极限的求法
1、利用极限的定义求极限 2、直接代入法求极限 3、利用函数的连续性求极限 4、利用单调有界原理求极限 5、利用极限的四则运算性质求极限 6. 利用无穷小的性质求极限 7、无穷小量分出法求极限 8、消去零因子法求极限 9、 利用拆项法技巧求极限 10、换元法求极限 11、利用夹逼准则求极限[3] 12、利用中值定理求极限 13、 利用罗必塔法则求极限 14、利用定积分求和式的极限 15、利用泰勒展开式求极限 16、分段函数的极限
1、利用极限的定义求极限
用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。
例：limf(x)=A的ε-δ 定义是指：∀ε＞0， ∃δ=δ(x0，ε)＞0，0＜|x-x0|
x→x0
＜δ⇒|f(x)-A|＜ε 为了求δ 可先对x0的邻域半径适当限制， 如然后适当放大｜f(x)-A｜≤φ(x) (必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：
｜x+a｜=|(x-x0)+(x0+a)|≤|x-x0|+|x0+a|＜｜x0+a｜+δ1 域|x+a|=|(x-x0)+(x0+a)|≥|x0+a|-|x-x0|＞|x0+a|-δ1 从φ(x)＜δ2，求出δ2后，
取δ＝min(δ1，δ2)，当0＜|x-x0 |＜δ 时，就有|f(x)-A|＜ε.
例：设limxn=a则有lim
n→∞
n→∞
x1+x2+...xn
=a.
n→∞n
∣xn-a∣0，∃N1=N1(ε),当n>N1时，
ε
2
于是当
x+x+...+xn∣x+x+...+xn-na∣
12-a∣=12n>N1nn0
其中A=∣x1-a∣+∣x2-a∣+∣xN1-α∣是一个定数,再由
解得n>
2A
Aε
x+x+...+xnεε⎧⎡2A⎤⎫
,故取N=max⎨N1,⎢⎥⎬当n>N12-α
εn22ε⎩⎣⎦⎭
2、 直接代入法求极限
适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为
例 1. 求
分析 由于
.
,
所以采用直接代入法.
解 原式=
3、利用函数的连续性求极限
定理[2]：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果x0是函数f(x)的定义区间内的一点，则有limf(x)=f(x0)。
x→x0
一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果f(x)是初等函数，x0是其定义域内一点，则求极限limf(x)时，可把x0代入f(x)中计算出函数值，即
x→x0
x→x0
limf(x)=f(x0)。
对于连续函数的复合函数有这样的定理：若u=φ(x)在x0连续且u0=φ(x0)，
y=f(u)在u0处连续，则复合函数y=f[φ(x)]在x0处也连续，从而
x→xo
limf[φ(x)]=f[φ(xo)]或limf[φ(x)]=flimφ(x)。
x→xo
x→xo
lnsinx 例：limπ
x→
2
解：复合函数x=
ππ
在处是连续的，即有limlnsinx=lnsin=ln1=0
π22x→
2
4、利用单调有界原理求极限
这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。
例：求
n解：令xn=
xn+1=
>，即xn+1>xn，所
以数列{x
n}单调递增，由单调有界定理知，limA
，
nlimxn+1=n→∞
n，
即a=
4，
所
以
l
n=
1+
4
。 .2
5、利用极限的四则运算性质求极限
定理[1]：若极限limf(x)和limg(x)都存在，则函数f(x)±g(x)，f(x)⋅g(x)当
x→x0
x→x0
x→x0时也存在且
①lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)
x→x0
x→x0
x→x0
②lim[f(x)⋅g(x)]=limf(x)⋅limg(x)
x→x0
x→x0
x→x0
limf(x)f(x)f(x)x→x
又若c≠0，则在x→x0时也存在，且有lim. =0
x→x0g(x)g(x)limg(x)
x→x0
利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在，
0∞
一般情况所给的变量都不满足这个条件， 例如出现，，∞-∞ 等情况，都
0∞
不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。变形时经常用到因式分解、有理化的运算以及三角函数的有关公式。
总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
31（-）例：求lim x→11-x31-x
31
解：由于当x→1时，与的极限都不存在，故不能利用“极限的和等
1-x31-x
于和的极限”这一法则，先可进行化简
313-(1+x+x2)(1-x)(2+x)(2+x)
这样得到的新函数当-===
1-x31-x1-x3(1-x)(1+x+x2)(1+x+x2)
x→1时，分子分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即
31(2+x)lim（-）=lim=1 x→11-x31-xx→1(1+x+x2)
例2. 求x→2
lim
x-1
x+1。
解
x-1=x→21lim=lim(x+1)x→2x+13 x→2
lim(x-1)
6. 利用无穷小的性质求极限
我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量，有界变量乘无穷小是无穷小，对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得，只能用这种方法来求。 4x-7
例：求lim2
x→1x-3x+2
解：当时x→1，分母的极限为零，而分子的极限不为零，可先求处所给函数倒
4x-7x2-3x+2
=∞。 =0，故lim2数的极限lim
x→1x→1x-3x+24x-7
例5． 求极限
分析 因为
行恒等变形.
