焦点三角形

焦点三角形

焦点三角形问题是重要考点，考到的内容有：椭圆或双曲线定义和正余弦定理以及面积公式等。常与曲线的离心率相结合，注意平面几何知识的应用。 一：椭圆的焦点三角形

椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点F1,F2与椭圆上任意一点P为顶点组成的三角形。

x

2y2

21(ab0) 2ab

性质有：

（1）|PF1||PF2|2a

22（2）4c2|PF1||PF2|2|PF1||PF2|cosF1PF2

（3）椭圆上的点与两焦点连线的夹角以椭圆短轴顶点与两焦点连线的夹角最大.

x2y2

证明：设P是椭圆221 （ab0，c为半焦距）上的一点，O为原点，E、F是

ab

椭圆的两焦点，PEm，PFn

m2n24c24b22mn2b22b2

121，由余弦函数图象性质知则cosEPF

2mn2mnmna

EPF有最大值，当且仅当P在短轴端点时取到该最大值。

（4）设P为椭圆上的任意一点，角F1F2P，F2F1P，F2PF1，则有离心率e

sinsin()2

，SPF1F2b

1cossinsin

证明：由正弦定理得：

F1F2

o

sin(180)sinsin

F1F2PF1PF2

由等比定理得： 

sin()sinsin

F1F2PF1PF22c2a而， 

sin()sin()sinsinsinsincsin()∴e。

asinsin

例题：



PF2



PF1

x2y2

1、椭圆221(a,b0)的两个焦点F1,F2，点P在椭圆上，且

ab

414x2y2

PF1PF2,|PF1|,|PF2|.求椭圆的方程1

3394

x2y2

2、设P为椭圆221(ab0)上一点，F1、F2为焦点，如果PF1F275，

ab

PF2F115，则椭圆的离心率为( )

A．

226 B． C． D． 2233

x2y20

1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF3、F1、F2是椭圆1F245，则 97

AF1F2的面积为（ ）

7775 C． D． 422x2y2

1的两个焦点，A为椭圆上一点，且F1AF290,，则A到4、F1、F2是椭圆

2516

x轴的距离为

16161616

or D．非上述答案 A． B． C．

3535

A．7 B．

x2y2

1的左、右焦点，P为椭圆上一点，F1，F2,P 是直角5、设F1，F2分别是椭圆

2516

三角形的一个顶点，则P点到x轴的距离是 A.

16161616

或 D. 非上述答案 B. C.

3553

x2y2

1的左、右焦点，P为椭圆上一点，F1，F2,P 是是直6、设F1，F2分别是椭圆

259

角三角形的三个顶点，则P点到x轴的距离是

9999

B. C. 或 D. 非上述答案 4554



7、过椭圆左焦点F，倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点，若2FB，则椭圆的

3

A.

离心率为 （构造焦点三角形，两次应用余弦定理，整体处理余弦定理的结果）

x2y2

8、已知RtABC，ABAC1,点C为椭圆221(ab0)的右焦点，且AB为

ab

经过椭圆左焦点的弦，求椭圆的离心率。

x2y2

9、已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)，若椭圆上存在

abac

一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为( )

sinPF1F2sinPF2F1

A.(21,1) B. (31,1) C. (2,1) D. (

2,1) 2

二：双曲线的焦点三角形

双曲线的焦点三角形是指以双曲线的两个焦点F1,F2与双曲线上任意一点P为顶点组成的

x2y2

三角形。221(a0,b

0)

ab

性质有：

（1）|PF1||PF2|2a

22（2）4c2|PF1||PF2|2|PF1||PF2|cosF1PF2

（3）设P为椭圆上的任意一点，角F1F2P，F2F1P，F2PF1，则

有离心率e

（4） 例题：

sinsin()

()，SPF1F2b2

1cossinsin

y2

1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若1、设P为双曲线x12

|PF1|:|PF2|3:2，则△PF1F2的面积为（ ）

2

A

．

B．12 C

．

D．24

2、已知F1,F2为双曲线C:x2y22的左右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则

cosF1PF2

1334A． B． C． D．

4545

y22

1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1MF20，则点M到x3、双曲线x2

轴的距离为（ ）

45 B.

33022

P604、已知F、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则FFFxy11212

P到x轴的距离为

(A) (

(C)

