河北省石家庄市2015届高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．已知i 为虚数单位，则复数 A ．2+i
B ．2﹣i
x
=( )
C ．﹣1﹣2i
D ．﹣1+2i
2．已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3}，则P ∩Q=( ) A ．{0，1，2} B ．{0，1} C ．{1，2}
2
2
D ．∅
3．命题p ：若sinx ＞siny ，则x ＞y ；命题q ：x +y≥2xy ，下列命题为假命题的是( ) A ．p 或q B ．p 且q C ．q D ．￢p
4．设函数f （x ）为偶函数，当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=log2x ，则f （﹣ A ．﹣
5．已知cos α=k，k ∈R ，α∈（ A ．﹣
6．函数f （x ）=tanωx （ω＞0）的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为的值是( ) A ．﹣
B ．
C ．1
D ．
，则f （
）
B ．
，π），则sin （π+α）=( )
C ．±
D ．﹣k
B ．
C ．2
D ．﹣2
）=( )
7．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S 为
( )
A ．2
B ．2 C ．4 D ．6
，M 为线段
8．在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且B 1C 1上的动点，则三棱锥M ﹣PBC 的体积为( ) A ．1 C ．
B ．
D ．与M 点的位置有关
9．已知O 、A 、B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2km 处，B 地在O 地正北方向2km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O 地为一磁场，距离其不超过km 的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( ) A ．1﹣
10．已知抛物线y =2px（p ＞0）的焦点F 恰好是双曲线
2
B ． C ．1﹣ D ．
﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦
点，两条曲线的交点的连线过点F ，则双曲线的离心率为( ) A ． B ． C ．1+
11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(
)
D ．1+
A ．64
12．已知函数f （x ）=
B ．72
C ．80
D ．112
，若关于x 的方程f （x ）﹣bf （x ）+c=0（b ，c ∈R ）
2
有8个不同的实数根，则b+c的取值范围为( ) A ．（﹣∞，3） B ．（0，3] C ．[0，3]
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
D ．（0，3）
13．已知平面向量，的夹角为
，||=2，||=1，则|+
2
14．已知等差数列{an }是递增数列，S n 是{an }的前n 项和，若a 2，a 4是方程x ﹣6x+5=0的两个根，则S 6的值为__________．
15．若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k 的范围是
16．设过曲线f （x ）=﹣e ﹣x （e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线g （x ）=ax+2cosx上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为__________．
三、解答题（共8小题，满分70分）
*
17．设数列{an }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n+1=λS n +1（n ∈N ，λ≠﹣1），且a 1、2a 2、a 3+3为等差数列{bn }的前三项．
（Ⅰ）求数列{an }、{bn }的通项公式； （Ⅱ）求数列{an b n }的前n 项和．
18．某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元
（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，n ∈N ）的函数解析式
（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件）整理得表： 日需求量 8 9 10 11 12 频数 9 11 15 10 5
若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400，500]的概率．
19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2，AP=AD=AB=，∠PAB=∠PAD=α．
（1）试在棱PA 上确定一个点E ，使得PC ∥平面BDE ，并求出此时（2）当α=60°时，求证：CD ⊥平面PBD ．
的值；
x
20．在平面直角坐标系xOy 中，以动圆经过点（1，0）且与直线x=﹣1相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；