解 原式=
(恒等变形)
不存在,不能直接使用运算法则, 故必须先将函数进
因为 当 1, 即
得
是有界函数,由无穷小的性质：有界函数乘无穷小仍是无穷小,
=0.
时, , 即
是当
时的无穷小,而
≤
7、无穷小量分出法求极限 适用于分子、分母同时趋于 例3．
,即
型未定式
分析 所给函数中，分子、分母当 时的极限都不存在，所以不能直接应用法则.注意到当 时，分子、分母同时趋于 ，首先将函数进行初等变形，即分子、分母同除 的最高次幂，可将无穷小量分出来，然后再根据运算法则即可求出极限.
为什么所给函数中,当 时，分子、分母同时趋于 呢?以当
说明：因为
,但是
趋于 速度要比
仍是
趋于
的速度快，所以
.不要认为
的
(因为
有正负之分).
解 原式
(分子、分母同除
)
（运算法则）
（当
时，
都趋于
.
无穷大的倒数是无穷小.）
8、消去零因子法求极限
适用于分子、分母的极限同时为0,即
例4．
型未定式
分析 所给两个函数中,分子、分母的极限均是0,不能直接使用法则四,故采用消去零因子法.
解 原式=
=
=
=
9、 利用拆项法技巧求极限
(约分消去零因子
(应用法则
)
)
(因式分解)
limn→∞(
例6：
111++⋅⋅⋅+)1.33.5(2n-1)(2n+1)
1111
)(-)
分析：由于(2n-1)(2n+1)=2(2n-12n+1
原式=
10、换元法求极限
当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。
xx-1
例: 求lim
x→1xlnx
111lim1[(1-)+(-)+⋅⋅⋅+(n→∞
2
3
35
111lim11
-)]=(1-)=2n-12n+12n→∞2n+12
解：令t=xx-1 则xlnx=ln(t+1)
xx-1t1
=lim=lim=1 lim
x→1xlnxt→0ln(t+1)t→0ln(t+1)
t
例7 求极限
分析 当
.
,不能直接应用法则,注意到
时,分子、分母都趋于 ,故可作变量替换.
解 原式 =
=
(令
,引进新的变量,将原来的关于 的
极限转化为 的极限.)
