思维之锥
例谈椭圆双曲线离心率取值范围的求法
４３５２００
湖北省阳新县高级中学邹生书
求离心率取值范围问题有两种题型，即显示约束条件和隐藏约束条件两种题型．两种解题方向，即以“形”为主的解题的方向和以“数”为主的解题方向．两种求取值范围的方法，即解不等式法和函数值域法．下面举例说明．
．‘．Ｐ≥譬，又Ｐ＜１，．．．譬≤ｅ＜１，应选Ｄ
Ｊ
＇）
点评：以“形”为解题方向，从线段人手，用
垂线段最短列不等式．
例１：（０７，湖南）设Ｆｌ、Ｆ２分别是椭圆≮＋
ａ。
．．２
Ｌ
一２
例２：双曲线与一等一１的右焦点作渐近线
“’
【，Ｚ
一２
．．２
ｙ一旦ｚ的垂线与双曲线左、右两支都相交，则
“
ｙ－－，，一ｌ（ｎ＞ｂ＞Ｏ）左右焦点，若在其右准线上Ｄ。
存在点Ｐ，使线段ＰＦｌ的中垂线过Ｆｚ，则椭圆的
离心率的取值范围是（
瓜
双曲线的离心率ｅ的取值范围是（
Ａ．１＜ｅ＜２Ｃ．ｅ＞√２解：如图，。．’直线ｚ与双曲线左右两支相交
．。．ａ＞ｐ，又ｐ＞
９０。，口、口∈（９０。，１８０。）
．。．ｔａｎａ＞ｔａｒｉｆｆ，
）
Ｂ．１＜ｅ＜√２Ｄ．Ｐ＞２
）
Ｅ
ＥＥ
Ａ（ｏ，等）＆（ｏ，譬）ｃ．［譬，１）ＤＩ［掣，１）
解：‘．‘点Ｆ２在线段ＰＦｌ的中垂线上
．．．Ｆｌ
’Ｙ
Ｆ２一Ｐ＆又ＰＦ２
一２
≥ＲＨ．。．Ｆ１Ｒ≥Ｆ２Ｈ
‘’硬
≮”乡￥
Ｐ
｝寸ｘ
即２ｆ≥竺二一ｆ．．．３ｆ２≥
Ｃ
即一导＞一旦，．．．ａ２
＜６２，即ｎ２＜ｆ２一口２，
，
口２．・．矿＝芸≥ｉ１
．・．ｃ２＞２ａ２，．．．Ｐ２一乓＞２
以。
中学生比拟的，但是，从题设上可以看出美国的数学教育还是非常重视逻辑运算的，重视反证的使用，他们的许多数学选择题都注重通过举反例来判断结果．我们中国的中学几何教学重视对学生逻辑推理能力的培养，重视几何问题中作图、证明、计算的训练，我们中学阶段就进行了完善的立体几何的教学，大部分学生在中
学阶段就形成了较强的空问图形感知能力以及
低的教学要求．他们热衷于解决实际问题、有趣问题，满足于探究特殊事例，所获知识不系统、不一般．过于讲究实用而轻视理论的探讨，使学
生在经历一定的发展之后很难跃入新的水平．
由于文化背景的影响，中国数学教育较多系统化、机械化，这里的机械指大量重复练习，学生的理论知识、解决问题能力的基本功非常强，但缺乏情境化、活动化，这里的活动指学生个体的思维活动，缺乏疑问精神、创造精神的教育，不利于学生在后续的个人发展中提高解决实际问题的能力．因此，我想我们数学教育工作者应从这些ＧＲＥ试题中得到启示，借鉴美国数学教育中提倡学生疑问、辩论、反驳、自信的精神以及
注重学生个体的思维发展，使我们的学生不仅
证明计算的能力，只是我们的学生举例、反证能力不强，缺乏疑问精神，思维不够发散，在这一点卜，我想我们可以借鉴美国数学教育中提倡
学生疑问、辩论、反驳、自信的精神．
受篇幅限制，我不能对ＧＲＥ中所有的数学
试题一一举例，只能挑选这几个比较有特色的问题以供大家来参考．综上所述，与中国学生面对较高的学习要求相反，荚国学生面对的是过
具备扎实的理论基本功，也具备学以致用的实
际应用能力．
万方数据
３２匍两
上海中学数学・２００８年第２期
．．．ｅ＞√２故应选Ｃ．
点评：以“形”为解题方向．从角人手，用正切函数的单调性列不等式．
例３：椭圆与＋百ｙ－＝ｌ的左、右焦点分别为
Ｆ。、Ｆｚ，Ｐ为椭圆上的任意一点，向量两才、两专
