增长型函数模型及其应用
复习教学目标:
1、使学生在掌握函数基本知识要点的基础上,学会用函数的观点、思想与方法分析、解决实际问题;
2、使学生学会正确理解题意,能够把实际问题转化为数学问题并灵活运用数学知识加以解决,提高学生数学建模、解模的能力.
复习教学重点:
提高学生应用函数的知识分析、解决问题的能力,采用研究、尝试、训练的方法解决. 复习教学难点:
根据已知条件建立函数关系式,把实际问题抽象、转化为数学问题,即建立数学模型. 复习教学设计:
一、基础梳理
1、几种常见的函数模型
(1) 一次函数模型:f (x )=ax +b (a 、b 为常数,a ≠0);
(2) 二次函数模型:f (x )=ax 2+bx +c (a 、b 、c 为常数,a ≠0);
(3) 指数函数模型:f (x )=b ⋅a x +c (a 、b 、c 为常数,a >0且a ≠1,b ≠0);
(4) 对数函数模型:f (x )=b log a x +c (a 、b 、c 为常数,a >0且a ≠1,b ≠0);
(5) 幂函数模型:f (x )=ax n +b (a 、b 为常数,a ≠0).
(1) 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,把握数学本质,选择数学模型;
(2) 建模:由题设中的数量关系,将文字语言转化为数学符号语言,建立相应的数学模型,将实际问题转化为数学问题;
(3) 解模:运用数学知识和方法解决转化得出的数学问题;
(4) 还原:回到题目本身,检验求解结果的实际意义,得出结论.
二、小试身手
1、(巩固对不同函数增长速度的理解) 下列命题不正确的是 ( C )
+∞)是增函数; (A) 函数f (x )=x 2在(0,
+∞)是增函数; (B) 函数f (x )=2x 在(0,
+∞),当x >x 0时,x 2>2x 恒成立; (C) ∃x 0∈(0,
+∞),当x >x 0时,2x >x 2恒成立. (D) ∃x 0∈(0,
2、(指数型函数的应用) 某林场计划第一年造林1万亩,以后每年比前一年多造林20%,则三年后一共造林 ( D )
(A) 1.4万亩; (B) 1.44万亩; (C) 3.6万亩; (D) 3.64万亩.
三、热点考向探究
热点1、一次函数、二次函数模型
例1、有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润分别是P (万元) 和Q (万元) ,
x ,Q =今有3万元资金投入经营甲、5乙两种商品,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少?能获得的最大利润是多少? 它们与投入资金x (万元) 的关系有以下公式:P =
解:设对甲种商品投资x 万元,则对乙种商品投资(3-x )万元,总利润为y 万元,根据题意
得:y =x +0≤x ≤3),
50≤t ≤, 令=
t ,则x -3-t 2,
131⎛3⎫210∴ y =(
3-t 2)+t =- t -⎪+,t ∈⎡⎣, 555⎝2⎭202
3时,y max =1.05,此时,x =0.75, 3-x =2.25, 2
答:为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元,能获得的最大利润是1.05万元.
方法小结:利用一次函数、二次函数的单调性求最值时,要注意实际问题中自变量的取值范围,对于比较复杂的形式可用换元等方法进行化简.
热点二:指数函数与对数函数模型
例2、某工厂一、二、三月份的某产品产量分别为1万件、1. 2万件、1. 3万件,为了估测以当t =后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y (万件) 与月份x 的关系,模拟函数可选用二次函数或y =ab x +c (a 、b 、c 为常数,a ≠0) ,已知四月份的产量为1. 36万件,试问用以上哪个函数作为模拟函数较好?请说明理由.
解:若用二次函数模拟,设y =ax 2+bx +c (a ≠0),根据题意得:
⎧a +b +c =1177⎪⎨4a +2b +c =1.2,解方程组得:a =-,b =,c =, 202010⎪9a +3b +c =1.3⎩
∴ y =-1277x +x +,当x =4时,y =1.3,与四月份实际产量误差0.06万件; 202010
若用y =ab x +c (a 、b 、c 为常数,a ≠0) 模拟,根据题意得:
⎧a ⋅b +c =1417⎪2a ⋅b +c =1.2,解方程组得:, a =-,b =,c =⎨525⎪a ⋅b 3+c =1.3⎩4⎛1⎫7∴ y =-⋅ ⎪+,当x =4时,y =1.35,与四月份实际产量误差0.01万件; 5⎝2⎭5
4⎛1⎫7故:用y =ab x +c (a 、b 、c 为常数) 作为模拟函数较好,y =-⋅ ⎪+. 5⎝2⎭5x x
方法小结:在日常生活中,增长问题常用指数函数模型和幂函数模型进行模拟,有时也可以选用对数函数模型模拟,需和实际情况进行对比,看用哪种模型更为合理.
