第一部分 五年高考文科荟萃
2009年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线 一、选择题
x 2y 2
+2=1(a >b >0) 2a b 1（2009浙江文）已知椭圆的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴， 直
y 线AB 交轴于点P ．若AP =2PB ，则椭圆的离心率是（D ） 11A
． B
． C ．3 D ．2 1
OA =2OF , ∴a =2c , ∴e =
2 【解析】对于椭圆，因为AP =2PB ，则
2
y =ax (a ≠0) 的焦点F, 且和y 轴交于点A, 若△OAF(O为坐标原点) l 2.(2009山东卷文) 设斜率为2的直线过抛物线
的面积为4, 则抛物线方程为( ).
2222y =4x y =±4x y =±8x y =8x A. B. C. D.
a a
y =2(x -) (, 0) 2
y y =ax (a ≠0) l 44【解析】 抛物线的焦点F 坐标为, 则直线的方程为, 它与轴的交点为a 1a a
(0,-) ||⋅||=42
y =±8x , 故选B. a =±82242A , 所以△OAF 的面积为, 解得. 所以抛物线方程为
【答案】B
【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算. 考查数形结合的数学思想, 其中还隐含着分类讨论的思想, 因参数a 的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况, 这里加绝对值号可以做到合二为一.
x 2y 2
-=1222633. （2009全国卷Ⅱ文）双曲线的渐近线与圆(x -3) +y =r (r >0) 相切，则r= ( A )
A. 3 B.2 C.3 D.6
【解析】本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r ，可求r=3.
2
=2y =k (x +2)(k >0) y =8x 相交A 、42009全国卷Ⅱ文）（已知直线与抛物线C:B 两点，F 为C 的焦点。若,
则k= ( D )
12222
Ａ. 3 Ｂ. 3 Ｃ. 3 Ｄ. 3
【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由
FA =2FB
及第二定义知
x A +2=2(x B +2) 联立方程用根与系数关系可求
k=.
x 2y 2
-2=1(a >o )2
35. （2009福建卷文）若双曲线a 的离心率为2，则a 等于( D )
A. 2
B.
3
C. 2 D. 1
x 2y 2c -=1可知虚轴e===22
3a 【解析】
由a ，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.
6（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为的 是 (B )
A. B . C .
D.
c x 2y 2c e =-=1e ==2
a 可判断得
. b 2a . 选B 。 【解析】依据双曲线a 的离心率
x 2y 2
-2=12F F F ，F 2，P (0,2b ) 是正三角形的三b 7（2009江西卷文）设1和2为双曲线a (a >0, b >0) 的两个焦点, 若1
个顶点, 则双曲线的离心率为 B
35
A ．2 B ．2 C ．2 D ．3
tan
【解析】由
π
6
=
c c e ==2=2222
a 2b 有3c =4b =4(c -a ) , 则, 故选B.
x 2y 2
-2=1(a >0, b >0) 2a b 8（2009天津卷文）设双曲线的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（C ）
A. y =±2x B .y =±2x C .
y =±
12
y =±x x
2 2 D.
22
b =1, c =3, a =c -b =2，因为双曲线的焦点在x 轴上，故渐近线方程为【解析】由已知得到
y =±
b 2
x =±x a 2
【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。
x 2y 2
-2=1(b >0)
y =x ，b 9（2009四川卷文、理）已知双曲线2的左、右焦点分别是F 1、F 2，其一条渐近线方程为
点
P (3, y 0) 在双曲线上. 则PF 1·PF 2＝( )
A. －12 B. －2 C. 0 D. 4
22
y =x x -y =2，于是两焦点坐标分别是（－2，【解析】由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是
) ，PF 2=(2-3, -1) . 1=(-2-3, -10）和（2，0），且P (3, 1) 或P (, -1) . 不妨去P (3, 1) ，则PF )(2-, -1) =-(2+3)(2-) +1=0 【答案】C 1·PF 2＝(-2-, -1∴2
y =-8x 的焦点坐标是（ ） 10. （2009湖南卷文）抛物线
A ．（2，0） B ．（- 2，0） C ．（4，0） D ．（- 4，0）
【解析】由y =-8x , 易知焦点坐标是
2
(-
p
,0) =(-2,0) 2， 【答案】B
22
mx +ny =1”表示焦点在y 轴上的椭圆”的 m >n >011. （2009陕西卷文）“”是“方程
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
x 2y 2+=1
11>0, >0, 22
mx +ny =1m n n 【解析】将方程转化为 , 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须满足m 所以11
>
n m . 【答案】C
x 2y 2
－2＝1(a ＞0，b ＞0)22
1相切，则该双曲线的离心b 12. （2009全国卷Ⅰ文）设双曲线a 的渐近线与抛物线y ＝x ＋
率等于（ ）
B.2
bx x 2y 2
y =－＝1a ＞0，b ＞0()2
a ，代入抛物线方程整理得b 2【解析】由题双曲线a 的一条渐近线方程为
22
ax 2-bx +a =0，因渐近线与抛物线相切，所以b 2-4a 2=0，即c =5a ⇔e =5，故选择C.
