双曲线：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；了解双曲线的简单几何性质。
重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质. 难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线.知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点的轨迹叫作双曲线.这两个定点
、
、
的距离之差的绝对值等于常数
（大于0且
）的动点
叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
，这可以借助于三角形中边的相关性（
），则动点轨迹仅表示双曲线中
的一支；
注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：质“两边之差小于第三边”来理解；
2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：靠焦点
的一支；若
（
），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点
3. 若常数满足约束条件：4．若常数满足约束条件：
，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； ，则动点轨迹不存在；
5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点二：双曲线的标准方程
1．当焦点在
轴上时，双曲线的标准方程：
，其中
；
2．当焦点在
轴上时，双曲线的标准方程：，其中.
注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有
；
的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点
，
.
3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当坐标为，；当的系数为正时，焦点在知识点三：双曲线的简单几何性质 双曲线
轴上，双曲线的焦点坐标为
（a＞0，b＞0）的简单几何性质
（1）对称性：对于双曲线标准方程
（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―
y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。 注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。 （4）离心率： ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作
。
②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率定双曲线的开口大小，
。 由c=a+b，可得
222
，所以决
越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。③等轴
双曲线，所以离心率。
（5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是。我们把直线注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。
叫做双曲线的渐近线。
知识点五：双曲线的渐近线：（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为
，则其渐近线方程为
注意：（1）已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分
解即得渐近线方程。
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为
，则可设双曲线方程为
，根据已
知条件，求出轴上，线可设为
即可。（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在
，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为
.
，因此等轴双曲
知识点六：双曲线图像中线段的几何特征：
双曲线，如图：
（1）实轴长，虚轴长,焦距，
（2）离心率：
（3
）顶点到焦点的距离：
（4）
中结合定义
，
与余弦定理，将有关线段
； 、
；
、和角结合起来.
1．如何确定双曲线的标准方程？当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。
2．双曲线标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c＞a，c＞b，且c=b+a。 3．如何由双曲线标准方程判断焦点位置
双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x、y的系数，如果x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y项的系数是正的，那么焦点在y轴上。注意：对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。 4．方程Ax+By=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
2
2
2
2
2
2
2
2
2
方程Ax+By=C可化为
22
，即，所以只有A、B异号，方程表示双曲线。当时，双
曲线的焦点在x轴上；当时，双曲线的焦点在y轴上。
5．求双曲线标准方程的常用方法： ①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值。其主要步骤是“先定型，再定量”； ②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
注意：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量。若两种类型都有可能，则需分类讨论。
6．如何解决与焦点三角形△PF1F2（P为双曲线上的点）有关的计算问题？ 与焦点三角形
有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式
相结合的方法进行计算与解题，将有关线段
起来，建立
、
之间的关系.
、、，有关角结合
7．如何确定离心率e的取值情况与双曲线形状的关系？ ：离心率，因为c=a+b，用a、b表示为
222
，
当e越大时，越大，即渐近线夹角（含x轴）越大，故开口越大；反之，e越小，开口越小。离心率反映了双曲线开口的
大小，且e＞1。
8
类型一：双曲线的定义1．已知⊙O1：(x+5)+y=4，⊙O2：(x－5)+y=9 （1）若动圆P与⊙1，⊙2均内切，求动圆圆心P点的轨迹；（2）若动圆Q与⊙1，⊙2均外切，求动圆圆心Q点的轨迹。 解析：（1）设⊙P半径为R， ∵⊙O1与⊙O2相离， ∴|PO1|=R－2，|PO2|=R－3 ∴|PO1|－|PO2|=1，又|O1O2|=10
∴由双曲线的定义，P点的轨迹是以O1，O2为焦点，2a=1，2c＝10的双曲线的右支。 （2）设⊙Q半径为r，则|QO1|=r+2，|QO2|=r+3 ∴|QO2|－|QO1|=1，又|O1O2|=10 ∴由双曲线的定义，Q点的轨迹是以O1，O2为焦点，2a=1，2c＝10的双曲线的左支。 举一反三：【变式1】已知定点F1(－2,0)、F2(2,0)，平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（ ）A．|PF1|－|PF2|=
22
±3B．|PF1|－|PF2|=±4C．|PF1|－|PF2|=±5 D．|PF1|－|PF2|=±4 【答案】A
【变式2】已知点F1(0,－13)、F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为（ ） A．y=0 B．y=0（x≤－13或x≥13）C．x=0（|y|≥13）D．以上都不对【答案】C 【变式3】已知点P(x,y)的坐标满足
，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线中的一支 C．两条射线 D．以上都不对 答案：B
类型二：双曲线的标准方程： 2．求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程。
解法一： 依题意设双曲线方程为－=1由已知得，又双曲线过点，∴
∴ ：故所求双曲线的方程为.解法二：依题意设双曲线方程为，
将点代入，解得，所以双曲线方程为.【变式1】求与椭圆有共同
的焦点，且过点的双曲线的标准方程。【答案】依题意设双曲线方程为 由已知得，又
双曲线过点，∴ ∴ 故所求双曲线的方程为.