（2）已知点A （5，0），倾斜角为
的直线l 与线段OA 相交（不经过点O 或点A ）且与
曲线E 交于M 、N 两点，求△AMN 面积的最大值，及此时直线l 的方程．
21．已知函数f （x ）=2（a+1）lnx ﹣ax ，g （x ）=x ﹣x ． （1）若函数f （x ）在定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围； （2）证明：若﹣1＜a ＜7，则对于任意x 1、x 2∈（1，+∞），x 1≠x 2，有
＞﹣1．
22．如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为BD 中点，连接AG 分别交⊙O 、BD 于点E 、F 连接CE ． （1）求证：AG •EF=CE•GD ； （2）求证：
．
2
23．已知曲线C 1的参数方程为
（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2．
（Ⅰ）分别写出C 1的普通方程，C 2的直角坐标方程．
（Ⅱ）已知M 、N 分别为曲线C 1的上、下顶点，点P 为曲线C 2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．
24．已知函数f （x ）=（Ⅰ）求实数m 的取值范围．
的定义域为R ．
（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足
+=n时，求7a+4b的最小值．
河北省石家庄市2015届高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．已知i 为虚数单位，则复数
=( )
D ．﹣1+2i
A ．2+i B ．2﹣i C ．﹣1﹣2i
考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数．
分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．
解答： 解：=，
故选：C ．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念，是基础题．
2．已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3}，则P ∩Q=( ) A ．{0，1，2} B ．{0，1} C ．{1，2} D ．∅
考点：交集及其运算． 专题：集合．
分析：求出Q 中y 的范围确定出Q ，找出P 与Q 的交集即可．
x
解答： 解：∵集合P={0，1，2}，Q={y|y=3}={y|y＞0}， ∴P ∩Q={1，2}， 故选：C ．
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
x
3．命题p ：若sinx ＞siny ，则x ＞y ；命题q ：x +y≥2xy ，下列命题为假命题的是( ) A ．p 或q B ．p 且q C ．q D ．￢p
考点：复合命题的真假．
专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．
分析：根据正弦函数的图象即可判断出sinx ＞siny 时，不一定得到x ＞y ，所以说命题p 是假命题，而根据基本不等式即可判断出命题q 为真命题，然后根据￢p ，p 或q ，p 且q 的真假和p ，q 真假的关系即可找出正确选项．
22
解答： 解：x=，y=π，满足sinx ＞siny ，但x ＜y ；
∴命题p 是假命题；
x +y≥2xy ，这是基本不等式； ∴命题q 是真命题；
∴p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，q 是真命题，￢p 是真命题； ∴是假命题的是B ． 故选B ．
点评：考查正弦函数的图象，能够取特殊角以说明命题p 是假命题，熟悉基本不等式：a +b≥2ab ，a=b时取“=”，以及￢p ，p 或q ，p 且q 的真假和p ，q 真假的关系．
4．设函数f （x ）为偶函数，当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=log2x ，则f （﹣）=( )
2
2
22
A ．﹣
B ．
C ．2
D ．﹣2
考点：函数奇偶性的性质；函数的值． 专题：函数的性质及应用．
分析：根据f （x ）为偶函数，以及x ＞0时f （x ）的解析式即可得到f （﹣
）
=．
解答： 解：f （x ）为偶函数； ∴f （）=f（） 又x ＞0时，f （x ）=log2x ； ∴=；
即f （﹣
）=．
故选B ．
点评：考查偶函数的定义：f （﹣x ）=f（x ），以及对数的运算．
5．已知cos α=k，k ∈R ，α∈（，π），则sin （π+α）=( ) A ．﹣
B ．
C ．±
D ．﹣k
考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值． 专题：三角函数的求值．
分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sin α，从而由诱导公式即可得解．解答： 解：∵cos α=k，k ∈R ，α∈（，π），
∴sin α=
=
， ∴sin （π+α）=﹣sin α=﹣．
故选：A ．
点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．
6．函数f （x ）=tanωx （ω＞0）的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为的值是( ) A ．﹣