变式练习:
根据统计数据发现,从2000年开始,某地区的森林面积y (万亩) 与经过的年数x 的关系可用一个对数函数模型y =a lg x +b (a ≠0)进行模拟,已知2002年该地区森林面积为3.6万亩,2005年该地区森林面积为4.4万亩,请据此估计该地区2020年的森林面积.(参考数据:lg 2≈0.30)
⎧a ⋅lg 2+b =3.6解:由题意得:⎨,解方程组得:a =2,b =3, a ⋅lg 5+b =4.4⎩
∴ y =2lg x +3,
当x =20时,y =2lg 20+3=2(1+lg 2)+3≈5.6,
答:估计该地区2020年的森林面积约为5.6万亩.
四、课堂教学小结:
解答应用题的要求:认真审题,合理建模,仔细运算,检查作答.
常见的增长类函数模型:一次、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型. 常用的数学方法:待定系数法.
五、分层练习:
A 级:
1、(人教A 版教材第101页练习改编,检验学生对不同函数增长速度的掌握) 已知f (x )=x 2,g (x )=2x ,h (x )=log 2x ,当x ∈(4, +∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列结论正确的是 ( C )
(A) f (x )>g (x )>h (x ); (B) g (x )>h (x )>f (x );
(C) g (x )>f (x )>h (x ); (D) f (x )>h (x )>g (x ).
2、(
( B )
b (A) y =a +bx ; (B) y =a +b x ; (C) y =ax 2+b ; (D) y =a +. x
3、(检验学生对指数函数型模型的掌握) 将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶中,t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y =ae nt ,假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m 分钟后
a 甲桶的水只有,则m = ( D ) 8
(A) 7; (B) 8; (C) 9; (D) 10.
4、(检验学生对数学建模的掌握) 商店经销一种洗衣粉,年销量为6000袋,每袋进价为2. 8元,销售价为3. 4元,全年分若干次进货,每次进货均为x 袋,已知每次进货运输费用为62. 5元,全年保管费为1. 5x 元,要使利润最大,每次进货量应为
B 级:
1、(2011年湖北高考,检验学生对指数型函数增长情况的综合应用) 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位:太贝克) 与时间t (单位:年) 满足函数关系:M (t )=M 02-t 30,其中M 0为t =0时铯137的含量.已知t =30时,铯137含量的变化率是-10ln 2(太贝克/年) ,则M (60
)= ( D )
(A) 5太贝克; (B) 75ln 2太贝克; (C) 150ln 2太贝克;
(D)150太贝克.
2、(增长型函数模型的综合应用) 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿的市场售价与上市时间的关系用图甲的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙的抛物线表示:
)
(1) 写出图甲表示的市场售价与时间的函数关系式P =f (t );写出图乙表示的种植成本与时间的函数关系式Q =g (t );(2) 认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?
(0≤t ≤200)⎧-t +300, 1(t -150)2+100, (0≤t ≤300); 答案:(1)f (t )=⎨,g (t )=()2t -300, 200<t ≤300200⎩
(2) 第50天上市收益最大.
六、考题赏析
(2011年湖北17题) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况
下,大桥上的车流速度v (单位:千米/小时) 是车流密度x (单位:辆/千米) 的函数.当桥上的的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明;当20≤x ≤200时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数.
(I) 当0≤x ≤200时,求函数v (x )的表达式;
(II) 当车流密度x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆/每小时) f (x )=x ⋅v (x )可以达到最大,并求出最大值(精确到1辆/小时) .
解:(I) 由题意:当0≤x ≤20时,v (x )=60;当20≤x ≤200时,设v (x )=ax +b ,
1⎧a =-,⎪⎧200a +b =0,⎪3再由已知得⎨ 解得⎨20a +b =60,200⎩⎪b =,⎪3⎩
0≤x ≤20,⎧60, ⎪故函数v (x )的表达式为v (x )=⎨1 20
0≤x
当0≤x ≤20时,f (x )为增函数,故当x =20时,其最大值为60⨯20=1200;
211⎡x +(200-x )⎤10000 当20
当且仅当x =200-x ,即x =100时,等号成立。
10000300]上取得最大值 所以,当x =100时,f (x )在区间(20, , 3
10000 综上,当x =100时,f (x )在区间[0,200]上取得最大值≈3333. 3
即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时.