的数量积的最大值的取值范围是［ｃ２，３ｃ２］，则离心率的取值范围是（）
Ａ．［÷，÷］
Ｂ．［÷，譬］
Ｃ．［等，１］Ｄ．［÷，１］
解：设Ｐ（ｚ，ｙ），‘．’点Ｐ在椭圆上，
．．．等＋苦＝１，．．．ｙ２—６２一笔ｚ２
两．两：帘．蔚一（卅叫）．
（ｚ—ｆＩ，ｙ）＝工２＋ｙＺ—ｆ２＝≯十６２一百０－≯一Ｃ２＝与ｚ２＋护一ｆ”．。０≤ｚ２≤口２．．．当ｚ２＝日２
时两・砑专最大值为ｂｚ，依题意，Ｃ２≤６２≤３ｃ２
即ｆ２≤口２一ｃ２≤３ｃ２，．．．２ｃｚ≤ａ２≤４ｃ２，
．・．百１≤爰≤÷即丢ｅｚ≤虿１．・．÷≤ｅ≤譬，
故应选Ｂ
点评：此题属显示约束条件题型，以“数”为解题方向，从向量数量积的坐标运算入手，用曲线上点的坐标的范围求数量积的最大值，再根据最大值的范围列不等式．
例４：椭圆与＋万ｙ－＝ｌ（口＞ｂ＞ｏ）上一点
Ｐ，使么ＯＰＡ＝９０。，Ｏ为坐标原点，Ａ为右顶点，则椭圆的离心率的取值范围是（）
Ａ（譬，，虿／ｇ）Ｂ（譬，１）ｃ（扣Ｄ．（。＇１）解：设Ｐ（ｘ，力，
ｙ
。．．么ＣＰＡ＝９０。．。．点Ｐ在以（Ｍ为直径的圆上，其方程
／一为：ｂ一号）ｚ＋６２＝手，即
撼～
＼～’选夕８’
≯＋，一ａ．Ｔｃ＝０①，又点
Ｐ在椭圆上，每＋－５＝１②
由①、②消去ｙ，得ｃ２一一日３ｚ＋ｎ２ｂ２—０
此方程有两个根，它们分别是圆与椭圆交点Ａ、Ｐ的横坐标ＸＡ、ｚＰ
・．。张一口，由根与系数关系得，ＸＡＸＰ一华，
．．．
‘’
３■ｒ，．．ｚｐ２丁义
＜ｎ，≮ｎ，
万
方数据．．．铲＞舻，．．．孑一乓＞｛＇．．圮＞霉，又Ｐ＜１，
霉２式，得ｌ口＋改＋ｚ≯￡二卜—０乓—Ｌｏ；
ＰＦ誊ｚ篱，由焦半径公
ｏ
。Ｉ
Ｉ
ｒ２
一竺－一
１２
ｒｌ
ａ
—
／ｌ
＼
．．．以＋甜＋ｚ尘一
ｆ
Ｓ
’
２（ｅｒ—ｎ）．・．３口一竺：ｅｘ一；
＼∥７＼
Ｉ
（ｅ一１）ｘ又ｅ＞ｌ，ｚ≥ａ
ｃ
．’．３ｎ旦≥（ｅ—１）ｎ，两边都除以ａ，
ｆ
１
得３一二≥ｅ～ｌ，．’．ｅ２—４ｅ＋１≤０
ｅ
又ｅ＞１．。．１＜ｅ≤２＋，／ｇ，故选Ｄ．
点评：以“数”为解题方向，从焦半径公式人手，用曲线上点的坐标范围列不等式．
法２：‘．．ＰＦｌ＋ｄ＝２ＰＦｚ，由第二定义，得
霉一∥．ｄ：土ＰＦ２
ａ
ｅ
１
代入上式得，ＰＦｌ＋１－－ＰＦｚ＝２ＰＦｚ
①ｅ
又由第一定义，得ＰＦｌ一ＰＦ２＝２ａ
②
由①、②消去ＰＦｌ，得２∞＝（Ｐ一１）ＰＦ２，又ＰＦｚ≥ｃ一口
．．．２以≥（ｅ—１）（ｃ—ａ），两边都除以ａ，得
２Ｐ≥（ｅ一１）２即８２—４Ｐ＋１≤０
．‘．２√３≤ｅ≤２＋√３，又ｅ＞１，．’．１＜ｅ≤
２＋厢
点评：以“形”为解题方向，从焦半径人手，根据两种定义，列出关于两条焦半径的方程组，求出焦半径，再用焦半径范围列不等式．
例６：已知椭圆ｃ：与＋育ｙ－一１（ｎ＞ｂ＞ｏ），
ａ。
ｏ。
长轴两端点为Ａ、Ｂ．如果Ｃ上存在一点Ｑ，使
思维之锥
《ｊ尹３３
么ＡＱＢ＝１２０。，求椭圆ｙ
离心率ｅ的取值范围．
Ｐ
法１：’．。么艘Ｂ≥
么Ａ邓＝１２０。．．．么ＡＰＯ
钐巅一
ｘ
≥６０。．．．ｔａｎ么ＡＰＯ≥
＂＼ｉ／＿一
ｔａｎ６０。，即芋≥怕
．．．ａ≥届．．．口２≥３ｂｚ＝３（ａｚ—Ｃ２）．．．３ｃ２≥２ａｚ，
．・ｅ２：了Ｃ２≥导，ｇ≥√－４６－又Ｐ＜１
．’．掣≤Ｐ＜１．
点评：以“形”为解题方向，从角人手，用正切函数单调性列不等式．
法２：设Ｑ（ｘ，ｙ），则与＋百ｙ－＝１