【变式2】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且顶点在轴，焦距为10，的双曲线的标准方程.【答案】
3．已知双曲线的两个焦点F1、F2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程。
222
解析：由题意得2a=24，2c=26。∴a=12，c=13，b=13－12=25。
当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程为
2
2
； 当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程为。
总结升华：求双曲线的标准方程就是求a、b的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴。双曲线所在的坐标轴，不像椭圆
2222
那样看x、y的分母的大小，而是看x、y的系数的正负。 【变式】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且虚轴长与实轴长的比为依题意
，焦距为10的双曲线的标准方程.【答案】由已知设
，解得
.
,
，则
(
)
∴当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程为类型三：双曲线的几何性质
当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程为.
4．方程
表示双曲线，求实数m的取值范围。
解析：由题意得或
。∴实数m的取值范围为
或
。
总结升华：方程Ax+By=1表示双曲线时，A、B异号。
22
【变式1】k＞9是方程表示双曲线的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B
【变式2】求双曲线的焦距。 【答案】8
【变式3】已知双曲线8kx－ky=2的一个焦点为
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，则k的值等于（ ）
A．－2 B．1 C．－1 D．【答案】C
【变式4】（2011 湖南）设双曲线的渐近线方程为，则的值为
A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C
5．已知双曲线方程，求渐近线方程。 （1）；（2）；（3）；（4）
解析：（1
）双曲线
的渐近线方程为：
即（2
）双曲线
的渐近线方程为：
即（3）双曲线的渐近线方程为： 即
（4）双曲线的渐近线方程为：即
总结升华：双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为
即；若双曲线的方程为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上），则其渐
近线方程为。
【变式1】求下列双曲线方程的渐近线方程。： （1）；（2）；（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【变式2】中心在坐标原点，离心率为的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（ ）A．B．
C
．D．【答案】D
6．根据下列条件，求双曲线方程。（1)
与双曲线
有共同的渐近线，且过点；（2
）一渐近线方程为
，且双曲线过点。解析：（1）解法一： 当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为
由题意，得，解得， 所以双曲线的方程为
当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为 由题意，得，解得，（舍去）
综上所得，双曲线的方程为 解法二：设所求双曲线方程为（），将点代入得，
所以双曲线方程为
即（2
）依题意知双曲线两渐近线的方程是.
故设双曲线方程为
，∵点在双曲线上， ∴
，解得， ∴所求双曲线方程为.
总结升华：求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（
、、、及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程
，可设双曲线方程为
（
）.
【变式1】中心在原点，一个焦点在(0,3)，一条渐近线为的双曲线方程是（ ）
A、 B、 C、 D、【答案】D
【变式2】过点(2，-2)且与双曲线有公共渐进线的双曲线是 ( )
A． B． C． D．【答案】A
【变式3】以为渐近线的双曲线方程不可能是（ ）
A．4x―9y=1 B．9y―4x=1 C．4x―9y=λ（λ∈R且λ≠0） D．9x－4y=λ（λ∈R且λ≠0）【答案】D
22222222
【变式4】双曲线与有相同的（ ）
A．实轴 B．焦点 C．渐近线 D．以上都不对 【答案】C
类型四：双曲线的离心率：7．已知的左支交于A、B两点,若
是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线
是正三角形,求双曲线的离心率。
解析：∵，是正三角形， ∴，
∴，∴
【变式1】已知双曲线-=1与x轴正半轴交于A点，F是它的左焦点，设B点坐标为(0,b)，且AB⊥BF，则双曲线的
离心率为（ ） A、 B、 C、 D、【答案】B
【变式2】 若椭圆的离心率为,则双曲线的离心率为_______【答案】
【变式3】 双曲线的渐进线方程,则双曲线的离心率为________
【答案】
【变式4】 等轴双曲线的离心率为_________【答案】类型五：双曲线的焦点三角形 8．已知双曲线实轴长6，过左焦点 解析：由双曲线的定义有: ∴
∴
.故
.即
的周长
的弦交左半支于
，
、
两点，且
，
，设右焦点，求的周长.
.
【变式1】已知双曲线的方程，点A、B在双曲线的右支上，且线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m，F1
为另一焦点，则△ABF1的周长为（ ） A．2a+2m B．4a+2m C．a+m D．2a+4m【答案】B
【变式2】已知是双曲线的两个焦点，P在双曲线上且满足，则___
【变式3】已知双曲线的面积。【答案】
，P为双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，并且，求