x 2y 2x 2y 2
-=1的准线经过椭圆+2=124b 13. （2009湖北卷文）已知双曲线2（b ＞0）的焦点，则b=( )
A.3 B. C. D. 2
a 2
x =±=± 1c 【解析】可得双曲线的准线为,
又因为椭圆焦点为(
=1. 即b2=3故
【答案】C
二、填空题
x 2y 2
+2=1(a >b >0) 2F (-c ,0), F 2(c ,0) ，若椭圆上存在一点b 1. （2009重庆卷文、理）已知椭圆a 的左、右焦点分别为1
a c
=
P 使sin PF 1F 2sin PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为 ． PF 2PF 1
=
∆PF 1F 2中，由正弦定理得sin PF 1F 2sin PF 2F 1
【解析1】因为在
a c =PF PF 1=cPF 2 11，即aPF 则由已知，得12
设点
(x 0, y 0) 由焦点半径公式，得PF 1=a +ex 0, PF 2=a -ex 0则a (a +ex 0) =c (a -ex 0)
x 0=
a (c -a ) a (e -1) a (e -1)
=x 0>-a 则>-a
e (c -a ) e (e +1) 由椭圆的几何性质知e (e +1) ，整理得
记得
e 2+2e -1>
0, 解得e
e ∈(0,1)，故椭圆的离心率e ∈1,1)
PF 1=
c
PF 2a 由椭圆的定义知
【解析2】 由解析1知
c 2a 2
PF 1+PF 2=2a 则PF 2+PF 2=2a 即PF 2=
a c +a
，由椭圆的几何性质知
2a 2
PF 20, 2
e c +a 所以+2e -1>0, 以下同解析1.
【答案】
1,1
)
x 2y 2
+=1
F , F |PF 1|=4，则|PF 2|= ；∠F 1PF 222（2009北京文、理）椭圆9的焦点为12，点P 在椭圆上，若
的大小为 .
【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查.
22a =9, b =3，
∵
∴c ==
∴又
F 1F 2=
，∴
PF 1=4, PF 1+PF 2=2a =6
cos ∠F 1PF 2=
PF 2=2
，
22+42-2⨯2⨯4
(2
=-
又由余弦定理，得
1
2，
︒︒
∠F PF =1202, 12012∴，故应填.
2
y =4x 的焦点到准线的距离是 . 3. （2009四川卷文）抛物线
【解析】焦点F （1，0），准线方程x =-1，∴焦点到准线的距离是2. 【答案】2
x 2y 2
-2=12222(a >0, b >0) x +y =a a b 4. （2009湖南卷文）过双曲线C ：的一个焦点作圆的两条切线，切点分别为A ，
B ，若∠AOB =120（O 是坐标原点），则双曲线线C 的离心率为 .
【解析】 ∠AOB =120⇒∠AOF =60⇒∠AFO =30⇒c =2a ,
∴e =
c
=2. a
【答案】2
5. （2009宁夏海南卷文）已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y=x与抛物线C 交于A ，B 两点，若
P (2,2)
为AB 的中点，则抛物线C 的方程为 。
【解析】设抛物线为y2＝kx ，与y ＝x 联立方程组，消去y ，
22
x +x y =4x y =4x 12得：x2－kx ＝0，＝k ＝2×2，故. 【答案】
三、解答题
1.(2009年广东卷文) （本小题满分14分）
3
已知椭圆G 的中心在坐标原点, 长轴在x 轴上, 离心率为2, 两个焦点分别为F 1和F 2, 椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离
22
C x +y +2kx -4y -21=0(k ∈R ) 的圆心为点A k . k 之和为12. 圆:
(1)求椭圆G 的方程 (2)求(3)问是否存在圆
∆A k F 1F 2的面积
C k 包围椭圆G? 请说明理由.
x 2y 2
+2=12
b 解（1）设椭圆G 的方程为：a （a >b >0）半焦距为c;
⎧2a =12
⎪⎧⎪a =6⎨c ⎨⎪=
⎩c =, ∴b 2=a 2-c 2=36-27=9 2 ,
解得⎪
则⎩a
x 2y 2
+=1
所求椭圆G 的方程为：369.
(2 )点
A K 的坐标为(-K ,2)
11
S V A K F 1F 2=⨯F 1F 2⨯2=⨯2=22
（3）若k ≥0，由
62+02+12κ-0-21=15+12κ 0可知点（6，0）在圆C k 外，
22
(-6) +0-12κ-0-21=15-12κ 0可知点（-6，0）在圆C k 外； k
∴不论K 为何值圆
C k 都不能包围椭圆G .