=
. (
11、利用夹逼准则求极限[3]
已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足： （1） yn≤xn≤zn,(n=1,2,3, )； （2） limyn=a，limzn=a。
则极限limxn一定存在，且极限值也是a ，即limxn=a。利用夹逼准则求极
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
型,最高次幂在分母上)
限关键在于从xn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个同极限值的数列使得yn≤xn≤zn。
例：xn=
+...xn的极限
解：因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项
xn≥
+...=
xn≤
+...+=
≤xn≤=n
又因为n，则limxn=1。
x→∞
12、利用中值定理求极限
(1)微分中值定理[1]：若函数f(x) 满足①在[a,b]连续，②在(a，b)可导； 则在(a，b)内至少存在一点ε，使得f'(ε)= 例：求lim
x→0
f(b)-f(a)
。
b-a
sin(sinx)-sinx
x3
解：sin(sinx)-sinx=(sinx-x)⋅cos[θ⋅(x-sinx)+x]，(0
x→0
sin(sinx)-sinx
x3
(sinx-x)⋅cos[θ⋅(x-sinx)+x]
3
x
cosx-1
3x3
＝lim
x→0
＝cosθ⋅lim
x→0
＝lim
x→0
-sinx
6x
＝-
1 6
(2)积分中值定理[1]：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续； g(x) 在[a,b]上不变号且可积，则在[a,b]上至少有一点ξ使得
(a≤ε≤b) ⎰f(x).g(x)=f(ε).⎰g(x)dx,
a
a
bb
π
例：求 lim⎰4sinnxdx
n→∞
π
解：lim⎰4sinnxdx
n→∞
ππ
＝limsinxn⋅ξ⋅(-0) (0≤ξ≤)
44n→∞ ＝
π
(sinξ)
4lim
n→∞
n
=0
13、 利用罗必塔法则求极限
定理[4]:假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f(x)和g(x)满足：
（1）f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；
（2）f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；
f'(x) （3）lim存在（或是无穷大）；
g'(x)
则极限lim
f(x)f'(x)f(x)f'(x)
limlimlim也一定存在，且等于，即= 。
g(x)g'(x)g(x)g'(x)
0∞
洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类
0∞
f'(x)
型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当lim'等于 A 时，那
g(x)f(x)f(x)f'(x)么lim也存在且等于A. 如果lim'不存在时，并不能断定lim也不
g(x)g(x)g(x)存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论lim例：求lim
x→0
f(x)
。 g(x)
lnsinmx
x→0lnsinnx
x→0
解：由limlnsinmx=limlnsinnx=-∞知 所以上述极限是
∞
待定型 ∞
lnsinmxmcosmx⋅sinnxmsinnxlim=lim⋅=⋅lim=1 x→0lnsinnxx→0ncosnx⋅sinmxx→0nsinmx
14、利用定积分求和式的极限
利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和式表示成f(x)在某区间[a,b]上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限
[5]
。
1nnn
例：求lim[+22+2+ +] 222
n+1n+2n+(n-1)n→∞n1nnn
解：由于+22+2 + +
nn+1n+22n2+(n-1)2
1111 = [++ +]
n1+()21+()21+()2nnn
11
f(x)= 可取函数 f(x)=，区间为，上述和式恰好是 0,1[]22
1+x1+x
在[0,1]上n等分的积分和。
1nnn
+ +] 所以lim[+22+2
222
n+1n+2n+(n-1)n→∞n
1111
＝lim[++ +]
n→∞n1+()21+()21+()2nnn
11
＝⎰01+x2
π
＝
4
15、利用泰勒展开式求极限
泰勒展开式[6]：若f(x)在x=0点有直到n+1 阶连续导数，那么
f''(0)2f(n)(0)n
f(x)=f(0)+f'(0)x+x+ +x+Rn(x)
2!n!
f(n+1)(ε)n+1
其中Rn(x)=x (其中0
(n+1)! 例：lim
cosx-ex→0x4
-x2
2
x2x4
解：泰勒展开式cosx=1-++ο(x4)，
2!4!
e
-
x22
x21x22
=1+(-)+(-)+ο(x4)
22!2
于是cosx-e
-
x22
=-
-x22
14
x+ο(x4) 12
所以lim
cosx-ex→0x4
14
x+ο(x4)
1
=lim4=- x→0x12
-
16、分段函数的极限
例8 设
讨论
在点
处的极限是否存在.
分析 所给函数是分段函数,
须从极限存在的充要条件入手.
解 因为
所以
不存在.
是分段点, 要知
是否存在,必
注1 因为 从
的左边趋于
,则
注2 因为 从
的右边趋于
,则
,故
,故
. .
11
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18
19
20