第三章 圆
【课标要求】
（1）认识圆并掌握圆的有关概念和计算
① 知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性.
② 通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素. ③ 利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，
并会进行简单计算和说理.
④ 探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周
角的特征.
⑤ 掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理.
⑥ 了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的
概念.
⑦ 掌握圆内接四边形的性质
（2）点与圆的位置关系
① 能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与
圆的位置关系.
② 知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会
作图.
（3）直线与圆的位置关系
① 能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系.
② 了解切线的概念.
③ 能运用切线的性质进行简单计算和说理.
④ 掌握切线的识别方法.
⑤ 了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念. ⑥ 能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算.
（4）圆与圆的位置关系
① 了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系.
② 能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系
判定两圆的位置关系.
③ 掌握两圆公切线的定义并能进行简单计算
（5）圆中的计算问题
① 掌握弧长的计算公式，由弧长、半径、圆心角中已
知两个量求第三个量.
② 掌握求扇形面积的两个计算公式，并灵活运用.
③ 了解圆锥的高、母线等概念.
④ 结合生活中的实例(模型) 了解圆柱、圆锥的侧面展
开图.
⑤ 会求圆柱、圆锥的侧面积、全面积，并能结合实际
问题加以应用.
⑥ 能综合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积.
【课时分布】
圆的部分在第一轮复习时大约需要8个课时，其中包括单元测试. 下表为内容及课时安排（仅供参考）.
1、
知识脉络
2、基础知识
（1）掌握圆的有关性质和计算
① 弧、弦、圆心角之间的关系:
在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心
角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也
分别对应相等.
② 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦
所对的两条弧．
垂径定理的推论:
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧.
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条
弧.
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分
弦所对的另一条弧．
③ 在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于
该弧所对的圆心角的一半.
④ 圆内接四边形的性质:
圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于
它的内对角.
（2）点与圆的位置关系
① 设点与圆心的距离为，圆的半径为，
则点在圆外
．
② 过不在同一直线上的三点有且只有一个圆. 一个三
角形有且只有一个外接圆.
③ 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.
（3）直线与圆的位置关系
① 设圆心到直线的距离为，圆的半径为，
则直线与圆相离
交． ；直线与圆相切；直线与圆相；
点在圆上；
点在圆内
② 切线的性质:与圆只有一个公共点；
圆心到切线的距离等于半径；
圆的切线垂直于过切点的半径.
③ 切线的识别:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线.
到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切
线.
④ 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
⑤ 切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
⑥ 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
（4）圆与圆的位置关系
① 圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.
设两圆心的距离为
，两圆的半径为
两圆外
切
两圆相
交
两圆内
切
两圆内
含
② 两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的
直线）是对称轴.
由对称性知:两圆相切，连心线经过切点. 两圆相交，连心
线垂直平分公共弦.
③ 两圆公切线的定义:和两个圆都相切的直线叫做两
圆的公切线.
，则两圆外离
两个圆在公切线同旁时, 这样的公切线叫做外
公切线.
两个圆在公切线两旁时, 这样的公切线叫做内
公切线.
④ 公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.
（5）与圆有关的计算
①
弧长公式：
（其中为圆心角的度数，为半径）
② 圆柱的侧面展开图是矩形．
圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成
的几何体．
圆柱的侧面积＝底面周长×高
圆柱的全面积＝侧面积＋２×底面积
③ 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆
锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转
而成的几何体．
④ 圆锥的侧面积＝×底面周长×母线；圆锥的全面
积＝侧面积＋底面积
3、能力要求
扇形面积公式：
例1 如图，AC 为⊙O 的直径，B 、D 、E 都是⊙O 上的点，求∠A +∠B +∠C 的度数.
【分析】由AC 为直径，可以得出它所对的圆周角是直角，所以连结
AE ，这样将∠CAD （∠A ）、∠C 放在了△AEC 中，而∠B 与
∠EAD 是同弧所对的圆周角相等，这样问题迎刃而解．
【解】 连结AE
∵AC 是⊙O 的直径 ∴∠AEC =90O
∴∠CAD +∠EAD +∠C =90O
∴∠B =∠EAD ∵
∴∠CAD +∠B +∠C =90O
【说明】这里通过将∠B 转化为∠EAD ，从而使原本没有联系的∠A 、∠B 、∠C 都在 △AEC 中，又利用“直径对直角”得到它们的和是90O ．解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”，另一方面也注意到了将“特殊的弦”（直径）转化为“特殊的角”（直角），很好地体现了“转化”的思想方法．
例2 △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，∠C =90O ，以点C 为圆心，CA 为半径
的圆与AB 交于点D ，求AD 的长．
【分析】圆中有关弦的计算问题通常利用垂径定理
构造直角三角形求解，所以作CH ⊥AB ，这
只要求出AH 的长就能得出AD 的长．
【解】 作CH ⊥AB ，垂足为H ∵∠C =90O ，AC ＝6，BC ＝8 ∴AB =10
∵∠C =90O ， CH ⊥AB ∴
又∵AC ＝6， AB =10 ∴ AH ＝3.6
∵CH ⊥AB ∴AD =2AH ∴AD =7.2
答：AD 的长为7.2．
【说明】解决与弦有关的问题，往往需要构造垂径定理的基本图形—
—由半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形，它是解决
此类问题的关键. 定理的应用必须与所对应的基本图形相结
合，教师在复习时要特别注重基本图形的掌握.