2. （2009浙江文）（本题满分15分）
17
已知抛物线C ：x =2py (p >0) 上一点A (m ,4) 到其焦点的距离为4．
2
（I ）求
p 与m 的值；
（II ）设抛物线C 上一点P 的横坐标为t (t >0) ，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ．若MN 是C 的切线，求t 的最小值．
y =-
解（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：
p
2，根据抛物线定义
4+
p 171=p =24，解得2
点A (m , 4) 到焦点的距离等于它到准线的距离，即
2
∴抛物线方程为：x =y ，将A (m , 4) 代入抛物线方程，解得m =±2
2
P (t , t ) 的直线PQ 斜率存在且不为0，设其为k 。 （Ⅱ）由题意知，过点
-t 2+kt -t 2+kt
y =0, x =, M (, 0) l PQ :y -t 2=k (x -t ) k k 则，当 则。 ⎧y -t 2=k (x -t )
⎨2
x 2=y x -kx +t (k -t ) =0 ⎩联立方程，整理得：
即：(x -t )[x -(k -t )]=0，解得x =t , 或x =k -t
∴Q (k -t , (k -t ) ) ，而QN ⊥QP ，∴直线NQ 斜率为
2
-
1
k
∴l NQ
1⎧
⎪y -(k -t ) 2=-[x -(k -t )]
1⎨k
:y -(k -t ) 2=-[x -(k -t )]2
⎪x =y k ，联立方程⎩ x 2+
11
x -(k -t ) -(k -t ) 2=02
kx +x -(k -t )[k (k -t ) +1]=0 k k ，即：
x =-
k (k -t ) +1
k ，或x =k -t
整理得：
[kx +k (k -t ) +1][x -(k -t )]=0，解得：
∴N (-
k (k -t ) +1[k (k -t ) +1]
, ) 2
k k ，
2
∴K NM
[k (k -t ) +1]2
2(k 2-kt +1) 2==2
k (k -t ) +1-t +kt k (t 2-k 2-1) --
k k =
-2k (k -t ) -2k
k 切=y '
而抛物线在点N 处切线斜率：
x =-
k (k -t ) +1
k
(k 2-kt +1) 2-2k (k -t ) -2∴2=2
k MN 是抛物线的切线，k (t -k -1) ，
22
k +tk +1-2t =0 整理得
∆=t -4(1-2t ) ≥0，解得
22
t ≤-
222
∴t min =t ≥
3（舍去）3 3，，或
3. （2009北京文）（本小题共14分）
x 2y 2C :2-2=1(a >0, b >
0) x =a b 。 已知双曲线
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）已知直线x -y +m =0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x +y =5上，求m 的值. 【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
2
2
⎧a 2=⎪⎪c ⎨
⎪c =⎪解（Ⅰ）由题意，得⎩
a ，解得a =1, c =
y 2
x -=1222
C b =c -a =22∴，∴所求双曲线的方程为.
2
（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为
(x 1, y 1), (x 2, y 2)，线段AB 的 中点为M (x 0, y 0)，
⎧2y 2
=1⎪x -2⎨
⎪x +y +m =022
由⎩得x -2mx -m -2=0（判别式∆>0）,
x 0=
x 1+x 2
=m , y 0=x 0+m =2m 2,
22
x +y =5上， 在圆
∴
∵点∴
M (x 0, y 0)
2
m 2+(2m )=5
，∴m =±1.
4. （2009江苏卷）（本题满分10分） 在平面直角坐标系
xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2）
，其焦点F 在x 轴上。
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；
（3）设过点M (m ,0)(m >0) 的直线交抛物线C 于D 、E 两点，ME=2DM，距离为f (m ) ，求f (m ) 关于m 的表达式。
记D 和E 两点间的
5. (2009山东卷文) （本小题满分14分）
设m ∈R , 在平面直角坐标系中, 已知向量a =(mx , y +1) , 向量b =(x , y -1) , a ⊥b , 动点M (x , y ) 的轨迹为E.
（1）求轨迹E 的方程, 并说明该方程所表示曲线的形状;
m =
（2）已知
1
4, 证明:存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A,B, 且OA ⊥OB (O为
坐标原点), 并求出该圆的方程;
m =
(3)已知
1
222
4, 设直线l 与圆C:x +y =R (1
取得最大值? 并求最大值.
解（1）因为a ⊥b , a =(mx , y +1) , b =(x , y -1) , 2222
mx +y =1. a ⋅b =mx +y -1=0所以, 即
当m=0时, 方程表示两直线, 方程为y =±1; 当m =1时, 方程表示的是圆
当m >0且m ≠1时, 方程表示的是椭圆; 当m
⎧y =kx +t
⎪2
2
⎨x 1x 22
+y =1m =+y =1⎪y =kx +t 4时, 轨迹E 的方程为4(2).当, 设圆心在原点的圆的一条切线为, 解方程组⎩4得
x 2+4(kx +t ) 2=4, 即(1+4k 2) x 2+8ktx +4t 2-4=0,
要使切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,
222222
64k t -16(1+4k )(t -1) =16(4k -t +1) >
0, 则使△=
8kt ⎧
x +x =-12⎪⎪1+4k 2⎨2
4t -4⎪x x =122222⎪1+4k 2 ⎩4k -t +1>0t
k 2(4t 2-4) 8k 2t 2t 2-4k 22
y 1y 2=(kx 1+t )(kx 2+t ) =k x 1x 2+kt (x 1+x 2) +t =-+t =22
1+4k 1+4k 1+4k 2,
2
2
22222
4t -4t -4k 5t -4k -4 +==0222x x +y y =0OA ⊥OB 121+4k 1+4k 要使, 需使12, 即1+4k ,
所以5t -4k -4=0, 即5t =4k +4且t
22222222
4
(1+k 2) 4t 4222r =x +y =r ===
, 5. 1+k 21+k 25, 所求的圆为所以圆的半径为
2
22222x 2
x =±(, ±) (-5, ±5) +y 2=1
5555当切线的斜率不存在时, 切线为, 与4交于点5或也满足O A ⊥O B .
x 2+y 2=
综上, 存在圆心在原点的圆
4 5，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且OA ⊥OB .
