2014级高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制：高春芳 审阅：厉强
第二讲 双曲线（2课时） 班级姓名
【考试说明】1. 了双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、）2.
理解数形结合的思想. 3. 了解双曲线的简单应用.
【知识聚焦】（必须清楚、必须牢记）
1．双曲线定义
平面内与两个定点F 1，F 2的____________等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做，两焦点间的距离叫做P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.(1)当______________时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当_____________时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质
3实轴和_________相等的双曲线叫做等轴双曲线. 离心率e ＝是双曲线为等轴双曲线的充要条件，且等轴双曲线两条渐
22
近线互相垂直. 一般可设其方程为x －y ＝λ(λ≠0) .
x 2y 2x 2y 2
4. 巧设双曲线方程(1)与双曲线－＝1 (a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t (t ≠0) ．
a b a b x 2y 2
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1 (mn
m n
【链接教材】（打好基础，奠基成长）
x 2y 2
1．(教材改编) 若双曲线1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
a b 5 B ．2 D ．2
2．(2015·安徽) 下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) y 2x 22y 22
A ．x ＝1 －y ＝1C ．x －＝1
442
2
x 22
D. －y ＝1 2
2014级高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制：高春芳 审阅：厉强
x 2y 2x 2y 2
3．(2014·广东) 若实数k 满足0
259－k 25－k 9A ．焦距相等 B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等
4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为________． 5．(教材改编) 经过点A (3，－1) ，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_______.
6. 设双曲线－＝1(a ＞0) 的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1
7 ()已知0
22x y
8. －1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________________.
λ＋2λ＋1
【课堂考点探究】
探究点一 双曲线定义的应用
例1 1. 已知圆C 1：(x ＋3) 2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3) 2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________． 2. 设P 是双曲线2
16
y -
2
20
=1上的一点，F1F2
分别是双曲线的左右焦点，若为
PF
1
=9则PF 2=( )
A.1 B.17 C.1或17 D. 以上答案均不对 [总结反思]
探究点二 双曲线的标准方程的求法
例2 1. 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
5
(1)虚轴长为12，离心率为；(2)经过两点P (－7) 和Q (－62，－7) ．
4
x 2y 2
2.(2014·天津) 已知双曲线－＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l
a b
上，则双曲线的方程为( ) x 2y 2x 2y 23x 23y 23x 23y 2
A. －＝1 B. －＝1C. －1 D. －＝1 [**************]5
[总结反思]
1
变式题(1)(2015·课标全国Ⅱ) 已知双曲线过点(4，3) ，且渐近线方程为y ＝x ，则该双曲线的标准方程为
2__________________．
5
(2)设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对
13值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．
探究点三 双曲线的几何性质
x 2y 2
例3 (1)过双曲线1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，
a b
→→
若FB ＝2F A ，则此双曲线的离心率为( ) 2 B. 3C ．2 5
2014级高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制：高春芳 审阅：厉强
x 2y 2
(2)(2015·山东) 平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：－＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0) 交于点
a b O ，A ，B . 若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．
[总结反思]
x y 变式题(1)(2015·重庆) 设双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0) 的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线
a b 与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) 12
A ．B ．C ．±1
22
D ．2
(2)(2015·湖北) 将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b ) 同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )
A ．对任意的a ，b ，e 1b 时，e 1e 2 C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a
探究点四 直线与双曲线的综合问题
2
y 2
例4 (1)(2015·四川) 过双曲线x －＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |
343
等于( )A. ．．6 D ．43
x 22
(2)若双曲线E ：y ＝1(a >0)2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．
a ①求k 的取值范围；
→→→
②若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC ＝m (OA ＋OB ) ，求k ，m 的值．
[总结反思]
变式题已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1(－2,0) ，F 2(2，0) ，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于2.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程；
(3)已知定点G (1,2)，点D 是双曲线C 右支上的动点，求|DF 1|＋|DG |的最小值．
2014级高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制：高春芳 审阅：厉强
【课后作业】
x 2y 25
1．(2015·广东) 已知双曲线C ：－＝1的离心率e ＝F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )
a b 4x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
A. －1 B. ＝1C. －1 D. 1 4391616934
2．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) 2 B. 3C ．2 D ．3
x 2y 23．(2014·江西) 过双曲线C －＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A . 若以C 的右焦点为圆心、
a b 半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点) ，则双曲线C 的方程为( ) x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
A. －＝1 －＝1C. －＝1 D. 1 4127988124
x 22→→4．(2015·课标全国Ⅰ) 已知M (x 0，y 0) 是双曲线C ：y ＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1·MF 2
2y 0的取值范围是( )A. ⎛－
⎝
33⎫⎛33222⎛233 B. －C. ⎛－ D. － 33⎭⎝66⎝33⎝33x 2y 2x 2y 2
5．已知椭圆＝1 (a 1>b 1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e 1＝1 (a 2>0，b 2>0)的
a 1b 1a 2b 2实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e 2. 则e 1e 2等于( ) 2
B ．1 C. ．2 2
x 2y 2
6．已知F 为双曲线C －1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0) 在线段
916PQ 上，则△PQF 的周长为________．
x 2y 2y 2x 2
7．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)－＝1的焦距等于4，则n ＝________.
