2014 年普通高等学校招生全国统一考试北京卷 文科数学
本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟， 。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题
共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的 4 个选项中，选出符合题目要 求的一项。 1.若集合 A 0,1, 2, 4 ， B 1, 2,3 ，则 A A. 0,1, 2,3, 4 B. 0, 4 ） C. y ln x ） C. 3, 7 ） C. 7 D. 15 D. 3,9 D. y x
B （
） C. 1, 2 D. 3
2.下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是（ A. y e
x
B. y x
3.已知向量 a 2, 4 ， b 1,1 ，则 2a b （ A. 5, 7 B. 5,9
4.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ A. 1 B. 3
开始
否 是
输出
结束
5.设 a 、 b 是实数，则“ a b ”是“ a 2 b 2 ”的（ A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
） B.必要而不必要条件 D.既不充分不必要条件
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6.已知函数 f x A. 0,1
6 log 2 x ，在下列区间中，包含 f x 零点的区间是（ x
B. 1, 2
2 2
） D. 4,
C. 2, 4
7.已知圆 C : x 3 y 4 1 和两点 A m, 0 ， B m, 0 m 0 ，若圆 C 上存在点
P ，使得 APB 90 ，则 m 的最大值为（
）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 ， p 与加工时间 t （单位：分钟）满足的函数关系 p at 2 bt c （ a 、 b 、 c 是常数） 下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据， 可以得到最佳加工时间为 （ A. 3.50 分钟 B. 3.75 分钟 C. 4.00 分钟 D. 4.25 分钟 ）
p 0.8 0.7 0.5
O
3
4
5
t
第 2 部分（非选择题
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9.若 x i i 1 2i x R ，则 x 10.设双曲线 C 的两个焦点为 2, 0 ， .
共 110 分）
2, 0 ，一个顶点式 1, 0 ，则 C 的方程为
.
. 11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为
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2
2 正（主）视图 1 1
1 侧（左）视图
俯视图
12.在 ABC 中， a 1 ， b 2 ， cos C
1 ，则 c 4
； sin A
.
y 1 13.若 x 、 y 满足 x y 1 0 ，则 z 3 x y 的最小值为 x y 1 0
.
14.顾客请一位工艺师把 A 、 B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这
项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都 完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下： 工序 时间 原料 原料 A 原料 B 粗加工 精加工
9 6
15 21
则最短交货期为 工作日. 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15.（本小题满分 13 分）已知 an 是等差数列，满足 a1 3 ， a4 12 ，数列 bn 满足 b1 4 ，
b4 20 ，且 bn an 是等比数列.
（1）求数列 an 和 bn 的通项公式； （2）求数列 bn 的前 n 项和.
16.（本小题满分 13 分）函数 f x 3sin 2 x
的部分图象如图所示. 6
（1）写出 f x 的最小正周期及图中 x0 、 y0 的值；
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（2）求 f x 在区间
, 上的最大值和最小值. 2 12
y y0
O
x0
x
17.（本小题满分 14 分）如图，在三棱柱 ABC A1 B1C1 中，侧棱垂直于底面， AB BC ，
AA1 AC 2 ， E 、 F 分别为 A1C1 、 BC 的中点.
（1）求证：平面 ABE 平面 B1 BCC1 ； （2）求证： C1 F // 平面 ABE ； （3）求三棱锥 E ABC 的体积.
A1
E B1
C1
A B F
C
18. （本小题满分 13 分） 从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得 到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
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（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率； （2）求频率分布直方图中的 a，b 的值； （3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100 名学生该周 课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论） 19. （本小题满分 14 分） 已知椭圆 C： x 2 y 4 .
2 2
（1） 求椭圆 C 的离心率； （2）设 O 为原点，若点 A 在直线 y 2 ，点 B 在椭圆 C 上，且 OA OB ，求线段 AB 长度的 最小值. 20. （本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) 2 x 3 x .
3
（1）求 f ( x) 在区间 [2,1] 上的最大值； （2）若过点 P (1, t ) 存在 3 条直线与曲线 y f ( x) 相切，求 t 的取值范围； （3）问过点 A(1, 2), B (2,10), C (0, 2) 分别存在几条直线与曲线 y f ( x) 相切？（只需写出 结论）
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