B ．
C ．1
D ．
，则f （
）
考点：正切函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：根据条件求出函数的周期和ω，即可得到结论．
解答： 解：∵f （x ）=tanωx （ω＞0）的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为∴函数的周期T=即
=
，
，
，则ω=2，则f （x ）=tan2x ）=tan（2×
）=tan
=
，
则f （
故选：D
点评：本题主要考查三角函数值的求解，根据条件求出函数的周期和ω是解决本题的关键．
7．执行下面的程序框图，如果输入的依次是1，2，4，8，则输出的S 为
( )
A ．2 B ．2 C ．4 D ．6
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，i 的值，当i=5时，不满足条件i ≤4，退出循环，输出S 的值为2．
解答： 解：模拟执行程序框图，可得 S=1，i=1
满足条件i ≤4，S=1，i=2 满足条件i ≤4，S=，i=3 满足条件i ≤4，S=2，i=4 满足条件i ≤4，S=2，i=5
不满足条件i ≤4，退出循环，输出S 的值为2． 故选：B ． 点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的S 的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
8．在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且B 1C 1上的动点，则三棱锥M ﹣PBC 的体积为( ) A ．1 C ．
B ．
D ．与M 点的位置有关
，M 为线段
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题：空间位置关系与距离．
分析：如图所示，连接BC 1，取=，可得PN ∥D 1C 1，=1，由于D 1C 1⊥
平面BCC 1B 1，可得PN ⊥平面BCC 1B 1，利用三棱锥M ﹣PBC 的体积=V三棱锥P ﹣
BCM =
即可得出．
=，
解答： 解：如图所示，连接BC 1，取则PN ∥D 1C 1，
，PN=1，
∵D 1C 1⊥平面BCC 1B 1， ∴PN ⊥平面BCC 1B 1，
即PN 是三棱锥P ﹣BCM 的高． ∴V 三棱锥M ﹣PBC =V三棱锥P ﹣BCM =故选：B ．
=
=．
点评：本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．已知O 、A 、B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2km 处，B 地在O 地正北方向2km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O 地为一磁场，距离其不超过km 的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( ) A ．1﹣
B ．
C ．1﹣
D ．
考点：解三角形的实际应用． 专题：应用题；概率与统计．
分析：作出图形，以长度为测度，即可求出概率．
解答： 解：由题意，△AOB 是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2
，
O 地为一磁场，距离其不超过则OE=
km 的范围为个圆，与AB 相交于C ，D 两点，作OE ⊥AB ，
=1﹣
．
，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣
故选：A ．
点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查概率的计算，正确确定CD 是关键．
10．已知抛物线y =2px（p ＞0）的焦点F 恰好是双曲线
2
﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦
点，两条曲线的交点的连线过点F ，则双曲线的离心率为( ) A ． B ． C ．1+ D ．1+
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把=c代入整理得c ﹣6a c +a=0等式两边同除以a ，得到关于离心率e 的方程，进而可求得e ． 解答： 解：由题意，∵两条曲线交点的连线过点F ∴两条曲线交点为（，p ），
22
4
4
4
代入双曲线方程得，
又=c
代入化简得 c ﹣6a c +a=0 42
∴e ﹣6e +1=0 22∴e =3+2=（1+） ∴e=+1 故选：C ．
点评：本题考查由圆锥曲线的方程求焦点、考查双曲线的三参数的关系：c =a+b注意与椭圆的区别．
11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(
)
2
2
2
4
22
4
A ．64 B ．72 C ．80 D ．112
考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题．
分析：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可
解答： 解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64