m 3m n m
x 22→→
8．若点O 和点F (－2,0) 分别为双曲线y ＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP ·FP 的
a 取值范围为______________．
x 2y 2
9．(2014·浙江) 设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0) 1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B . 若点P (m, 0)
a b
满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．
x 22
10．已知椭圆C 1的方程为＋y ＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1
4→→
的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ·OB >2(其中O 为原点) ，求k 的取值范围．
双曲线 参考答案 【基础回眸】
c 2
1．答案 A 解析 由题意得b ＝2a ，又a ＋b ＝c ，∴5a ＝c . ∴e ＝＝5，∴e ＝5.
a
2
2
2
2
2
2
y 2
2．答案 A 解析 由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线x －＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.
4
2
x 2y 2
3．答案 A 解析 因为0
259－k 34－k x 2y 2
焦距为25＋(9－k )＝234－k ，离心率为双曲线1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距
525－k 9为2(25－k )＋9＝34－k 34－k
，故两曲线只有焦距相等．故选A. 25－k
4．
x 2y 2m
3解析 双曲线C 的标准方程为1(m >0)，其渐近线方程为y ＝x ，即my ＝±x ，不妨选取右焦点
3m 3m
3m ＋3m ＋1
3.
F (3m ＋3，0) 到其中一条渐近线x －my ＝0的距离求解，得d x 2y 2x 2y 2x 2y 22
5． －＝1解析设双曲线的方程为±1(a >0)，把点A (3，－1) 代入，得a ＝8，故所求方程为1.
88a a 886.C 解：由双曲线方程可知渐近线方程为y ＝±x ，又a ＞0，可知a ＝2. 故选C.
7.D 解：易知双曲线C 1实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2，离心率为；双曲线C 2实轴长为2sin θ，虚轴长为2sin θtan θ，焦距为2tan θ，离心率为，又0
x 2y 2
8.(－∞，－2) ∪(－1，＋∞) . 解：∵方程－＝1表示双曲线， ∴(λ＋2)(λ＋1) ＞0，解得λ＜－2或λ＞－1.
λ＋2λ＋1
【典例精讲】
y 2
例1 1. x －1(x ≤－1) 2.B
8
2
1. 解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B . 根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，
即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小) ， y 2
其中a ＝1，c ＝3，则b ＝8. 故点M 的轨迹方程为x －1(x ≤－1) ．
8
2
2
例2 解 (1)设双曲线的标准方程为
x 2y 2y 2x 2c 5
1或－＝1(a >0，b >0)．由题意知，2b ＝12，e ＝＝. ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8. a b a b a 4x 2y 2y 2x 2
∴双曲线的标准方程为－1或－1.
64366436(2)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．
⎧⎪9m －28n ＝1，
∴⎨⎪⎩72m －49n ＝1，
⎧m ＝－75，
解得⎨1
n ⎩251
y 2x 2
∴双曲线的标准方程为1.
2575
b b
2.A 解：由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y ＝x 与直线y ＝2x ＋10平行，∴＝2. 又双曲线的一个焦点在直线l
a a
x 2y 222222
上，∴－2c ＋10＝0，c ＝5. ∴a ＋b ＝c ＝25. 将b ＝2a 代入上式得a ＝5，b ＝201.