1x 2
m =+y 2=1222
y =kx +t x +y =R l l 44(3)当时, 轨迹E 的方程为, 设直线的方程为, 因为直线与圆C:(1
R =
于A1, 由（2
）知
222
, 即t =R (1+k ) ①,
因为l 与轨迹E 只有一个公共点B1,
⎧y =kx +t ⎪2⎨x 2
+y =122⎪x +4(kx +t ) =4, ⎩4由（2）知得
222
(1+4k ) x +8ktx +4t -4=0有唯一解 即
222222
64k t -16(1+4k )(t -1) =16(4k -t +1) =0, 即4k 2-t 2+1=0, ② 则△=
⎧23R 2
t =⎪⎪4-R 2⎨2
⎪k 2=R -1⎪4-R 2, 此时A,B 重合为B1(x1,y1)点, 由①②得⎩
8kt ⎧
x +x =-12⎪⎪1+4k 2⎨222
4t -44t -416R -162⎪x x =x ==1212
⎪x =x 1+4k ⎩1+4k 23R 2, 12由 中, 所以,
4124-R 2222
|OB |=x +y =5-y =1-x 1=111
R 2, 43R 2, 所以B1(x1,y1)点在椭圆上, 所以
2
1
在直角三角形OA1B1中,
|A 1B 1|2=|OB 1|2-|OA 1|2=5-
44422
-R =5-(+R ) +R 2≥4222R R 因为R 当且仅
当
2
|A B |≤5-4=1, 即
R =(1,2时取等号) , 所以11
当R =(1,2) 时|A1B1|取得最大值, 最大值为1.
【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系, 以及直线与椭圆的位置关系, 可以通过解方程组法研究有没
有交点问题, 有几个交点的问题. 7. （2009江西卷文）（本小题满分14分）
x 2
+y 2=1222
如图，已知圆G :(x -2) +y =r 是椭圆16的内接△
（1）求圆G 的半径r ;
（2）过点M (0,1)作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点， 证明：直线EF 与圆G 相切． （1）解 设B
（2+r , y 0），过圆心G 作GD ⊥AB 于D , BC 交长轴于H
y 0GD HB ==6+r , AD AH 由y 0=
即
(1)
2
(2+r ) 212-4r -r 2(r -2)(r +6)
y 0=1-==-
（2+r , y 0）161616而点B 在椭圆上, (2)
2
由(1)、 (2)式得15r +8r -12=0, 解得
r =
26
r =-3或5（舍去） 4
9相切的直线方程为:
(2) 证明设过点M(0,1)与圆
(x -2) 2+y 2=
y -1=kx (3)
2=3即32k 2+36k +5=0 (4) 则
解得
k 1=
-9-9k 2=1616
32k x 2
x =-+y 2=122
16k 2+1 将(3)代入16得(16k +1) x +32kx =0, 则异于零的解为
设
F (x 1, k 1x 1+1) , E (x 2, k 2x 2+1) ，则
k EF =
x 1=-
32k 132k 2
, x =-2
16k 12+116k 22+1
则直线FE 的斜率为：
k 2x 2-k 1x 1k +k 3=12=
x 2-x 11-16k 1k 24
32k 1232k 13y +-1=(x +) 22
16k 1+1416k 1+1
于是直线FE 的方程为:
y =
即
37x -43
2d ==
3则圆心(2,0)到直线FE
的距离
故结论成立.
8. （2009天津卷文）（本小题满分14分）
x 2y 2a 2
+2=1E (, 0) 2F (-c , 0), F (c , 0)(c >0) a >b >0c a b 12已知椭圆（）的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交
于点A,B 两点，且F 1A //F 2B , |F 1A |=2|F 2B | （Ⅰ求椭圆的离心率； （Ⅱ）直线AB 的斜率；
n
（Ⅲ）设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线F 2B 上有一点H(m,n)(m ≠0) 在∆AF 1C 的外接圆上，求m 的值。
|EF 2||F 2B |1
==
|EF 1||F 1A |2, 从而
解 （1）由F 1A //F 2B , |F 1A |=|F 2B |，得
a 2
-c
1=2a 2c +c e ==22c a 3 ，整理得a =3c ，故离心率
2222222
2x +3y =6c b =a -c =2c （2）由（1）知，，所以椭圆的方程可以写为
a 2
y =k (x -)
c 即y =k (x -3c ) 设直线AB 的方程为
⎧y =k (x -3c )
⎨2222x +3y =6c A (x , y ) B (x , y ) ⎩1122则它们的坐标满足方程组由已知设
222222
(2+3k ) x -18k cx +27k c -6c =0 消去y 整理，得
∆=48c 2(1-3k 2) >0, -
依题意，
3
18k 227k 2c 2-6c 2
x 1+x 2=, x 1x 2=2
2+3k 2+3k 2而，有题设知，点B 为线段AE 的中点，
所以x 1+3c =2x 2
9k 2c -2c 9k 2c 2+2c 22x 1=, x =k =±2
3. 2+3k 22+3k 2，将结果代入韦达定理中解得联立三式，解得
x 1=0, x 2=
3c 2
k =-2，当3时，得A (0, 2c ) 由已知得C (0, -2c )
(3)由（2）知，
1的垂直平分线l 的方程为线段AF
y -
c 2c 2c
(, 0) =-(x +),
222直线l 与x 轴的交点2是∆AF 1C 的外接圆的圆心，因
c c
(x -) 2+y 2=(+c ) 2
22此外接圆的方程为
直线F 2B 的方程为y =2(x -c ) ，于是点H (m , n ) 满足方程组
⎧c 29c 22
⎪(m -) +n =
24⎨
⎪n =2(m -c ) ⎩
由m ≠0，解得
m =
5c 22c n 22, n ==32，故m 5
k =
当
2n 22
=
3时，同理可得m 5.