例3 (１) 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CAE =∠B ，试说明
AE 与⊙O 相切于点A ．
(２) 在（１）中，若AB 为非直径的弦，∠CAE =∠B ，AE 还与⊙
O 相切于点A 吗？请说明理由．
(1) (2)
【分析】第(１) 小题中，因为AB 为直径，只要再说明∠BAE 为直角
即可．第(２) 小题中，AB 为非直径的弦，但可以转化为第(１)
小题的情形．
【解】 (１) ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠C =90O
∴∠BAC ＋∠B =90O
又∵∠CAE =∠B ∴∠BAC ＋∠CAE =90O 即∠BAE =90O ∴AE 与⊙O 相切于点A ． (２) 连结AO 并延长交⊙O 于D ，连结CD .
∵AD 是⊙O 的直径 ∴∠ACD =90O
∴∠D ＋∠CAD =90O
又∵∠D =∠B ∴∠B ＋∠CAD =90O
又∵∠CAE =∠B ∴∠CAE ＋∠CAD =90O
即∠EAD =90O
∴AE 仍然与⊙O 相切于点A ．
【说明】本题主要考查切线的识别方法．这里可以引导学生依据第(1)
小题的特殊情况, 大胆提出猜想, 渗透“由特殊到一般”的数
学思想方法，这对于学生的探索能力培养非常重要.
例4 如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，
且OD ＝5．
（1）若，求CD 的长． （2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留）．
【分析】图形中有 “直径对直角”，这样就出现了“直角三角形及
斜边上的高”的基本图形，求CD 的长就转化为求DE 的长.
第（2）小题求扇形OAC 的面积其关键是求∠AOD 的度数，
从而转化为求∠AOD 的大小．
【解】（1） ∵AB 是⊙O 的直径，OD ＝5 ∴∠ADB ＝90°，AB ＝10
又∵在Rt △ABD 中，
∴
∵∠ADB ＝90°，AB ⊥CD
∴ BD 2=BE ·AB CD = 2DE
∵AB ＝10
∴BE = 在Rt △EBD 中，由勾股定理得
∴
． 答：CD 的长为
（2）∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD
∴
∴∠BAD ＝∠CDB ，∠AOC ＝∠AOD ∵AO ＝DO ∴∠BAD ＝∠ADO ∴∠CDB ＝∠ADO 设∠ADO ＝4k ，则∠CDB ＝4k 由∠ADO ：∠EDO ＝4：1，则∠EDO ＝k ∵∠ADO ＋∠EDO ＋∠EDB ＝90° ∴ 得k ＝10° ∴∠AOD ＝180°－（∠OAD ＋∠ADO ）＝100°
∴∠AOC ＝∠AOD ＝100°
则 答：扇形OAC 的面积为
【说明】本题涉及到了圆中的重要定理、直角三角形的边角关系、扇
形面积公式等知识点的综合，考查了学生对基本图形、基本
定理的掌握程度．求DE 长的方法很多，可以用射影定理、
勾股定理，也可以运用面积关系来求，但都离不开“直角三
角形及斜边上的高”这个基本图形．解题中也运用了比例问
题中的设k 法，同时也渗透了“转化”的思想方法．
例5 半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P ．已
知BC ：CA =4 : 3，点P 在半圆AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q .
(l ) 当点P 与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长；
(2)当点P 运动到半圆AB 的中点时，求CQ 的长；
(3) 当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值？求此时CQ 的长．
【分析】当点P 与点C 关于AB 对称时， CP被直径垂直平分，由垂
径定理求出CP 的长，再由Rt △ACB ∽Rt △PCQ ，可求得CQ
的长．当点P 在半圆AB 上运动时，虽然P 、Q 点的位置在
变，但△PCQ 始终与△ACB 相似，点P 运动到半圆AB 的中点
时，∠PCB ＝４５O ，作BE ⊥PC 于点E ， CP ＝PE +EC ．由于
CP 与CQ 的比值不变，所以CP 取得最大值时CQ 也最大．
【解】 (l ) 当点P 与点C 关于AB 对称时，
CP ⊥AB ，设垂足为D .
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB =900.
∴AB =5，AC ：CA =4：
3
∴BC =4，AC =3
S Rt △ACB =AC ·BC =AB ·CD
∴
∵ 在Rt △ACB 和Rt △PCQ 中， ∠ACB ＝∠PCQ =900, ∠CAB
＝∠CPQ ，
∴ Rt △ACB ∽Rt △PCQ
∴
∴
(2)当点P 运动到弧AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E （如
图）.
∵P 是
弧
AB
的
中
点， ∴
又∠CPB =∠CAB
∴∠CPB = tan ∠CAB =
∴
从
而
(3）点P 在弧AB 上运动时，恒有 由（l ）得
，
故PC 最大时，CQ 取到最大值．
当PC 过圆心O ，即PC 取最大值5时，CQ 最大值为
【说明】本题从点P 在半圆AB 上运动时的两个特殊位置的计算问题
引申到求CQ 的最大值，一方面渗透了“由特殊到一般”的
思想方法，另一方面运用“运动变化”观点解决问题时，寻
求变化中的不变性（题中的Rt △ACB ∽Rt △PCQ ）往往是解
题的关键．
【复习建议】
① 教材对圆的知识要求有了适当的降低，但教学中必
须注重指导学生在较复杂的“背景”下分析出隐含的基本图
形，或通过添加适当的辅助线，构造或分解基本图形．学会
将较复杂问题转化为易解决问题.
② 对于常见的辅助线的添法，在解题中可以多加引
导．
③ 注意圆中一些隐含条件的作用．如：“同弧所对的
圆周角相等”；“半径都相等”．
④ 由特殊到一般、转化、方程、分类讨论等思想方法
以及运动变化观点的渗透，在圆的综合问题中更能提高学生解决问题能力，在复习时应及时归纳并注重方法的指导．