圆的标准方程
1、情境设置：
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：
2、探索研究：
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条
件
=r ①
化简可得：(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 ②
引导学生自己证明(x -a ) +(y -b ) =r 为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
2
2
2
3、知识应用与解题研究
例（1）：写出圆心为A (2,-3) 半径长等于5的圆的方程，并判断点M 1(5,-7), M 2(-1) 是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点M (x 0, y 0) 与圆(x -a ) +(y -b ) =r 的关系的判断方法： （1）(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2>r ，点在圆外 （2）(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2=r ，点在圆上 （3）(x 0-a ) 2+(y 0-b ) 2
例（2）：∆ABC 的三个顶点的坐标是A (5,1),B (7,-3), C (2,-8), 求它的外接圆的方程
222
222
师生共同分析：从圆的标准方程(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a 、b 、r 三个参数. （学生自己运算解决）
例(3):已知圆心为C 的圆l :x -y +1=0经过点A (1,1)和B (2,-2) , 且圆心在l :x -y +1=0上, 求圆心为C 的圆的标准方程.
师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小. 圆心为C 的圆经过点
A (1,1)和B (2,-2) , 由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分
线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或
CB 。
（教师板书解题过程）
总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出 ABC 外接圆的标准方程的两种求法：
①、根据题设条件，列出关于a 、b 、r 的方程组，解方程组得到a 、b 、r 得值，写出圆的
标准方程.
根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.
课堂练习：课本p 127第1、3、4题 4. 提炼小结：
1、 圆的标准方程。
2、 点与圆的位置关系的判断方法。
3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。
圆的一般方程
4.1.1 圆的标准方程
一、基础过关
1．(x ＋1) 2＋(y －2) 2＝4的圆心与半径分别为( ) A ．(－1,2) ，2 B ．(1，－2) ，2 C ．(－1,2) ，4 D ．(1，－2) ，4
2．点P (m 2, 5) 与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆外 C ．在圆上 D ．不确定
3．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2) ，则此圆的方程是( ) A ．(x －2) 2＋(y －1) 2＝1B ．(x －2) 2＋(y ＋1) 2＝1 C ．(x ＋2) 2＋(y －1) 2＝1D ．(x ＋2) 2＋(y ＋1) 2＝1 4．圆(x －1) 2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝13
B. C ．1 D. 3 22
5．圆O 的方程为(x －3) 2＋(y －4) 2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________． 6．圆(x －3) 2＋(y ＋1) 2＝1关于直线x ＋2y －3＝0对称的圆的方程是________________． 7．求满足下列条件的圆的方程：
(1)经过点P (5,1)，圆心为点C (8，－3) ；
(2)经过点P (4,2)，Q (－6，－2) ，且圆心在y 轴上．
8．求经过A (6,5)，B (0,1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上的圆的方程． 二、能力提升
9．方程y ＝9－x 表示的曲线是( ) A ．一条射线 B ．一个圆 C ．两条射线 D ．半个圆
10．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a ) 2＋(y ＋b ) 2＝1的圆心位于( )
3
的距离为( ) 3
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
11．如果直线l 将圆(x －1) 2＋(y －2) 2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围
是________．
12．平面直角坐标系中有A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2) 四点，这四点能否在同一个圆上？
为什么？ 三、探究与拓展
13．已知点A (－2，－2) ，B (－2,6) ，C (4，－2) ，点P 在圆x 2＋y 2＝4上运动，求|P A |2＋|PB |2
＋|PC |2的最值．
答案
1．A 2.B 3.B 4．A 5．5＋2
193
x －⎫2＋⎛y 2＝1 6. ⎛⎝5⎭⎝57．解 (1)圆的半径r ＝|CP |＝(5－8)＋(1＋3)＝5，
圆心为点C (8，－3) ，
∴圆的方程为(x －8) 2＋(y ＋3) 2＝25. (2)设所求圆的方程是x 2＋(y －b ) 2＝r 2. ∵点P 、Q 在所求圆上，依题意有
⎧⎪16＋(2－b )＝r ，⎨22⎪36＋(2＋b )＝r ，⎩
22
⎧r ＝4，
⇒⎨5
b ＝－⎩2.
