率和周长构造含有a , b , c 的方程组，可求出椭圆的方程，再根据双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点可求双曲线的方程. （2）设出点P 的坐标，再将k 1, k 2用点P 的坐标表示，并利用点P 在双曲线上进行化简. （3）设直线AB 的斜率为k ，则由（2）的结果可将直线CD 的斜率用k 表示，然后写出直线AB 与CD 的方程，利用弦长公式将与CD 表示出来，最后将λ用k 表示出来，通过化简可判断λ是否为常数.
【规范解答】（1）由题意知，椭圆离心率为
c =，得a =
. 又2a +
2c =1) ，所以可解得a
2
x 2y 2
=1，所以椭圆的焦点坐标为a =c =2，所以b =a -c =4，所以椭圆的标准方程为+
84
2
2
2
x 2y 2
-=1. （±2，0）. 因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为
44
（2）设点P （x 0，y 0），则k 1=
y 0y 0y 0y 0
，k 2=，所以k 1·= ⋅k 2=x 0+2x 0-2x 0+2x 0-2
x 02y 02y 0222
-=1. 又点P （，）在双曲线上，所以有，即x y y =x -4，所以 00002
44x 0-4
y 02
=1. k 1·k 2=2
x 0-4
（3）假设存在常数λ，使得AB +CD =λAB k 2=1. 设直线AB 的斜率CD 恒成立，则由（2）知k 1·为k ，则直线CD 的斜率为
1
, 所以直线AB 的方程为y =k (x +2) ，直线CD 的方程为k
⎧y =k (x +2) ，⎪
由方程组⎨x 2y 2消y 得：(2k 2+1) x 2+8k 2x +8k 2-8=0. 设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，
=1⎪+4⎩8
-8k 28k 2-8
, x 1x 2=2则由根与系数的关系得：x 1+x 2=, 2
2k +12k +1.
+k 2)
所以
. 同理可得
2k 2+1
+k 2) |CD|=. 2
k +2
又因为AB +CD =λAB CD ，所以有
2λ
，使得AB +CD =λAB =CD 恒成立. =8【方法技巧】解析几何中的存在判断型问题
1. 基本特征：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形) 是否存在或某一结论是否成立. 2. 基本策略：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立) ，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论. 其中反证法在解题中起着重要的作用. 或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式来证明该式是恒定的.
x 2
-y 2=1的左、13. （2010²广东高考理科²Ｔ20） 已知双曲线右顶点分别为A 1,A 2，点p P (x 1, y 1) ，Q (x 1, -y 1) 2
是双曲线上不同的两个动点，
（1） 求直线A 1P 与A 2 Q 交点的轨迹E 的方程式.
（2） 若过点H(O, h)（h>1）的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且l 1⊥l 2 ,求h 的值. 【命题立意】本题为解析几何综合问题，主要考查点的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系. 【思路点拨】（1）利用交轨法求点E 的轨迹方程.
（2）利用互相垂直的两条直线的斜率互为负倒数的关系，设出l 1和l 2 的方程，代入曲线方程后，利用其判别式为零求出h 的值.
x 2
-y 2=
1的左、右顶点，所以A 1(
, 0) ，A 20) ，
【规范解答】（1）因为A 1,A 2 分别为2
l A 1P :y =
x ，
l A 2Q :y =x .
2
x 21-y 212
-y 21=1. 代入上式，求得两式相乘得：y =2(x -2) . 又因为点P (x 1, y 1) 在双曲线上，所以2x 1-2x 2
+y 2=1. 点E 的轨迹方程为：2
(2)设l 1: y =kx +h ，因为l 1⊥l 2，所以可设l 2: y =-
1
x +h . k
x 2x 22
+y =1得：+(kx +h ) 2=1, 将l 1: y =kx +h 代入22
即： (1+2k 2) x 2+4khx +2h 2-2=0. 因为l 1与E 只有一个交点，所以
①
1x 2
+y 2=1，因为l 2与E 只有一个交点，可得： 同理，将l 2: y =-x +h 代入
k 2
1+2
1
=h 2② 2k
2
由①②得1+2k =1+2即h =
1222
，解得k =1，所以，h =1+2k =3，
2k
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