9. （2009四川卷文）（本小题满分12分）
x 2y 2+=1(a >b >0) e =2F 、
F 2，离心率b ，右准线方程为x =2。 已知椭圆a 的左、右焦点分别为1
（I ）求椭圆的标准方程；
F 2M +F 2N =
F M 、
N l 13，求直线l 的方程。 （II ）过点的直线与该椭圆交于两点，且
⎧c =⎪⎪a 2⎨2
⎪a =2⎪
解（I
）由已知得⎩c
，解得a =c =1
b =1 ∴
x 2
+y 2=1
∴ 所求椭圆的方程为2 .
（II ）由（I ）得
F 1(-1,0) 、F 2(1,0)
⎧x =-1⎪2⎨x +y
2=1y =±⎪
2
①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =-1，由⎩2得M
(-设
N (-1, 、，
∴
F 2M +F 2N =(-+(-2, =(-4,0) =4
，这与已知相矛盾。
②若直线l 的斜率存在，设直线直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y =k (x +1) ， 设
M (x 1, y 1) 、N (x 2, y 2) ，
⎧y =k (x +1)
⎪2⎨x 2
2222⎪+y =1(1+2k ) x +4k x +2k -2=0 ⎩2联立，消元得
-4k 22k 2-2
x 1+x 2=, x 1x 2=2
1+2k 1+2k 2， ∴
y 1+y 2=k (x 1+x +=22)
2k
1+2k 2，
∴
F M =(x 1-1, y 1), F 2N =(x 2-1, y 2) 又∵2
F M +F =(1x +x 2, 2N 2-∴ 2
1
y + ) y 2
F 2M +F 2N ===3∴
4240k -23k -17=0 化简得
k 2=1或k 2=-
解得∴ k =±1
17
舍去) 40
∴ 所求直线l 的方程为y =x +1或y =-x -1 .
10. （2009湖南卷文）（本小题满分13分）
已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点 为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q ）. （Ⅰ）求椭圆C 的方程;
（Ⅱ）设点P 是椭圆C 的左准线与x 轴的交点，过点P 的直线l 与椭圆C 相交于M,N 两点，当线段MN 的中点落在正方形Q 内（包括边界）时，求直线l 的斜率的取值范围。
x 2y 2
+2=1(a >b >0), 2
b 解 （Ⅰ）依题意，设椭圆C 的方程为a 焦距为2c ，
由题设条件知，a =8, b =c , 所以
2
b 2=
12
a =4. 2
x 2y 2
+=14故椭圆C 的方程为8 .
（Ⅱ）椭圆C 的左准线方程为x =-4, 所以点P 的坐标(-4,0) ，
显然直线l 的斜率k 存在，所以直线l 的方程为y =k (x +4) 。 如图，设点M ，N 的坐标分别为
(x 1, y 1),(x 2, y 2), 线段MN 的中点为G (x 0, y 0) ，
⎧y =k (x +4),
⎪2⎨x y 2
=12222⎪+
84⎩由得(1+2k ) x +16k x +32k -8=0. „„①
由∆=(16k ) -4(1+2k )(32k -8) >
0解得
22
2
2
-
16k 2
x 1+x 2=-
x , x 1+2k 2，于是 因为12是方程①的两根，所以
x 1+x 24k 8k 2
x 0=y =k (x +4) =-00
2=1+2k 2，1+2k 2 .
8k 2x 0=-≤02y 1+2k 因为，所以点G 不可能在轴的右边，
又直线
F 1B 2, F 1B 1方程分别为y =x +2, y =-x -2,
所以点G 在正方形Q 内（包括边界）的充要条件为
⎧y 0≤x 0+2, ⎨
⎩y 0≥x 0-2.
⎧4k 8k 2
≤-+2, ⎪⎪1+2k 21+2k 2
⎨2
⎪4k ≥8k -2, ⎩1+2k 21+2k 2即⎪
2
⎧⎪2k +2k -1≤0, ⎨2
⎪2k -2k -1≤0. 亦即⎩
解得
≤k ≤，此时②也成立.
[
故直线l
斜率的取值范围是
10. （2009陕西卷文）（本小题满分12分）
y 2x 2-=1(a >0, b >
0) e =
2
b 22，顶点到渐近线的距离为5。 已知双曲线C 的方程为a ，离心率
（1）求双曲线C 的方程；
(2)如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若
1AP =λPB , λ∈[, 2]
3，求∆AOB 面积的取值范围。
方法一 解（Ⅰ）由题意知，双曲线C 的顶点（0，a
）到渐近线
ax -by =0，
=
ab =
5所以c 5
⎧ab ⎪=
⎪c ⎧a =2
⎪⎪⎪c =得⎨⎨b =1⎪a ⎪222⎩c =⎪c =a +b ⎪⎪由⎩
y 2
-x 2=1
所以曲线C 的方程是4
（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C 的两条渐近线方程为y =±2x
（-n ,2n ), m >0, n >0 设A (m ,2m ), B
uu u r uu r m-λn 2(m+λn) AP =λPB 得P 点的坐标为（, ),
1+λ1+λ由
y 2(1+λ) 22
-x =1, 化简得mn=44λ
将P 点的坐标代入
π14tan(-θ) =2, tan θ=,sin 2θ=
225
因为∠AOB =2θ,
又
OA , OB =
所以
S ∆AOB =
111OA ∙OB ∙sin 2θ=2mn =(λ+) +122λ
S (λ) =
记
111(λ+) +1, λ∈[, 2]2λ3 11(1-2) 2λ
S '(λ) =
则
'由S (λ) =0得λ=1
189S () =, S (2)=
34 又S （1）=2，3
当λ=1时，∆AOB 面积取到最小值2，当当
λ=
18
3时，∆AOB 面积取到最大值3
8[2,]3 所以∆AOB 面积范围是
ax -by =0方法二（Ⅰ）由题意知，双曲线C 的顶点（0，a
）到渐近线
，
=
ab =c
⎧ab ⎪=
⎪c ⎧a =2
⎪⎪⎪c
得⎨b =1⎨=⎪a ⎪
c =222⎩⎪c =a +b
⎪⎪由⎩
y 2
-x 2=1
所以曲线C 的方程是4.