2
145
∴所求圆的方程是 5145
y ＋⎫2x 2＋⎛⎝2⎭4
8．解 由题意知线段AB 的垂直平分线方程为3x ＋2y －15＝0，
⎧⎪3x ＋2y －15＝0，∴由⎨，
⎪3x ＋10y ＋9＝0⎩⎧⎪x ＝7，解得⎨
⎪y ＝－3. ⎩
∴圆心C (7，－3) ，半径r ＝|AC |＝65. ∴所求圆的方程为(x －7) 2＋(y ＋3) 2＝65. 9．D 10.D 11．[0,2]
12．解 能．设过A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)的圆的方程为(x －a ) 2＋(y －b ) 2＝r 2.
将A ，B ，C 三点的坐标分别代入有 a ＋(1－b )＝r ，⎧⎪
⎨(2－a )2＋(1－b )2＝r 2，⎪⎩(3－a )2＋(4－b )2＝r 2，
2
2
2
⎧a ＝1，
⎪
解得⎨b ＝3，
⎪⎩r ＝5.
∴圆的方程为(x －1) 2＋(y －3) 2＝5. 将D (－1,2) 代入上式圆的方程，得 (－1－1) 2＋(2－3) 2＝4＋1＝5， 即D 点坐标适合此圆的方程． 故A ，B ，C ，D 四点在同一圆上． 13．解 设P (x ，y ) ，则x 2＋y 2＝4.
|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝(x ＋2) 2＋(y ＋2) 2＋(x ＋2) 2＋(y －6) 2＋(x －4) 2＋(y ＋2) 2＝3(x 2＋y 2) －4y ＋68＝80－4y . ∵－2≤y ≤2，
∴72≤|P A |2＋|PB |2＋|PC |2≤88.
即|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最大值为88，最小值为72.
4.1.2 圆的一般方程
一、基础过关
1．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) 11
A ．m ≤2 B ．m ＜．m ＜2 D ．m 22
2．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |等于( ) A ．1 B. 2 3 D ．2
3．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －y －3＝0 C ．2x －y －6＝0 D ．2x ＋y －6＝0
4．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1) 2＝0(0
5．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________． 6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数) 上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.
7．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0，求过点A (－3，－5) 的直线交圆的弦PQ 的中点M 的轨迹方程．
8．求经过两点A (4,2)、B (－1,3) ，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程． 二、能力提升
9．若圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0 C ．x 2＋y 2＝0 D ．x 2－y 2＝0
10．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之
差最大，则该直线的方程为( )
A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0 D ．x ＋3y －4＝0
11． 已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和
BD ，则四边形ABCD 的面积为________．
12．求一个动点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程． 三、探究与拓展
13．已知一圆过P (4，－2) 、Q (－1,3) 两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．
答案
1．B 2.D 3．B 4．B 5．(0，－1) 6．－2
7．解 设所求轨迹上任一点M (x ，y ) ，圆的方程可化为(x －3) 2＋(y －3) 2
＝4. 圆心C (3,3)． ∵CM ⊥AM ， ∴k CM ·k AM ＝－1， 即
y －3y ＋5
1， x －3x ＋3
即x 2＋(y ＋1) 2＝25.
∴所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1) 2＝25(已知圆内的部分) ． 8．解 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，
所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；
令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，
所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；
由题设，得x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E ) ＝2，所以D ＋E ＝－2. ① 又A (4,2)、B (－1,3) 两点在圆上，
所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，②
1＋9－D ＋3E ＋F ＝0，③
由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，
故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.
9．D 10．A
12．解 设点M 的坐标是(x ，y ) ，点P 的坐标是(x 0，y 0) ．
由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点，
x 0＋3y 所以x ＝，y ＝， 22
于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .
因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，
2所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 0＝1，
31x －2＋y 2＝. 则(2x －3) 2＋4y 2＝1，整理得⎛⎝24
31x 2＋y 2＝所以点M 的轨迹方程为⎛⎝24
13．解 设圆的方程为：
x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，①
将P 、Q 的坐标分别代入①，
⎧⎪4D －2E ＋F ＝－20 ②得⎨ ⎪D －3E －F ＝10 ③⎩
令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0，④
由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根． ∴(y 1－y 2) 2＝(y 1＋y 2) 2－4y 1y 2
＝E 2－4F ＝48. ⑤
解②③⑤联立成的方程组，
D ＝－2D ＝－10⎧⎧⎪⎪得⎨E ＝0或⎨E ＝－8
⎪⎪⎩F ＝－12⎩F ＝4 .
故所求方程为：x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.