(D) x2y2

5、设F1，F2分别是双曲线221(a0,b0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在

ab

一点P，使(OPOF2)F2P0，O

为坐标原点，且|PF1||PF2|，则该双曲线的离

A.心率为

A

1 B

C

D

x2y2

6、设点P是双曲线221(a,b0)与圆x2y2a2b2在第一象限的交点，F1、

ab

F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|3|PF2|，则双曲线的离心率

A

．B

．

2

C

D

．

2

x2y2

7、过双曲线221(a0,b0)的左焦点F(-c,0)作圆x2y2a2的切线，切点

ab

1

为E，延长FE交双曲线于点P，O为原点，若OE(OFOP)，则双曲线的离心率

2

x2y2

P为双曲线右8、已知F1、F2分别为双曲线C:221ab0的左、右焦点，点

ab

支上一点，满足|PF2||F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线

5

的离心率为

3

x2y2

9、已知F1、F2分别为双曲线C:221ab0的左、右焦点，若双曲线上存在

ab

一点P，满足|PF ]1|2|PF2|，则该双曲线的离心率范围为(1,310、已知F1,F2为离心率为2的双曲线的左右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则

cosPF2F1

113 B．

C．

D． 43543

y22

1的左、11、设F1，F2分别是双曲线x右焦点．若点P在双曲线上，且PF1PF20，9



则PF1PF2（ ）

A．A

B．

C

D．x2y22222

12、设F1，F2分别是双曲线221的左、右焦点，A,B是圆xyab与双曲

ab

线左支的两个交点，且ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率

A

B

C1

Dx2y2

13、已知P是双曲线221a0,b0右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、

ab

右焦点，I为PF

1F2的内心，若SIPF1SIPF2

SIF1F2成立，则该双曲线的离心率为

2

x2y2

1上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|514、已知P是双曲线

43

则|PF2|1or9

x2y2

1上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|515、已知P是双曲线

412

则|PF2| 9

x2y2

练习：已知双曲线221（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1(c,0)、F2(c,0)，若双曲

ab

sinPF1F2a

线上存在一点P满足,则该双曲线的离心率的取值范围是

sinPF2F1c

(1,1

x2y2

16、已知双曲线221（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2，点A在双曲线第一象

ab

限的图象上，若△AF1F2的面积为1，且tanAF1F2方程为

1

，tanAF2F12，则双曲线2

12x2

3y21 A．55x2y212y2x25y22

1 C．3x1 D．1 B．1235312

x2y2

17、设F1,F2是双曲线221(a0,b0)的左右焦点，过点F2的直线与双曲线的右

ab

支交于A,B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰三角形，则e

5

2

x2y2

18、设F1,F2是双曲线221(a0,b0)的左右焦点，过点F1的直线与双曲线的左

ab

右支交于A,B两点，若|AB|:|BF2|:|AF2|

3:4:5x2y2

P为双曲线19、如图设F1,F2是双曲线221(a0,b0)的左右焦点，|F1F2|4，

ab1，右支上一点，F2P与y轴交于点A，APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|

则双曲线的离心率是

(A)3 (B)2

椭圆与双曲线的焦点三角形

x2y2x2y2

1(mn0)和双曲线1(s,t0)有相同的焦点F1和F2，例题：若椭圆

mnst

而P是这两条曲线的一个交点，则PF1PF2的值是( ) 1

A.ms B.(ms) C.m2s2 D.ms

2

x2x22

y1m1与双曲线y21n0有相同的焦点，点P是两曲例题：若椭圆mn

1线的一个公共点，则F1PF2的面积是

x2y2

1的两个焦点，点M是曲线C1与曲线例题：设F1与F2是曲线C1:62

x2

C2:y21的一个交点，求MF1F2的面积．

3

x

y21与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第4

二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是

例题：如图,F1,F2是椭圆C1:

2

3

C

. D2例题：已知点P是以F1,F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且PF1PF2，e1,e2分

别为椭圆和双曲线的离心率，则

Ae.1e22 B.e12e224

C.e1e2 D.

11

2 e12e22



例题：已知点P是以F1,F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且FPF60,，12

e1,e2分别为椭圆和双曲线的离心率，则

11

的最大值为 e1e2

A

B C.3 D.2 

P例题：已知F、是椭圆和双曲线的公共焦点，点为它们的一个公共点，FFPF60,1212

则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值是（ ）

3 D.2

mn2a1mn2a22cmn

提示： 

A

sin60例题：

sinsinsinsinsinsin