《一元二次方程的解法》教案
一、教学目标
（一）知识教学点：认识形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解．
（二）能力训练点：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力． （三）德育渗透点：通过两边同时开平方，将2次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：用直接开平方法解一元二次方程．
2．教学难点：认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法．
3．教学疑点：一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解．
三、教学步骤 （一）明确目标
在初二代数“数的开方”这一章中，学习了平方根和开平方运算．“如果x2=a（a≠0），那么x就叫做a的平方根．”“求一个数平方根的运算叫做开平方运算”．正确理解这个概念，在本节课我们就可得到最简单的一元二次方程x2＝a的解法，在此基础上，就可以解符合形如（ax＋b）2=c（a，b，c常数，a≠0，c≥0）结构特点的一元二次方程，从而达到本节课的目的．
（二）整体感知
通过本节课的学习，使学生充分认识到：数学的新知识是建立在旧知识的基础上，化未知为已知是研究数学问题的一种方法，本节课引进的直接开平方法是建立在初二代数中平方根及开平方运算的基础上，可以说平方根的概念对初二代数和初三代数起到了承上启下的作用．而直接开平方法又为一元二次方程的其他解法打下坚实的基础，此法可以说起到一个抛砖引玉的作用．学生通过本节课的学习应深刻领会数学以旧引新的思维方法，在已学知识的基础上开发学生的创新意识．
一元二次方程的解法：开平方法
1．复习提问
（1）什么叫整式方程？举两例，一元一次方程及一元二次方程的异同？ （2）平方根的概念及开平方运算？ 2．引例：解方程x2-4=0． 解：移项，得x2＝4． 两边开平方，得x＝±2． ∴ x1＝2，x2＝-2．
分析 x2＝4，一个数x的平方等于4，这个数x叫做4的平方根（或二次方根）；据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；所以这个数x为±2．求一个数平方根的运算叫做开平方．由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．使学生体会到直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算．
练习：教材P．8中1（1）（2）（3）（6）．学生在练习、板演过程中充分体会直接开平方法的步骤以及蕴含着关于平方根的一些概念．
3．例1 解方程9x2-16＝0． 解：移项，得：9x2=16，
此例题是在引例的基础上将二次项系数由1变为9，由此增加将二次项系数变为1的步骤．此题解法教师板书，学生回答，再次强化解题
负根．
例2 解方程（x＋3）2＝2． 分析：把x＋3看成一个整体y．
例2把引例中的x变为x+3，反之就应把例2中的x+3看成一个整体， 两边同时开平方，将二次方程转化为两个一次方程，便求得方程的两个解．可以说：利用平方根的概念，通过两边开平方，达到降次的目的，化未知为已知，体现一种转化的思想．
练习：教材P．8中2，此组练习更重要的是体会方程的左边不是未知数的平方，而是含有未知数的代数式的平方，而右边是个非负实数，采用直接开平方法便可以求解．
例3 解方程（2-x）2-81＝0． 解法（一）
移项，得：（2-x）2＝81． 两边开平方，得：2-x=±9 ∴ 2-x＝9或2-x＝-9． ∴ x1=-7，x2＝11． 练习：解下列方程：
（1）（1-x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4；
（四）总结、扩展
1．如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）．
2．一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解．
例1
解一元二次方程x2-64x+768=0
移项→x2-64x= -768 两边加（
642
）使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024 2
左边写成平方形式 → （x-32）2=•256 •降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16 解一次方程→x1=48，x2=16。 可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根。
例2．解下列关于x的方程
（1） x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0
（3） x2-8x+7=0 （4）（1+x）2+2（1+x）-4=0 探索新知
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 配方法归纳
1 一元二次方程x+px+q=0用配方法求解时,转化为xpx()()q，然后用
2
2
p2
2
p2
2
开平方法求解。
2
2 一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)用配方法求解时，首先将二次项系数化为1，即转化为
x2
bcbbbc
x0,再配成x2x()2()2,最后用开平方法求解。 aaa2a2aa
综合提高题
1．用配方法解方程．
（1）9y2-18y-4=0 （2）x2
例 已知ax+bx+c=0（a≠0）且b-4ac≥0，试推导它的两个根x1
，
2
2
bx2
=
2a
公式法：
（1）当b24ac0时，一元二次方程ax2bxc0(a0)有实数根
x2 x1
（2）当b24ac0时，一元二次方程ax2bxc0(a0)有实数根
x1x2
b
； 2a
（3）当b24ac0时，一元二次方程ax2bxc0(a0)无实数根．
练习 用公式法解下列一元二次方程
（1）2x2-3x-5=0 （2）2t2+3=7t （3）x2+
（4）x2
（5）0.4x2-0.8x=1 （6）
11x-=0 63
221
y+y-2=0 33
一元二次方程的解法：因式分解法
1．教学重点：用因式分解法解一元二次方程．
式）
3 所谓因式分解法，是将一个多项式分解成几个一次因式积的形式．如果一元二次方程的左边是一个易于分解成两个一次因式积的二次三项式，而右边为零．用因式分解法更为简单。
例1 解方程x2＋2x＝0．
解：原方程可变形x（x＋2）＝0„„第一步 ∴ x＝0或x＋2＝0„„第二步 ∴ x1=0，x2=-2．
例3 解方程3（x-2）-x（x-2）＝0． 解：原方程可变形为（x-2）（3-x）＝0． ∴ x-2＝0或3-x＝0． ∴ x1＝2，x2＝3． 练习：解下列关于x的方程
6．（4x＋2）2＝x（2x＋1）．