（Ⅱ）设直线AB 的方程为y =kx +m , 由题意知
k 0
⎧y =kx +m m 2m
得A 点的坐标为（, ), ⎨
y =2x 2-k 2-k 由⎩
⎧y =kx +m -m 2m
得B 点的坐标为（, ), ⎨
y =-2x 2+k 2+k 由⎩uu u r uu r m 1λ2m 1λAP =λPB , 得P 点的坐标为（(-), (+)
1+λ2-k 2+k 1+λ2-k 2+k
y 2-x 2
=14m 2(1+λ) 2将P 点的坐标代入4得4-k
2
=λ 设Q 为直线AB 与y 轴的交点，则Q 点的坐标为（0，m ）
S ∆AOB =S ∆AOQ +S ∆BOQ .
=
111
2OQ x A +2OQ x B =2m (x A -x B ) =1m m 14m 22m (2-k +2+k ) =24-k 2=112(λ+λ) +1
11. （2009四川卷文、理）（本小题满分12分）
x 2y 2
+=1(a >已知椭圆a 2b b >0) 的左、右焦点分别为F 1
、F 2，离心
e =
，右准线方程为x =2。
（I ）求椭圆的标准方程；
（II ）过点F F M + F 1的直线l 与该椭圆交于M 、
N 两点，且
22N =
3，求直线l 的方程。 ⎧⎪c ⎪=⎨a 2⎪a 2
解 （I
）由已知得⎪
⎩c
=2，解得a =c =1
∴
b =1
x 2
+y 2=1
∴ 所求椭圆的方程为2 .
（II ）由（I ）得
F 1(-1,0) 、F 2(1,0)
⎧⎪x =-1
⎨x 2①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =-1，由⎪⎩2+y
2
=1y =±得2
M
(-N (-1, 设
、，
F -2M +F 2N =(∴
+(-2, =(-4,0) =4
，这与已知相矛盾。
②若直线l 的斜率存在，设直线直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y =k (x +1) ， 设
M (x 1, y 1) 、N (x 2, y 2) ，
率
⎧y =k (x +1) ⎪2⎨x 2
2222⎪+y =1(1+2k ) x +4k x +2k -2=0 ⎩2联立，消元得
-4k 22k 2-2
x 1+x 2=, x 1x 2=2
1+2k 1+2k 2， ∴
y 1+y 2=k (x 1+x +=22)
2k
1+2k 2，
∴
F M =(x 1-1, y 1), F 2N =(x 2-1, y 2) 又∵2
F M +F =(1x +x 2, 2N 2-∴ 2
1
y + ) y 2
F 2M +F 2N ===∴
化简得40k -23k -17=0
42
k 2=1或k 2=-
解得∴ k =±1
17
舍去) 40
∴ 所求直线l 的方程为y =x +1或y =-x -1 12. （2009全国卷Ⅰ文）（本小题满分12分）
2E :y =x 与 如图，已知抛物线
M :(x -4) 2+y 2=r 2(r >0)
相交于A 、B 、C 、
D 四个点。
（Ⅰ）求r 的取值范围
（Ⅱ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 的坐标。
2222
M :(x -4) +y =r (r >0) 的方程， E :y =x 解：（Ⅰ）将抛物线代入圆222
y 消去，整理得x -7x +16-r =0
抛物线E :y =x 与圆M :(x -4) +y =r (r >0) 相交于A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根
2222
∴
⎧49-4(16-r 2) >0⎪
⎨x 1+x 2=7>0⎪2
⎩x 1⋅x 2=16-r >0
即
⎧5⎪r ⎨22⎪-4
。
r
（II
）设四个交点的坐标分别为
A (x 1
、
B (x 1,
、
C (x 2,
、
D (x 2。
r ∈4) 2
则由（I ）根据韦达定理有
x 1+x 2=7, x 1x 2=16-
r ，
S =
1
2⋅2⋅|x 则
2-x 1|=|x 2-x 1|
∴S 2=[(x 1+x 2) 2-4x 1x 2](x 1+x 2+=(7+r 2-15)
=t ，则
S 2=(7+2t ) 2(7-2t ) 下面求S 2的最大值。 方法1：由三次均值有：
S 2=(7+2t ) 2(7-2t ) =117+2t +72(7+2t )(7+2t )(14-4t ) ≤(+2t +14-4t ) 3=1⋅(283
2323)
当且仅当7+2t =14-4t t =
76r ∈4)
，即
时取最大值。经检验此时满足题意。
方法2
：设四个交点的坐标分别为A (x 1
、
B (x 1,
、
C (x 2,
、
D (x 2
则直线AC 、BD 的方程分别为
y -x -x 2-x 1
1=
x x 2+x 11=
x 2-x (x -x 1), y +1
x (x -x 1)
2-x 1
解得点P 的坐标为
(x 1x 2, 0) 。
t ∈(1
设
t =x 1x 2，由t =-r 20, 及（Ⅰ）得4) S =
1
2(2x ) |x 由于四边形ABCD 为等腰梯形，因而其面积
1+2x 21-x 2|
则
S 2=(x 1+2x 1x 2+x 2)[(x 1+x 2) 2
