圆的方程练习题答案
A 级 基础演练
一、选择题
1．(2013·济宁一中月考) 若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x ＋y ＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为
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( ) ． D ．－3
A ．－1 B ．1 C ．3
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解析 化圆为标准形式(x ＋1) ＋(y －2) ＝5，圆心为(－1,2) ．∵直线过圆心，∴3×(－1) ＋2＋a ＝0，∴a ＝1. 答案 B
2．(2013·太原质检) 设圆的方程是x ＋y ＋2ax ＋2y ＋(a －1) ＝0，若0
( ) ．
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A ．原点在圆上 C ．原点在圆内
B ．原点在圆外 D ．不确定
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解析 将圆的一般方程化为标准方程(x ＋a ) ＋(y ＋1) ＝2a ，因为00，所以原点在圆外． 答案 B
3．圆(x ＋2) ＋y ＝5关于直线y ＝x 对称的圆的方程为 A ．(x －2) ＋y ＝5
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( ) ．
B ．x ＋(y －2) ＝5
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C ．(x ＋2) ＋(y ＋2) ＝5 D ．x ＋(y ＋2) ＝5
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解析 由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2) ，所以所求圆的方程为x ＋(y ＋2) ＝5. 答案 D
4．(2013·郑州模拟) 动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为
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( ) ．
A ．x ＋y ＝32
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B ．x ＋y ＝16
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C ．(x －1) ＋y ＝16 D ．x ＋(y －1) ＝16
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解析 设P (x ，y ) ，则由题意可得：2 x －2 ＋y x －8 ＋y ，化简整理得x ＋y ＝16，故选B. 答案 B 二、填空题
5．以A (1,3)和B (3,5)为直径两端点的圆的标准方程为________．
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解析 由中点坐标公式得AB 的中点即圆的圆心坐标为(2,4)，再由两点间的距离公式得圆的半径为 4－3 ＋ 2－1 ＝2，故圆的标准方程为(x －2) ＋(y －4) ＝2. 答案 (x －2) ＋(y －4) ＝2
6．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1) ＋(y －1) ＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．
解析 由题意得C 上各点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去半|1－1＋4|2＝2.
2答案
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三、解答题
7．(12分) 求适合下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2) ； (2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2) ．
解 (1)法一 设圆的标准方程为(x －a ) ＋(y －b ) ＝r ，
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⎧⎪ 3－a ＋ －2－b ＝r ，则有⎨|a ＋b －1|
r ，⎪⎩2
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b ＝－4a ，
解得a ＝1，b ＝－4，r ＝22. ∴圆的方程为(x －1) ＋(y ＋4) ＝8.
法二 过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4) ．
∴半径r ＝ 1－3 ＋ －4＋2 ＝22， ∴所求圆的方程为(x －1) ＋(y ＋4) ＝8.
(2)法一 设圆的一般方程为x ＋y ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，⎧⎪
则⎨49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，⎪⎩81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.
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解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.
∴所求圆的方程为x ＋y －2x －4y －95＝0. 法二 由A (1,12)，B (7,10)， 1得AB 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－，
3则AB 的垂直平分线方程为3x －y －1＝0.
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同理得AC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0.
⎧⎪3x －y －1＝0，联立⎨
⎪⎩x ＋y －3＝0
得⎨
⎧⎪x ＝1，
⎪⎩y ＝2，
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即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝ 1－1 ＋ 2－12 ＝10. ∴所求圆的方程为(x －1) ＋(y －2) ＝100.
8．(13分) 已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0) 和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交2
圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．
解 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1) ，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b ) ，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0. 又直径|CD |＝10，∴|PA |＝10， ∴(a ＋1) 2
＋b 2
＝40，
由①②解得⎧⎪⎨
a ＝－3，⎪⎨
⎩
b ＝6
或⎧⎪a ＝5，
⎪
⎩
b ＝－2.
∴圆心P (－3,6) 或P (5，－2) ，
P 的方程为(x ＋3) 2＋(y －6) 2＝40或(x －5) 2＋(y ＋2) 2＝40
①
②
∴圆