520
x 22x 2y 2
变式 答案 (1)y ＝1 (2)－1
4169
1x 22
解析 (1)由双曲线渐近线方程为y ＝，可设该双曲线的标准方程为y ＝λ(λ≠0) ，已知该双曲线过点(4，3) ，
2442x 222
所以－(3) ＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为y ＝1.
44
(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0) ，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8. x 2y 2x 2y 2
由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为1. 1.
431693→→
例3 答案 (1)C (2)解析 (1)如图，∵FB ＝2F A ，
2∴A 为线段BF 的中点，∴∠2＝∠3.
b
又∠1＝∠2，∴∠2＝60°，∴tan 60°＝3，
a b
∴e 2＝1＋() 2＝4，∴e ＝2.
a
b ⎧⎪y ＝a x ，b b
(2)由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝x ，直线OB 的方程为y x . 由⎨a a
⎪⎩x 2＝2py ，
b
得x 2＝2p ，
a
2pb 2p
a 22pb 2pb 2p 2pb 2pb 2⎛⎛∴x ＝y ＝，∴A ⎝a a . 设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝0，2，∴k AF ＝a a 2pb
a ∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1，
2pb 2p
22a 2⎛b ⎫b 25c 2a ＋b 5932
－＝－1，∴. 设C 1的离心率为e ，则e ＝＝1＋. ∴e ∴·
2pb ⎝a ⎭a 4a a 442a 变式 答案 (1)C (2)B
x 2y 2
解析 (1)如图，双曲线1的右焦点F (c, 0) ，左，右顶点分别为
a b
22b b ⎛⎫易求B ⎛⎝c ，a ，C ⎝c ，－a ⎭，
A 1(－a, 0) ，A 2(a, 0) ，
b 2b 2a a
则kA 2C ＝，kA 1B ＝A 1B 与A 2C 垂直，
a －c a ＋c
b 2b 2b 4
a a a b 22
则有kA 1B ·kA 2C ＝－1，即1，∴1. 1，∴a ＝b ，即a ＝b ，∴渐近线斜率k ＝＝±a a ＋c a －c c －a (2)e 1＝
1＋e ＝
a 2
(b ＋m )b b ＋m b b ＋m 1＋. 不妨令e 0)，得bm a 时，12
a a ＋m a a ＋m (a ＋m )b b ＋m
即e 1>e 2；当b
a a ＋m 例4 (1)答案 D
y 2
解析 右焦点F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x －＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，
3
2
∴y ＝±3，∴A 3) ，B (2，－23) ，∴|AB |＝43. c 2⎧⎧⎪a 2，⎪a ＝1，(2)解 ①由⎨得⎨2
⎪c ＝2，⎩22⎪⎩a ＝c －1
⎧⎪y ＝kx －1，
故双曲线E 的方程为x －y ＝1. 设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，由⎨22
⎪x －y ＝1，⎩
2
2
得(1－k 2) x 2＋2kx －2＝0.(*)
⎧⎪k >1，
∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎨ 22
⎪Δ＝(2k )－4(1－k )×(－2)>0，⎩
⎧k >1，
即⎨所以1
2k 2
②由(*)得x 1＋x 2＝，x 1x 2＝∴|AB |＝1＋k (x 1＋x 2)－4x 1x 2＝2
k －1k －1
(1＋k )(2－k )
63，
(k －1)
555
整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝k 21
742→→→
设C (x 3，y 3) ，由OC ＝m (OA ＋OB ) ，得(x 3，y 3) ＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2) ＝(45m, 8m ) ． ∵点C 是双曲线上一点． 1
∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝4
故k ＝
51m ＝24
变式答案解 (1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1，半焦距为c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c －a 3. y 2
又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x －1.
3
2
2
⎧3x 2⎪1－y 1＝3，
(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1) ，(x 2，y 2) ，则⎨22两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2) －(y 1－y 2)(y 1＋y 2) ＝0.