上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积×
故该几何体的体积是64+8=72 故选B
点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题．
12．已知函数f （x ）=
，若关于x 的方程f （x ）﹣bf （x ）+c=0（b ，c ∈R ）
2
有8个不同的实数根，则b+c的取值范围为( ) A ．（﹣∞，3） B ．（0，3] C ．[0，3]
考点：分段函数的应用．
专题：综合题；函数的性质及应用．
D ．（0，3）
分析：题中原方程f （x ）﹣bf （x ）+c=0有8个不同实数解，即要求对应于f （x ）=某个常数K ，有2个不同的K ，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x 与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出f （x ）的简图，由图可知，只有满足条件的K 在开区间（0，1）时符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案． 解答： 解：根据题意作出f （x ）的简图：
2
2
由图象可得当f （x ）∈（0，1]时，有四个不同的x 与f （x ）对应．再结合题中“方程f （x ）﹣bf （x ）+c=0有8个不同实数解”，
22
可以分解为形如关于k 的方程k ﹣bk+c=0有两个不同的实数根K 1、K ，且K 1和K 2均为大于0且小于等于1的实数．
列式如下：，化简得，
此不等式组表示的区域如图：
令z=b+c，则z=b+c在（2，1）处z=3，在（0，0）处z=0， 所以b+c的取值范围为（0，3）， 故选：D ．
点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，同时考查线性规划等知识，较为综合；采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．已知平面向量，的夹角为
，||=2，||=1，则|+
|=
．
考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用．
分析：
运用数量积的定义求解得出|+|=
（
2
=||•|
|cos，结合向量的运算，与模的运算转化：
）=||+||+2
222
，代入数据求解即可．
，||=2，||=1，
解答： 解：∵平面向量，的夹角为∴
=||•
|
|cos
2
2
=2×
2
2
=﹣1， =4+1﹣2=3，
∴|+|=
（即|+
|=
．
）=||+||+2
故答案为：．
点评：本题考查了平面向量的数量积的运用，应用求解向量的模，计算简单，属于容易题．
14．已知等差数列{an }是递增数列，S n 是{an }的前n 项和，若a 2，a 4是方程x ﹣6x+5=0的两个根，则S 6的值为24．
考点：等差数列的性质． 专题：等差数列与等比数列．
分析：由一元二次方程的根与系数关系求得a 2，a 4，进一步求出公差和首项，则答案可求．
2
解答： 解：由a 2，a 4是方程x ﹣6x+5=0的两个根，得
2
，由已知得a 4＞a 2，∴解得a 2=1，a 4=5，
∴d=，
则a 1=a2﹣d=1﹣2=﹣1， ∴
．
故答案为：24．
点评：本题考查了一元二次方程的根与系数关系，考查了等差数列的通项公式和前n 项和，是基础的计算题．
15．若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k 的范围是
考点：简单线性规划．
专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．
分析：由题意作出其平面区域，求出k 的临界值，从而结合图象写出实数k 的取值范围． 解答： 解：由题意作出其平面区域，
当直线y=kx+3与AB 重合时，k=0，是直角三角形， 当直线y=kx+3与AD 重合时，k=1，是直角三角形； 故若区域为一个锐角三角形及其内部， 则0＜k ＜1； 故答案为：（0，1）．
点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，利用临界值求取值范围，属于中档题．
16．设过曲线f （x ）=﹣e ﹣x （e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线g （x ）=ax+2cosx上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为[﹣1，2]．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的概念及应用；不等式的解法及应用；直线与圆．
x
分析：求出函数f （x ）=﹣e ﹣x 的导函数，进一步求得
x
x
∈（0，1），再求出g （x ）的
导函数的范围，然后把过曲线f （x ）=﹣e ﹣x 上任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g （x ）
=ax+2cosx上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2转化为集合间的关系求解．
x x
解答： 解：由f （x ）=﹣e ﹣x ，得f ′（x ）=﹣e ﹣1， ∵e +1＞1，∴
x
∈（0，1），
由g （x ）=ax+2cosx，得g ′（x ）=a﹣2sinx ，
又﹣2sinx ∈[﹣2，2]，
∴a ﹣2sinx ∈[﹣2+a，2+a]，
x