-4x 1x 2]将x 1+x 2=7， x 1x 2=t 代入上式，并令f (t ) =S 2，等
f (t ) =(7+2t ) 2(7-2t ) =-8t 3-28t 2+98t +343(0
，
∴f `(t ) =-24t 2
-56t +98=-2(2t +7)(6t -7) ，
令f `(t ) =0t =
7得
6t =-7
，或2（舍去）
0
76t ) >0t =77t ) =0
7
当
时，f `(；当6时f `(；当62时，t =
7
故当且仅当
6时，f (t ) 有最大值，即四边形ABCD 的面积最大，
(7, 0)
故所求的点P 的坐标为6。
f `(t )
13. （2009湖北卷文）（本小题满分13分）
如图，过抛物线y2＝2PX(P﹥0) 的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N 两点， 自M 、N 向准线L 作垂线，垂足分别为M1、N1 (Ⅰ) 求证：FM1⊥FN1: (Ⅱ) 记△FMM1、、△FM1N1、△FN N1的面积分别为S1、、S2、，S3，试判断S22＝4S1S3是否成立，并证明你的结论。 证明 方法一 由抛物线的定义得
MF =MM 1, NF =NN 1,
∴∠MFM 1=∠MM 1F , ∠NFN 1=∠NN 1F
如图，设准线l 与x 的交点为
F 1
Q MM 1//NN 1//FF 1
∴∠F 1FM 1=∠MM 1F , ∠F 1FN 1=∠NN 1F
而∠F 1FM 1+∠MFM 1+∠F 1FN 1+∠N 1FN =1800
即2∠F 1FM 01+2∠F 1FN 1=180
∴∠F 1FM 1+∠F 1FN 01=90
故
FM 1⊥FN 1
F (p p
方法二 依题意，焦点为2,0), x =-准线l 的方程为
2 x =my +
p
设点M,N 的坐标分别为
M （x 1, y 1), N （x 2, y 2), 直线MN 的方程为
2，则有
M 1(-
p 2, y p
1), N 1(-2, y 2), FM 1=(-p , y 1), FN 1=(-p , y 2)
⎧
⎪p ⎨
x =my +
2由⎪⎩y 2=2px
得y 2-2mpy -p 2=0
于是，y 1+y 2=2mp ，y 2
1y 2=-p
∴ FM
1⋅FN 1=p 2+y 1y 2=p 2-p 2=0，故FM 1⊥FN 1
（Ⅱ）解 S 22=4S 1S 成立，证明如下：3
方法一 设
M (x 1, y 1), N (x 2, y 2) ，则由抛物线的定义得
|MM p 1|=|MF |=x 1+
2,|NN NF |=x p
1|=|2+2，于是
S 11p
1=2⋅|MM 1|⋅|F 1M 1|=2(x 1+2) |y 1|
S 11
2=2⋅|M 1N 2|⋅|FF 1|=2p |y 1-y 2|
11p
S 3=⋅|NN 1|⋅|F 1N 1|=(x 2+) |y 2|
222
11p 1p 2
S 2=4S 1S 3⇔(p |y 1-y 2|)2=4⨯(x 1+) |y 1|⋅(x 2+) |y 2|
22222
12p p 22
⇔p [(y 1+y 2) -4y 1y 2]=[x 1x 2+(x 1+x 2) +]|y 1y 2|424
p ⎧x =my +1⎪⎪12⎨⎧y 1+y 2=2mp p ⎪x =my +, ⎨22
y 1y 2=-p 2⎪⎩2⎩将与代入上式化简可得
p 2(m 2p 2+p 2) =p 2(m 2p 2+p 2) ，此式恒成立。
2
S =4S 1S 3成立。 2故
方法二 如图，设直线MN M 的倾角为α，则由抛物线的定义得
|MF |=r 1,|NF |=r 2
|MM 1|=|MF |=r 1,|NN 1|=|NF |=r 3
MM 1//NN 1//FF 1,
∠FMM 1=α, ∠FNN 1=π-α
S 1=
1211
r 1sin α, S 3=r 22sin(π-α) =r 22sin α222
于是在
∆FMM 1和∆FNN 1中，由余弦定理可得
|FM 1|2=2r 12-2r 12cos α=2r 12(1-cos α),|FN 1|2=2r 22+2r 22cos α=2r 22(1+cos α)
S 2=
1
|FM 1|⋅|FN 1|2
由（I ）的结论，得
2
∴S 2=
11
|FM 1|2⋅|FN 1|2=⋅4r 12⋅r 22⋅(1-cos α)(1+cos α) =r 12r 22sin 2α=4S 1S 344
2
S =4S 1S 3，得证。 2即
66. （2009宁夏海南卷文）(本小题满分12分)
已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个项点到两个 焦点的距离分别是7和1
OP
（1）求椭圆C 的方程‘ （2）若P 为椭圆C 的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，椭圆C 的离心率），求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 解（1）设椭圆长半轴长及分别为a,c, 由已知得
OM
=e
（e 为
a -c =1,
{a +c =7. 解得a=4,c=3,
x 2y 2
+=1.
