中学生数理化·教与学
椭圆曲率半径的四种求法
◆广西柳州铁一中 温黎明
要分析沿曲线运动的质点在曲线上某点的运动情况,往往要先弄清曲线在这一点切线的方向及曲折程度,切线方向可由斜率反映出来,弯曲程度可用极限圆曲率半径反映出来.如果在曲线上某点附近取极短的一段,只要取得足够短,那么,这一小段就可以看成一段很短的圆弧,此圆弧所在的圆叫做曲线在该点的极限圆,极限科圆的半径叫曲线在该点的曲率半径.求曲线曲率半径通常用到的依据是向心加速学思度公式:aν22
nρ,得ν
a.故求曲率半径所要解决的问题是:质点经过该位置时速想n方
度和在该点法线方向的加速度.对于任意曲线,关键在于如何构建一个合理的模法型,使其合运动来满足曲线方程.下面就以求椭圆端点的曲率半径为例,来说明如何构造物理模型.
如图1,质点运动的椭圆轨道方程为x2y2
a2b2=1,试用物理的方法求出A(a,0)
和B(0,b)两点处的曲率半径.
构造模型:将质点的椭圆运动看成两个互相垂直的同频率简谐振动的叠加.解法一:设质点的两个分运动为:
x=asinωt,
y=bcosωt.
它们的合运动的轨道方程就是题中
给出的椭圆方程.
求速度 νx=aωcosωt,
νy=-bωsinωt.
求加速度 ax=-aω2sinωt,
ay=-bω2cosωt.
在点A处,y=0,x=a;νy=-bω;a2
x=-aω,ay=0.
由ν22
a解得ρb
A=.
na
同理可得B点曲率半径ρa2
A=b.
点评:椭圆的参数方法可以写为x=asinωt,y=bcosωt,此方法将复杂的椭圆运动利用数学中的参数方法,巧妙地分解为两个基本的同频率的简谐振动,将本来没有实际物理意义的参数方程赋予新的物理意义,这样,就简化为讨论两个基本的同
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频率的简谐振动问题.利用这个思想,我们可以将任何一个复杂的运动,利用它的参数方程来进行适当的运动分解.从而化复杂为简单,化抽象为具体,这将为我们讨论复杂运动带来很多便利.
半径为b的圆柱面被两平面相截,其中一个平面与圆柱面轴线垂直,第二个平面与第一个平面交角为θ,且满足cosθb
a.两平面的交线与圆柱面相切.如图1所
示,可得第一个平面与圆柱面的交线是一个半径为b的圆,第二个平面与圆柱的交线是一个半长轴为a、半短轴为b的椭圆.
构造模型:将椭圆按上述方法投影成一个圆.
科解法二:设质点在半径为b的圆周上作速率为ν的匀速圆周运动,则质点在椭圆学思上的投影必然沿椭圆轨道运动,轨迹方程就是题中给出的椭圆方程.想ν2
方如图2,点A速度为ν,法向加速度为b,点A的投影A′的速度和法向加速度为法νA′=ν
cosθ=a
bν,
(aν2
A′)n=(aA)n=b.
由此可得A′处的椭圆曲率半径
ρν2
Aa2
A′=′(aA′)=.
nb
同理可得B′处的椭圆曲率半径
22ρνB′b
B′==.
B′n点评:此方法利用投影的思想,把一个复杂的椭圆运动简化,这是物理学中的一个重要思想.
行星绕太阳的运动轨迹为椭圆,同样,我们可以用万有引力的方法来求解.构造模型:设质量为m的质点在万有引力的作用下绕质量为M的质点做椭圆运动,轨道的半长轴为a,半短轴为b,质量为M的质点处在椭圆的一个焦点上,如图3.
解法三:略.
可见,物理模型的建立在物理学
习中十分重要.掌握一些物理模型的
特点和研究方法,学会将研究对象简
化成理想模型、将新的物理情景抽象
成我们熟知的物理模型并加以解决,
并且于实际情景中构建新的物理模
型,这需要大家不断探索和总结.