要使过曲线f （x ）=﹣e ﹣x 上任意一点的切线为l 1，
总存在过曲线g （x ）=ax+2cosx上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2， 则
，解得﹣1≤a ≤2．
即a 的取值范围为﹣1≤a ≤2． 故答案为：[﹣1，2]．
点评：本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．
三、解答题（共8小题，满分70分）
*
17．设数列{an }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n+1=λS n +1（n ∈N ，λ≠﹣1），且a 1、2a 2、a 3+3为等差数列{bn }的前三项．
（Ⅰ）求数列{an }、{bn }的通项公式； （Ⅱ）求数列{an b n }的前n 项和．
考点：数列的求和；数列递推式． 专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）由a n+1=λS n +1（n ∈N ，λ≠﹣1），当n ≥2时，a n =λS n ﹣1+1，可得a n+1=（1+λ）a n ，利用等比数列的通项公式可得a 3，再利用等差数列的通项公式即可得出； （2）利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可得出．
解答： 解：（1）∵a n+1=λS n +1（n ∈N ，λ≠﹣1），∴当n ≥2时，a n =λS n ﹣1+1， ∴a n+1﹣a n =λa n ，即a n+1=（1+λ）a n ， 又a 1=1，a 2=λa 1+1=λ+1，
∴数列{an }为以1为首项，公比为λ+1的等比数列，
2
∴a 3=（λ+1），
∵a 1、2a 2、a 3+3为等差数列{bn }的前三项．
2
∴4（λ+1）=1+（λ+1）+3，
2
整理得（λ﹣1）=0，解得λ=1．
n ﹣1
∴a n =2，b n =1+3（n ﹣1）=3n﹣2．
n ﹣1
（2）a n b n =（3n ﹣2）•2，
2n ﹣1
∴数列{an b n }的前n 项和T n =1+4×2+7×2+…+（3n ﹣2）•2，
23n ﹣1n
2T n =2+4×2+7×2+…+（3n ﹣5）×2+（3n ﹣2）×2， ∴﹣T n =1+3×2+3×2+…+3×2
n
2
n ﹣1
*
*
﹣（3n ﹣2）×2=
n
﹣（3n ﹣2）×2=
n
（5﹣3n ）×2﹣5，
n
∴T n =（3n ﹣5）×2+5．
点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元
（1）若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，n ∈N ）的函数解析式
（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件）整理得表： 日需求量 8 9 10 11 12 频数 9 11 15 10 5
若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[400，500]的概率．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表． 专题：概率与统计．
分析：（1）根据题意分段求解得出当1≤n ≤10时，y 利润，当n ＞10时，y 利润，
（2）运用表格的数据求解：频数9天，380；频数11天，440；频数9，500；频数5，560，得出当天的利润在区间[400，500]有20天，即可求解概率．
解答： 解：（1）当1≤n ≤10时，y 利润=50n+（10﹣n ）×（﹣10）=60n﹣100， 当n ＞10时，y 利润=50×10+（10﹣n ）×30=800﹣30n ， 所以函数解析式y 利润
=
，
（2）∵日需求量为8，频数9天，利润为50×8﹣10×2=380， 日需求量为9，频数11天，利润为50×9﹣10×=440， 日需求量为10，频数9，利润为50×10=500，
日需求量为12，频数5，利润为50×10+30×2=560， ∴当天的利润在区间[400，500]有11+9=20天， 故当天的利润在区间[400，500]的概率为
=．
点评：本题考查了运用概率知识求解实际问题的利润问题，仔细阅读题意，得出有用的数据，理清关系，正确代入数据即可．
19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AP=AD=AB=，∠PAB=∠PAD=α．
（1）试在棱PA 上确定一个点E ，使得PC ∥平面BDE ，并求出此时（2）当α=60°时，求证：CD ⊥平面PBD ．
的值；
，
考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离． 分析：（1）连接AC ，BD ，相交于O ，过O 作OE ∥PC ，与PA 交于E ，如图1，则PC ∥平面BDE ；
（2）当α=60°时，△PAD 和△PAB 都是等边三角形，PB=PD，过A 作AF ⊥BD ，则F 为BD 的中点，
利用勾股定理可以判断线线垂直，进一步判断线面垂直． 解答： 解：（1）连接AC ，BD ，相交于O ，过O 作OE ∥PC ，与PA 交于E ，如图1，则PC ∥平面BDE ，
此时AE ：EP=AO：OC=AD：BC=：=1：2；
（2）当α=60°时，△PAD 和△PAB 都是等边三角形，PB=PD， 过A 作AF ⊥BD ，则F 为BD 的中点，
所以PF ⊥BD ，BD=2，所以