所以椭圆C 的方程为167
（Ⅱ）设M （x,y ）,P(x,
y 1), 其中x ∈[-4,4].
x 2+y 122
=e . 22
由已知得x +y
e =
而
3
2222
4，故16(x +y 1) =9(x +y ). ①
21
112-7x 2
y =,
16由点P 在椭圆C 上得 ，
2
9y =112, 代入①式并化简得
y =所以点M
的轨迹方程为
-4≤x ≤4), 轨迹是两条平行于x 轴的线段.
14. （2009福建卷文）（本小题满分14分）
x 2y 2
C :2+2=1(a >b >0)
x -2y +2=0a b 已知直线经过椭圆 的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，
点S 和椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线，AS , BS 与直线分别交于M , N 两点。
（I ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值；
l :x =
10
3
1
（Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得∆TSB 的面积为5？若存在，确定点T 的个
数，若不存在，说明理由
解 方法一（I ）由已知得，椭圆C 的左顶点为A (-2,0), 上顶点为D (0,1),∴a =2, b =1
x 2
+y 2=1
故椭圆C 的方程为4
（Ⅱ）直线AS 的斜率k 显然存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为y =k (x +2) ，
M (
从而
1016k , ) 33
⎧y =k (x +2) ⎪2⎨x 2
2222⎪+y =1(1+4k ) x +16k x +16k -4=0 ⎩4由得
4k 16k 2-42-8k 2
y =(-2), x 1=x =1122S (x , y ), 1+4k 2 111+4k 1+4k 设则得，从而
2-8k 24k
S (, ), 22
1+4k 1+4k 即又B (2,0) 110⎧⎧y =-(x -2) x =⎪⎪⎪⎪4k 3⎨⎨⎪x =10⎪y =-1⎪⎪33k 由⎩得⎩101∴N (, -)
33k
|MN |=
故
16k 1
+33k
k >0, ∴|MN |=
又
16k 18
+≥=33k 3
16k 11=k =3k ，即4时等号成立 当且仅当3∴k =
18
4时，线段MN 的长度取最小值3
k =
14
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当MN 取最小值时，
64x +y -2=0, s (, ), ∴|BS |=
555 此时BS
的方程为
1 要使椭圆C 上存在点T ，使得∆TSB 的面积等于5，只须T 到直线BS
的距离等于，所以T 在平行于BS 且与
BS
距离等于的直线l 上。
设直线l ':x +y +1=0
35=t =-t =-
4解得2或2 15. （2009重庆卷文）（本小题满分12分）
已知以原点O
为中心的双曲线的一条准线方程为（Ⅰ）求该双曲线的方程；
x =
，离心率e =
22MA +MB x +(y =1上的点，(A
B
（Ⅱ）如题（20）图，点的坐标为，是圆点M 在双曲线右支上，求
的最小值，并求此时M 点的坐标；
x 2y 2
-2=1(a >0, b >0) 2
c =x a b 解 （Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，
设
c a 2=x =
=
e =
a 得c ，由由准线方程为
解得a =1, c = 从而b =2，∴该双曲线的方程为
y 2
x -=1
4.
2
（Ⅱ）设点D
的坐标为，则点A 、D 为双曲线的焦点，|MA |-|MD |=2a =2
22|MA |+|MB |=2+|MB |+|MD |≥2+|BD |x +(y =
1上的点，其圆心为C ，半B
所以 ，是圆
|CD |-1=1
径为1
，故|BD |≥
从而|MA |+|MB |≥2+|BD |1
当M , B 在线段CD 上时取等号，此时|MA |+
|MB |1
直线CD
的方程为y =-x M 在双曲线右支上，故x >0
22
⎧⎪4x -y =4⎨x =y =⎩y =-x
解得由方程组⎪
33M
所以点的坐标为.
(
2005—2008年高考题
一、选择题
1.(2008湖北卷10) 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞
向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆
轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 变点第二次变轨进入仍以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在
2a 2a 2c 2c P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用1和2分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用1和2
分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
c 1c 2
a +c =a 2+c 2; ②a 1-c 1=a 2-c 2; ③c 1a 2>a 1c 2; ④a 1＜a 2. ①11
其中正确式子的序号是 （ B ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
x 2y 2
+2=122y =8x 的焦 m >0n >0m n 2（2008天津文7）设椭圆（，）的右焦点与抛物线1
点相同，离心率为2，则此椭圆的方程为
( B )
x 2y 2
+=11216A. x 2y 2
+=1C. 4864
x 2y 2
+=11612 B. x 2y 2
+=1 D. 6448
3（2007重庆文）已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线x +3y +4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 A. 32
（ C ）
D. 42
B. 26 C. 27
x 2y 2
-2=12a b 4（2007浙江文）已知双曲线 (a >0, b >0) 的左、右焦点分别为F1、F2，P
是准线上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|⋅|PF2 |＝4ab ，则双曲线的离心率是 （B ）
B.
C.2 D.3
x 2y 2
-2=1(a >0，
b >0) 2
b 5. （2007天津文）设双曲线a
2
y =4x 的准线重合，则此双曲线的方程为 （ D ） 抛物线
x 2y 2-=1
Ａ．1224 x 2y 2x 22y 2x 2y 2
-=1-=1-=1
36 Ｂ．4896 Ｃ．3 Ｄ．3
x 2y 2-=1
k ∈R k >3k -3k +36. (2006上海春季15) 若，则“”是“方程表示双曲线”
的 ( A )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件