．。．≯一口２＝一鲁３，２由两角差的正切公式，得：
矿—Ｌ—ｊＬ
：下掣一：粤：一攀：ｔａｎｌ２０＊：据２南２万蒡２丽。刮３‘
ｔａｎ，Ａ．五ｔ：２８＝丛１＋ｈａ＂ｈａ。‘。ｚ—ａ
ｉｘ－ｒａ．ＴＩｘ＋ａ
－Ｊｉ－ａ
．．．２ａｂｚ＝怕ｆ２Ｙ又Ｙ≤ｂ，．．．２口６２≤√３ｆ２ｂ，
．‘．２口６≤√３ｃ２
两边平方，得４ａ２６２≤３ｃ４，４ａ２（口２一ｆ２）≤３ｃ４
．’．３ｆ４＋４ａｚＣ２—４ａ４≥０
两边都除以口４，得３ｅ４＋４ｅｚ一４≥０
．’．（Ｐ２＋２）（３ｅ２—２）≥０，．‘．Ｐ２≥－。ｙ，
．．．Ｐ≥霉，又Ｐ＜１，．．．霉≤ｅ＜１
点评：以“数”为解题方向，从两角差的正切
公式人手，用曲线上的点的坐标范围列下等式．
例７：（２０００年，全国，理２２）已知梯形
ＡＢＣＤ中，ｆ
ＡＢ
ｆ－－７－－２
ＣＤ
ｆ，点Ｅ分有向线段
Ａ、Ｂ为焦点，当÷≤Ａ≤÷时，求双曲线离心率
ｅ的取值范围．
分析：此题已知ｉｔ的范围，求率心率ｅ的取值范围，属显示约束条件题型，其解题程序是先根据条件求ｅ与Ａ的等量关系式，然后分离参数，若能求出Ａ一厂（ｅ），则用Ａ的取值范围列不等式求解；若能求出ｅ＝厂（Ａ），则求此函数的值
域即可．
法１：以直线ＡＢ为ｚ轴，线段ＡＢ的垂直平分线为ｙ轴，建立直角坐标系，如图所示：
万
方数据设Ａ（一ｆ，０），
ｃ（号，＾）＇Ｅ（ｘｏ，Ｙｏ）
’．．麓一Ａ虎，由定
比分点坐标公式，得
动。—Ｔ矿２
一ｆ＋Ａ・号
瓦而，’３＇ｏ
ｃＬ＾一ＺＪ
２
Ａｈ
ｒ丙ｔ
设＿ｊ双曲线方程为篆一矿２２—１，则离心率ｅ一
詈，。．．点ｃ、Ｅ在双曲线上
．・．＿ｅ２一譬一１一百一万一
①ｕ
兰４（尝苦１）ｚ—Ｆｂｌ・笙ｂ２＝１
‘
、Ａ＋７
Ａ＋
②…
由①得笞＝譬＋ｌ代入②，整理得了ｅ２（４—
４ａ）＝１＋２ａ’．．．Ａ＝ｌ一≯３砭，・．‘了２ｅ’十二
ｏ
≤ｚ≤÷，
ｏ
所以双曲线的离心率的取值范围是Ｅ万，厕
．．．了２≤Ａ一万毛≤百３，解得万≤Ａ≤，／ｉ－ｄ
点评：以“数”为解题方向，从方程入手，求出Ａ＝八ｅ），再用Ａ的范围列不等式求ｅ的范围．
法２：］－ｆｆｊｆ去：ｌ，得ｚ。＝衾砉吾爸，由焦半径公
式得Ｉ
ＡＣｆ＝Ｉ
ｎ＋ｅｘｃ
Ｉ一口＋“。＝ｎ＋等
ＡＥ
Ｉ＝Ｉａ－ｔ－红。ｌ一一ａ—Ｆｚ。＝
一口一Ｐ．雾导婪又．．．茗：．＝【芘，．．．１一口一Ｐ‘瓦再可义’ｍ２＾ＥＬ…ｌ
ＡＥＡＥ
ｌ：
２南Ｉ
两边都除以ｎ得，一１一Ｐ２‘赫一
ＡＣ
１．．．一ｅ・黼＝南ｃ口＋号，
ｆｂ（，＋专ｅｚ，，解得ｅｚ一等等一一ｚ＋高，又’．．号≤Ａ≤丢’．．．ｅｚ一一２＋高在Ａ∈
［寺，｝］上单调递增・
ｎ
ｎ
当Ａ一号时，ｅＺｍｉｎ一７，当Ａ＝Ｔ。时，蠡ｘ＝
１０，．．．７≤口２≤１０．．．万≤ｅ≤ｖ／而
点评：以“形”为解题方向，从焦半径公式人手，求出９２一，（．：Ｉ）再求此函数值域就可求出
ｅ的范闱．
赢所成的比为Ａ，双曲线过ｃ、Ｄ、Ｅ三点，且以
例谈椭圆双曲线离心率取值范围的求法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
邹生书
湖北省阳新县高级中学,435200上海中学数学
SCHOOL MATHEMATICS IN SHANGHAI2008(2)
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