AF=PF=BD=1，所以PF +AF=PA，所以PF ⊥AF ， 所以PF ⊥平面ABCD ， 所以PF ⊥CD ，
222
过D 作DH ⊥BC ，则DH=AB=，HC=，所以CD=2，所以CD +BD=BC，所以CD ⊥BD ， BD ∩PF=F，
所以CD ⊥平面PBD ． 点评：本题考查了线面平行的判定以及线面垂直的判定定理和性质定理的运用；关键是适当作辅助线，将问题转化为线线关系解答．
20．在平面直角坐标系xOy 中，以动圆经过点（1，0）且与直线x=﹣1相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；
（2）已知点A （5，0），倾斜角为
的直线l 与线段OA 相交（不经过点O 或点A ）且与
2
2
2
曲线E 交于M 、N 两点，求△AMN 面积的最大值，及此时直线l 的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（1）由抛物线的定义求得抛物线方程．
（2）直线和圆锥曲线联立方程组，构造关于m 的函数，利用导数求得最大值． 解答： 解：（1）由题意得圆心到（1，0）的距离等于直线x=﹣1的距离，由抛物线的定
2
义可知，圆心的轨迹方程为：y =4x．
（2）由题意，可设l 的方程为y=x﹣m ，其中，0＜m ＜5．
由方程组，消去y ，得x ﹣（2m+4）x+m=0，①
2
2
22
当0＜m ＜5时，方程①的判别式△=（2m+4）﹣4m =16（1+m）＞0成立． 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则∴
又∵点A 到直线l 的距离为∴
3
2
，
令f （m ）=m﹣9m +15m+25，（0＜m ＜5）
2
f' （m ）=3m﹣18m+15=3（m ﹣1）（m ﹣5），（0＜m ＜5）
∴函数f （m ）在（0，1）上单调递增，在（1，5）上单调递减． 当m=1时，f （m ）有最大值32，
故当直线l 的方程为y=x﹣1时，△AMN 的最大面积为
点评：本题主要考查抛物线定义的应用以及直线与抛物线的综合应用，属中档题，在2015届高考中属于常考题型．
21．已知函数f （x ）=2（a+1）lnx ﹣ax ，g （x ）=x ﹣x ． （1）若函数f （x ）在定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围； （2）证明：若﹣1＜a ＜7，则对于任意x 1、x 2∈（1，+∞），x 1≠x 2，有＞﹣1．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：计算题；证明题；导数的综合应用．
2
分析：（1）先求（f x ）=2（a+1）lnx ﹣ax 的定义域，再求导f （′x ）=2（a+1）﹣a=从而由题意知f ′（x ）=
≥0在（0，+∞）上恒成立，从而化为最值问题；
2
，
（2）由二次函数的性质易知g （x ）=x ﹣x 在（1，+∞）上是增函数，从而不妨设x 1＞x 2，
从而可得g （x 1）＞g （x 2）；故＞﹣1可化为f （x 1）﹣f （x 2）＞﹣（g
（x 1）﹣g （x 2）），即证f （x 1）+g（x 1）＞f （x 2）+g（x 2），
令H （x ）=f（x ）+g（x ）=2（a+1）lnx ﹣ax+x ﹣x ，从而利用导数证明H （x ）=f（x ）+g（x ）=2（a+1）lnx ﹣ax+x ﹣x 在（1，+∞）上是增函数即可．
2
2
解答： 解：（1）f （x ）=2（a+1）lnx ﹣ax 的定义域为（0，+∞）， f ′（x ）=2（a+1）﹣a=
，
∵f ′（2）=1，又∵函数f （x ）在定义域内为单调函数， ∴f ′（x ）=
≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴a （2﹣x ）+2≥0在（0，+∞）上恒成立， 即﹣ax+2a+2≥0在（0，+∞）上恒成立， 故
，
解得，﹣1≤a ≤0；
（2）证明：∵g （x ）=x ﹣x 在（1，+∞）上是增函数， ∴对于任意x 1、x 2∈（1，+∞），x 1≠x 2，不妨设x 1＞x 2， 则g （x 1）＞g （x 2）； 则
＞﹣1可化为f （x 1）﹣f （x 2）＞﹣（g （x 1）﹣g （x 2）），
2
即证f （x 1）+g（x 1）＞f （x 2）+g（x 2），
令H （x ）=f（x ）+g（x ）=2（a+1）lnx ﹣ax+x ﹣x ，
2
H ′（x ）=2（a+1）﹣a+x﹣1=
2
，
令M （x ）=x﹣（a+1）x+2（a+1）， ①﹣1＜a ≤1时，0＜a+1≤2，
2
故M （x ）=x﹣（a+1）x+2（a+1）在（1，+∞）上是增函数， 故M （x ）＞M （1）=1﹣a ﹣1+2a+2=a+2＞0，
②1＜a ＜7时，M （x ）=x﹣（a+1）x+2（a+1）的对称轴x=故M （x ）≥（
）﹣（a+1）
2
2
∈（1，+∞），
+2（a+1）
=（a+1）（7﹣a ）＞0，
故﹣1＜a ＜7时，M （x ）＞0在（1，+∞）上恒成立，
即H ′（x ）＞0在（1，+∞）上恒成立，
故H （x ）=f（x ）+g（x ）=2（a+1）lnx ﹣ax+x ﹣x 在（1，+∞）上是增函数，
故f （x 1）+g（x 1）＞f （x 2）+g（x 2）， 故原式成立． 点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了二次函数的性质应用及分类讨论的思想应用，属于难题．
2