⎪3x －y ＝3. ⎩22
⎧⎪x 1＋x 2＝4，y 1－y 2
因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎨所以12(x 1－x 2) －2(y 1－y 2) ＝0，即k AB ＝＝6，
x 1－x 2⎪y 1＋y 2＝2，⎩
故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2) ，即6x －y －11＝0. (3)由已知，得|DF 1|－|DF 2|＝2，即|DF 1|＝|DF 2|＋2，
所以|DF 1|＋|DG |＝|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2，当且仅当G ，D ，F 2三点共线时取等号．
因为|GF 2|＝(1－2)＋25，所以|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2＝5＋2，故|DF 1|＋|DG |5＋2. 【必做题】
c 5
1． C 解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝＝c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求
a 4x 2y 2
双曲线方程为－＝1，故选C.
1692．答案 B
x 2y 2
解析 设双曲线的标准方程为1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程
a b
2
x 2y 2b 4b 22b 22b 222c 为：x ＝c 或x ＝－c ，代入1得y ＝b (－1) ＝，∴y ＝，故|AB |＝＝4a ， a b a a a a a
c 2－a 22b 2
∴2，e －1＝2，∴e ＝3. a a
x ＝a ，⎧⎧⎪⎪x ＝a ，3．答案 A 解析 由⎨得⎨∴A (a ，－b ) ．由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4， b
⎪y ＝－b ，y ＝－x ，⎩⎪a ⎩
2
x 2y 2
∴(a －4)＋(－b )＝4，即(a －4) ＋b ＝16. 而a ＋b ＝16，∴a ＝2，b ＝3. ∴双曲线C 的方程为＝1.
412
2
2
2
4．答案 A
解析 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0) ，F 2(3，0) ，
→→→→∴MF 1＝(－3－x 0，－y 0) ，MF 2＝(3－x 0，－y 0) ．∵MF 1·MF 2
2
x 20－3＋y 0
x 2332222
M (x 0，y 0) 在双曲线上，∴y 0＝1，即x 2y 0
5．答案 B
5－15＋1c c 22222
解析 由b 2＝a c ，得a －c ＝a c ，∴e ＝由b ＝a c ，得c －a ＝a c ，∴e ＝[**************]2
a 12a 22
∴e 1e 2＝
5－15＋1
×1. 22
6．答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，
且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，由双曲线定义，得|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6. ∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28， 因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44. 7．答案 5
y 2x 2
解析 因为双曲线的焦点是(0,2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，
－3m －m y 22
所以c ＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1. 所以椭圆方程为＋x ＝1，且n >0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4
n
2
或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去) ．
x 22
8．答案 [3＋23，＋∞) 解析 由条件知a ＋1＝2＝4，∴a ＝3，∴－y ＝1，
3
2
2
2
2
x 2→→→→2x 222
设P 点坐标为(x ，y ) ，则OP ＝(x ，y ) ，FP ＝(x ＋2，y ) ，∵y ＝－1，∴OP ·FP ＝x ＋2x ＋y ＝x ＋2x ＋－1
33
4437→→
＝2＋2x －1＝(x ＋) 2－又∵x 3(P 为右支上任意一点) ，∴OP ·FP ≥3＋23. 3344b ⎧⎪y a ，5x 2y 2b 9．答案 解析 双曲线＝1的渐近线方程为y ＝x . 由⎨2a b a
⎪⎩x －3y ＋m ＝0
am bm
得A (，
3b －a 3b －a
b ⎧⎪y a ，－am bm a 2m 3b 2m
由⎨得B () ，所以AB 的中点C 的坐标为() ．
a ＋3b a ＋3b 9b －a 9b －a ⎪⎩x －3y ＋m ＝0设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0) ，因为|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ，所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. c 5在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝a 2
x 2y 2
10．解 (1)设双曲线C 2的方程为1 (a >0，b >0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.
a b x 22
故C 2－y ＝1.
3
x 22
(2)将y ＝kx ＋代入－y ＝1，得(1－3k 2) x 2－6kx －9＝0. 由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得
3
⎧1－3k ≠0，12
∴k ≠且k 20，
设A (x 1，y 1) ，B (x 2，y 2) ，
3k 2＋72k 92
则x 1＋x 2＝，x x ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 22) ＝(k ＋1) x 1x 22k (x 1＋x 2) ＋2＝.
1－3k 121－3k 3k －13k 2＋7－3k 2＋9→→
又OA ·OB >2，得x 1x 2＋y 1y 2>2，>2，即，
3k －13k －1
113解得
333⎝3⎝⎭
2