高考要求
求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0, n ＞0)
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小 典型题例示范讲解 例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部
分，绕其中轴(即双曲线的虚轴) 旋转所成的曲面，其中A 、
A ′是双曲线的顶点，C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端
点，B 、B ′是下底直径的两个端点，已知AA ′=14 m ，
CC ′=18 m, BB ′=22 m, 塔高20 m 建立坐标系并写出B B ' 该双曲线方程 命题意图本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力 知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积 错解分析 技巧与方法本题是待定系数法求曲线方程 解 如图，建立直角坐标系xOy , 使AA ′在x 轴上，AA ′
的中点为坐标原点O ，CC ′与BB ′平行于x 轴 x 2y 21设双曲线方程为2-2=1(a ＞0, b ＞0), 则a =AA ′=7 a b 2
又设B (11,y 1), C (9,x 2) 因为点B 、C 在双曲线上，所以有 112y 192y 2-2=1, 2-2=1
72b 7b 22
由题意，知y 2－y 1=20,由以上三式得y 1=－12, y 2=8,b =7 x 2y 2
-故双曲线方程为=1 4998
例2过点(1，0) 的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上21的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =x 过22
线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强 知识依托待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题 错解分析不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键 技巧与方法本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式解法二，用韦达定理 且离心率为c 2a 2-b 2122=由e ==, 得, 从而a =2b , c =b a 22a 2
设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2, A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 在椭圆上
则x 12+2y 12=2b 2, x 22+2y 22=2b 2, 两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0,y 1-y 2x +x 2=-1. x 1-x 22(y 1+y 2)
x 011, 又(x 0, y 0) 在直线y =x 上，y 0=x 0, 2y 022设AB 中点为(x 0, y 0), 则k AB =－
于是－x 0=－1, k AB =－1, 设l 的方程为y =－x 2y 0
右焦点(b ,0) 关于l 的对称点设为(x ′, y ′),
⎧y '=1⎪⎧x '=1⎪x '-b
则⎨ 解得⎨'''⎩y =1-b ⎪y =-x +b +1⎪2⎩2
由点(1,1－b ) 在椭圆上，得1+2(1－b ) 2=2b 2, b 2=92, a = 168x 2162+y =1,l 的方程为y =－x ∴所求椭圆C 的方程为99c 2a 2-b 2122, 得=由e ==, 从而a =2b , c =b 2a 22a 设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2, l 的方程为y =k (x －1),
将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2) x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0,则
4k 2
x 1+x 2=, y +y =k (x －1)+k (x －1)=k (x +x ) －2k = 12121221+2k -k 12k 2x 1+x 2y 1+y 21=⋅直线y =x 过AB 的中点(), 则, , 1+2k 221+2k 2222解得k =0，或k =－1
若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0) 关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1), 即y =－x +1,以下同解法一 例3如图，已知△P 1OP 2的面积为27，P 为线段4
P 1P 1P 2的一个三等分点，求以直线OP 1、OP 2为渐近线2
命题意图 本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力 且过点P 的离心率为知识依托 定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程
错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出
△P 1OP 2的面积是学生感到困难的 技巧与方法 利用点P 在曲线上和△P 1OP 2的面积建
立关于参数a 、b 的两个方程，从而求出a 、b 的值
解以O 为原点，∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如
图的直角坐标系