22．如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为BD 中点，连接AG 分别交⊙O 、BD 于点E 、F 连接CE ． （1）求证：AG •EF=CE•GD ； （2）求证：
．
考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段． 专题：证明题；压轴题． 分析：（1）要证明AG •EF=CE•GD 我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．
（2）由（1）的推理过程，我们易得∠DAG=∠GDF ，又由公共角∠G ，故△DFG ∽△AGD ，
2
易得DG =AG•GF ，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论． 解答： 证明：（1）连接AB ，AC ， ∵AD 为⊙M 的直径，∴∠ABD=90°， ∴AC 为⊙O 的直径，∴∠CEF=∠AGD ， ∵∠DFG=∠CFE ，∴∠ECF=∠GDF ， ∵G 为弧BD 中点，∴∠DAG=∠GDF ， ∵∠ECB=∠BAG ，∴∠DAG=∠ECF ， ∴△CEF ∽△AGD ，
∴，
∴AG •EF=CE•GD
（2）由（1）知∠DAG=∠GDF ， ∠G=∠G ，
∴△DFG ∽△AGD ， ∴DG =AG•GF ， 由（1）知
，
2
∴．
点评：证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．
23．已知曲线C 1的参数方程为
（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2．
（Ⅰ）分别写出C 1的普通方程，C 2的直角坐标方程．
（Ⅱ）已知M 、N 分别为曲线C 1的上、下顶点，点P 为曲线C 2上任意一点，求|PM|+|PN|的最大值．
考点：参数方程化成普通方程． 专题：坐标系和参数方程．
222
分析：（1）根据题意和平方关系求出曲线C 1的普通方程，由ρ=x+y和题意求出C 2的直角坐标方程；
（2）法一：求出曲线C 2参数方程，设P 点的参数坐标，求出点M 、N 的坐标，利用两点
2
间的距离公式求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|），利用正弦函数的最值求出
2
（|PM|+|PN|）的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值；
22
法二：设P 点坐标为（x ，y ），则x +y=4，求出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式
22
求出|PM|+|PN|并化简，再化简（|PM|+|PN|），再求出（|PM|+|PN|）的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值．
解答： 解：（1）因为曲线C 1的参数方程为
（θ为参数），
所以曲线C 1的普通方程为
由曲线C 2的极坐标方程为ρ=2得，
22
曲线C 2的普通方程为x +y=4；…
，…
（2）法一：由曲线C 2：x +y=4，可得其参数方程为所以P 点坐标为（2cos α，2sin α）， 由题意可知M （0，因此
|PM|+|PN|==
2
22
，
），N （0，）．
+…
．
2
则（|PM|+|PN|）=14+2
所以当sin α=0时，（|PM|+|PN|）有最大值28，…
因此|PM|+|PN|的最大值为．…
法二：设P 点坐标为（x ，y ），则x +y=4，
由题意可知M （0，
因此
|PM|+|PN|=则（|PM|+|PN|）=14+2
2222），N （0，+． ）． =+… 所以当y=0时，（|PM|+|PN|）有最大值28，…
因此|PM|+|PN|的最大值为．…
点评：本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，两点间的距离公式，以及求最值问题，考查化简、计算能力．
24．已知函数f （x ）=
（Ⅰ）求实数m 的取值范围．
（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足+=n时，求7a+4b的最小值． 的定义域为R ．
考点：基本不等式；函数的定义域及其求法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：（1）由函数定义域为R ，可得|x+1|+|x﹣3|﹣m ≥0恒成立，设函数g （x ）=|x+1|+|x﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；
（2）由（1）知n=4，变形
7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．
解答： 解：（1）∵函数定义域为R ，
∴|x+1|+|x﹣3|﹣m ≥0恒成立，
设函数g （x ）=|x+1|+|x﹣3|，则m 不大于函数g （x ）的最小值，
又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x ﹣3）|=4，即g （x ）的最小值为4，∴m ≤4．
（2）由（1）知n=4，
∴
7a+4b=
=，
当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=
∴7a+4b的最小值为．
点评：本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
时取等号． =