代数方程 解法
化归思想：高次化低次：降次的方法：因式分解，换元
分式化整式：化整式的方法：去分母，换元 无理化有理：化有理方程的方法：平方法，换元 多元化一元：代入和加减消元 1. 一元一次方程和一元二次方程的解法
一元二次方程的解法主要有四种： （1）直接开平方法：
2
适用于（mx+n）=h (h≥0) 的一元二次方程。 （2）配方法：
适用于所有化为一般形式后的一元二次方程。但是，具有二次项系数为1，一次项系数为偶数特点的一元二次方程，用配方法解才较简便。
2
配方法是通过配方将一元二次方程化成（mx+n）=h (h≥0) 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。 其基本步骤是：
①首先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1； ②把常数项移到等式的右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④方程左边写成完全平方式，右边化简为常数； ⑤利用直接开平方法解此方程
用配方法解一元二次方程要注意，当二次项系数不为1时，一定要化为1，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方 （3）公式法：
-b ±b 2-4ac 2
适用于解一般形式的一元二次方程。利用公式x =b -4ac ≥0可以解
2a
()
所有的一元二次方程。
注意：当b -4ac ≥0时，方程才有实数解；当b -4ac ＜0时，原方程无实数解。 （4）因式分解法：
适用于方程右边是0，左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2. 含字母系数的整式方程的解法
22
3. 特殊的高次方程的解法
（1）二项方程ax n +b =0(a ≠0, b ≠0) 的解法
二项方程的定义：
如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。
关于x 的一元n 次二项方程的一般形式是
ax n +b =0(a ≠0, b ≠0, n 是正整数)
二项方程的解法及根的情况：
一般地，二项方程ax n +b =0(a ≠0, b ≠0) 可变形为x =-
n
b
a
可见，解一元n 次二项方程，可以转化为求一个已知数的n 次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。
二项方程的根的情况：
对于二项方程ax n +b =0(a ≠0, b ≠0) ，
当n 为奇数时，方程只有且只有一个实数根。
当n 为偶数时，如果ab 0，那么方程没有实数根。
（3）因式分解法解高次方程
解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。
用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。
例题 解下列方程：
3232
（1）2x +7x-4x=0 （2）x -2x +x-2=0 解：（1）方程左边因式分解，得
2
x(2x+7x-4)=0 x(x+4)(2x-1)=0
得x=0或x+4=0或2x-1=0 ∴原方程的根是 x=0，x=-4，x=
3
1
注意：不要漏掉x=0这个根! 2
2
2
（2）方程左边因式分解，得(x-2x ) +(x-2)=0 x(x-2)+(x-2)=0
22
（x-2）(x+1)=0 即 x-2=0或x +1=0
2
解方程x-2=0得 x=2 方程x +1=0没有实数根 所以，原方程的根是 x=2
二、可化为一元二次方程的分式方程的解法 1．适宜用“去分母”的方法的分式方程
解分式方程，通常是通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程来解。
解分式方程要注意验根！
例题 解下列方程
4x -3x -45+=2 x -512-x x -17+60
分析：本例是一道分式方程，通常采用去分母法。
2
（1）首先应观察各项分母，如能分解因式必须先分解因式，如本例x -17x+60可分解因式为（x-5）（x-12）.
（2）分解因式后再找各分母的最小公倍式. 如本例为“（x-5）（x-12）”.
（3）用此整式去乘方程的每一项，便可约去分母，将分式方程转化为整式方程求解. （4）最后应检验，至此例可找到本例完整解 在去分母的过程中要注意两点：（1）必须注意符号的变化规律（如本例“12-x ”与“x-12”的关系）；（2）用整式乘以方程的每一项，一项都不能漏.
2. 适宜用“换元法”的分式方程
适宜用换元法的分式方程有两种，一是二次项与一次项相同的，采取同底换元法；二是不看系数，方程的未知项呈倒数关系的，可采取倒数换元法， 下面的例题中的两个方程，分别具有这两种特点。
例题 解下列方程：
8(x 2+2x ) 3(x 2-1) ⎛x ⎫⎛x ⎫
+2=11. （1） （2）⎪+5 ⎪+6=0；2
x -1x +2x x +1x +1⎝⎭⎝⎭
（1）分析：观察方程（1）可发现二次项底数与一次项未知底数相同，因而，可考虑同底换
元法为宜.
2
x 2+2x x 2-1
2）分析：观察方程（2）可发现这个方程左边两个分式中的2与2互为倒数，
x -1x +2x
根据这个特点，可以用倒数换元法来解.
由此可以看出，解分式方程“转化”为整式方程（一元一次方程或一元二次方程）用去分母法是基础方法，解分式方程应首先考虑用基本方法求解，然后再根据分式方程特点，考虑换元法，便可达到转化的目的，找到思路. 对于解题过程的每一个步骤都不能疏忽，才能正确求解.
三、无理方程的解法
解无理方程的基本思路是把无理方程化为有理方程，通常采用“两边平方”的方法解。对有些特殊的无理方程，可以用“换元法”解。 解无理方程一定要验根！
在初中阶段，我们主要学习下面两种无理方程的解法。 1．只有一个含未知数根式的无理方程
当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。
例题 解下列方程：
(1)2x -3=x -6 （2）3-2x -3=x
解：（1）两边平方，得 4（x-3）=(x-6) 整理，得 x-16x+48=0
解这个方程，得 x1=4，x 2=12
经检验，x=4是增根，舍去；x=12是原方程的根。所以，原方程的根是 x=12 （2）原方程可变形为 3-x =
2
2
2
2x -3两边平方，得 (3-x)2=2x-3
整理，得 x-8x+12=0解得 x1=2，x 2=6
经检验，x=2是原方程的根；x=6是增根，舍去。所以，原方程的根是x=2
2. 有两个含未知数根式的无理方程
当方程中有两个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使乙个二次根式单独在一边，另外一个二次根式在方程的另一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。
例题 解下列方程： （1）
x 2-2-2x +1=0 （2）x +2-x =1
x 2-2=2x +1两边平方，得 x2-2=2x+1
解：（1）原方程可变形为
2
整理，得 x-2x-3=0 解得 x1=-1,x2=3
经检验，x=-1是增根，舍去；x=3是原方程的根。 所以，原方程的根是 x=3
3. 适宜用换元法解的无理方程 如果无理方程中，二次根式里面的未知项和二次根式外面的未知项相同，可以使用换元法来解。
例题 解方程 2x 2-2x +4=3x 2-6x +4
练习
222
x -1=y ，则原方程化为关于y 的方程 3x -5+x -1=01. 在方程中，若设2
3y +y -2=0 是 . 答案:
x +m +31
+=02
x +2x -x -62. 当m= 时，关于x 的分式方程没有实数解.
答案：4或-6 3. 若关于x 的方程答案：a ≥-2
2-x -x +a =0有实数根，则a 的取值范围是 .
2
6x ⎛x ⎫
-+5=0 ⎪
x +14. 用换元法解方程⎝x +1⎭时，可设 =y,这时原方程变
x 2
, y -6y +5=02
为 . 答案：x +1
5. 方程x =0的根是 ；x =x 的根是 ；是 . 答案：0；0和1；0
2
x +6-a =x 的根为±，则a 的值为 . 答案：3±3 6. 无理方程
x =-x 的根
112ab 1
-==-22a b a +b a -b 7. 若a ，b 都是正实数，且，则. 答案：2 1
8. 若a+b=1，且a ∶b=2∶5, 则 答案：7
-
x +a
=02
9. 当a= 时，方程x -x -2无实数根 答案：-2，1
x +
10. 若
11
=8x -=x x 答案：±2 ，则
11. 下列方程中既不是分式方程，也不是无理方程的有（ ）
1
2
-2x =3
x -
x A.
x -1
B. 2-5=8
x 2-3x -
1 C.
x =0x -5
=x D. 3
x +x 2
=3x - E. 2x +y =2
F. 2 答案：A
12
=2x
12．方程
2(x -3) 3(x +3)(x -3) -4(x -3) 的最简公分母是（ A.24（x+3）(x-3) B.(x+3)(x-3)2
C.24（x+3）(x-3)2 D.12（x+3）(x-3)2 答案：D 13. 观察下列方程，经分析判断得知有实数根的是（ ）
33=02
+3=0 A. x - B. x 2
+1
x (x +3) x 2=0-x +2
= C. x +2 D. x -10 答案：C
16-8+1=4
14. 如果x 2
x 0，那么x 的值是（ ）
A.1 B.-1 C. ±1 D.4 答案：A 15. 方程2x -4x +1=1的解是（ ）
1±
2
A.0 B.2 C.0或2 D.
2答案：B
x 2+x +1=
2
16. 设y=x2+x+1,则方程
x 2+x 可变形为（ ）
A.y2-y-2=0 B.y2+y+2=0
C.y2+y-2=0 D.y2-y+2=0 答案：A
17. 若
-4a +4a 2
=1-2a ，则a 的取值范围是（ ） A. 全体实数 B.a ≥0
11
C.a ≥2 D.A ≤2 答案：D
）
U -V =V
R +S ≠0) 18. 已知R S ，则相等关系成立的式子是（ ）
V =
R +S A.
SU V =
SU
B. R +S
V =
SU R -S V =
R -S
C ．
D. SU 答案：B
x +
22
19. 关于x 的方程
x =a +x 的根是（ ）
A.x=a B.x=-a
22
C.x 1=a；x 2=-a D.x 1=a；x 2=a 答案：D
20. 一个数和它的算术平方根的4倍相等，那么这个数是（ ）
A.0 B.16 C.0或16 D.4或16 答案：C
x +1-1=x +5
21. x 2
-x 3x 3x -3；
解 3(x +1) -(x -1) =x (x +5) ， 3x +3-x +1=x 2
+5x ， x 2
+3x -4=0， (x +4)(x -1) =0. x 1=-4, x 2=1.
经检验知：x=1是增根，x=-4是原方程的根.
22. x +5-2x -7=2；
⎛ x 2+1⎫9⎛
1⎫23. ⎝x 2⎪⎭-2 ⎝x +x ⎪⎭+7=0
； x -41x -24. x 2+x -2=x -1+6
x 2
-4； 1+6x -125. x -11-x
3
=x 2+x +1； ⎛2
x ⎫-1⎪
-3x -4=026. ⎝x ⎭x -1