高二数学专题：三角函数的性质及三角恒等变形人教实验版（B ）
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
专题：三角函数的性质及三角恒等变形
【考点梳理】 一、本章考试内容
1. 角的概念的推广，弧度制．
2. 任意角的三角函数、单位圆中的三角函数、同角三角函数的基本关系、正弦、余弦的诱导公式．
3. 两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切．
4. 正弦函数、余弦函数的图像和性质、周期函数、函数y=Asin（ωx+ϕ）的图像、正切函数的图像和性质、已知三角函数值求角．
5. 余弦定理、正弦定理．利用余弦定理、正弦定理解斜三角形．
二、本章考试要求
1. 理解任意角的概念、弧度制的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算．
2. 掌握任意角的三角函数的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，了解奇函数、偶函数的意义．
3. 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． 4. 能正确地运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
5. 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y= Asin（ωx+ϕ）的简图，理解A 、ω、ϕ的物理意义． 6. 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x ,arccos x ,arctan x 表示． 7. 掌握余弦定理、正弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
三、全章知识网络：
【命题研究】
分析近五年的全国高考试题，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%．试题的内容主要有两方面；其一是考查三角函数的性质和图象变换；尤其是三角函数的最大值、最小值和周期，题型多为选择题和填空题；其二是考查三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求值，解决简单的综合问题，除了在填空题和选择题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面的内容，是高考命题的一个常考的基础性的题型．其命题热点是章节内部的三角函数求值问题，命题新趋势是跨章节的学科综合问题．数学试题的走势，体现了新课标的理念，突出了对创新能力的考查．
如：福建卷的第17题设函数f (x ) =a ⋅b ，其中向量
a =(2cos x ,1),
⎡ππ⎤
b =cos x 2x , x ∈R . (1)若f(
x )=1x ∈⎢-, ⎥, 求x ；
⎣33⎦
()
π⎫⎛
（2）若函数y=2sin2x的图象按向量c =(m , n ) m
2⎭⎝
图象，求实数m、n的值．此题“重视知识拓宽，开辟新领域”，将三角与向量知识交汇．
【复习策略】
三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出“和、差、倍角公式”的作用，突出正、余弦函数的主体地位，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因此三角函数的性质是本章复习的重点．第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上，要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，力求系统化、条理化和网络化，使之形成比较完整的知识体系；第二、三轮复习以基本综合检测题为载体，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度．当然，这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式
的应用）来考查三角函数性质”的命题，难度以灵活掌握倍角的余弦公式的变式运用为宜．由于三角函数解答题是基础题、常规题，属于容易题的范畴，因此，建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势．总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力．
解答三角函数高考题的一般策略：
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”． （2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系． （3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化． 三角函数恒等变形的基本策略：
22
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cosθ+sinθ=tanx·cotx=tan45°等．
222222
（2）项的分拆与角的配凑．如分拆项：sin x+2cosx=（sin x+cosx ）+cosx=1+cosx ；配凑角：α=（α+β）－β，β=
α+β
2
－
α-β
2
等．
（3）降次，即二倍角公式降次．
（4）化弦（切）法．将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）．
（5）引入辅助角．asin θ+bcosθ=a +b sin （θ+ϕ），这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=
【典型例题分析与解答】
2222
例1、化简sin α⋅sin β+cos α⋅cos β-
22
b
确定． a
1
cos 2α⋅cos 2β 2
分析：对三角函数式化简的目标是： （1）次数尽可能低； （2）角尽可能少；
（3）三角函数名称尽可能统一； （4）项数尽可能少． 观察欲化简的式子发现：
（1）次数为2（有降次的可能）； （2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）； （3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）； （4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种． 解法一：（复角→单角，从“角”入手）
2222
原式=sin α⋅sin β+cos α⋅cos β-
1
⋅(2cos 2α-1)(2cos 2β-1) 2
1
(4cos 2α⋅cos 2β-2cos 2α-2cos 2β+1) 2
1
=sin 2α⋅sin 2β-cos 2α⋅cos 2β+cos 2α+cos 2β-
2
1
=sin 2α⋅sin 2β+cos 2αsin 2β+cos 2β-
2=sin 2α⋅sin 2β+cos 2α⋅cos 2β-
=sin 2β+cos 2β-
111=1-= 222
1
cos 2α⋅cos 2β 2
解法二：（从“名”入手，异名化同名）
2222
原式=sin α⋅sin β+(1-sin α) ⋅cos β-
2222
=cos β-sin α(cosβ-sin β) -
1
cos 2α⋅cos 2β 2
1
cos 2α⋅cos 2β 2122
=cos β-cos 2β⋅(sinα+cos 2α)
2
22
=cos β-sin α⋅cos 2β-
=
1+cos 2β1⎡⎤
-cos 2β⎢sin 2α+(1-2sin 2α) ⎥ 22⎣⎦1+cos 2β11
-cos 2β= 222
=
解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
1-cos 2α1-cos 2β1+cos 2α1+cos 2β1
⋅+⋅-cos 2α⋅cos 2β 2222211
=(1+cos 2α⋅cos 2β-cos 2α-cos 2β) +(1+cos 2α⋅cos 2β+
44
1111
cos 2α+cos 2β) -⋅cos 2α⋅cos 2β=+=
4422
原式=
解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式=(sinα⋅sin β-cos α⋅cos β) 2+2sin α⋅sin β⋅cos α⋅cos β-
1
cos 2α⋅cos 2β 2
11
sin 2α⋅sin 2β-cos 2α⋅cos 2β 2212
=cos (α+β) -⋅cos(2α+2β)
2
1122
=cos (α+β) -⋅[2cos (α+β) -1]=
22
2
=cos (α+β) +
点评：在对三角函数式作变形时，以上四种方法，提供了四个变形的角度，这也是研究其他三角函数问题时经常要用的变形手法．
1) B (，1) ，且b >0，例2、已知函数f (x ) =a +b sin x +c cos x (x ∈R ) 的图像过点A (0，，
又f (x
) 的最大值为1，（1）求函数f (x ) 的解析式；（2）由函数y =f (x ) 图像经过平移是否能得到一个奇函数y =g (x ) 的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由．
解析：（1
）f (x ) =a +b sin x +c cos x =a x +φ)(tanφ=) ，由题意，
π
2
c b
可得
⎧a +c =1⎧a =-1⎪⎪
，解得⎨b =2， ⎨a +b =1
⎪c =2⎪⎩⎩a =1
所以f (x ) =-1+2sin x +2cos x ；
（2
）f (x ) =-1+2sin x +2cos x =x +) -1，将f (x ) 的图像向上平移1个
π
4
ππ
) 的图像，再向右平移单位得到y =x 的图像，44
π
故将f (x ) 的图像先向上平移1个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y =g (x ) 的图
4
单位得到函数y =x +
像．
点评：本题考查的是三角函数的图象和性质等基础知识，这是高考命题的重点内容，应于以重视．
2
例3、为使方程cos x -sin x +a =0在 0,
⎛π⎤
⎥内有解，则a 的取值范围是（ ） 2⎝⎦
A . -1≤a ≤1 C . -1≤a
B . -1
5
D . a ≤-
4
分析一：由方程形式，可把该方程采取换元法，转化为二次函数：设sinx=t，则原方
1]，于是问题转化为：若关于t 的一元二次方程程化为t +t -a -1=0，且t ∈(0，
2
t 2+t -a -1=0在区间(0，1]上有解，求a 的取值范围，解法如下：
设f (t ) =t +t -a -1由已知条件 有⎨
2
⎧f (0)
⇒⎨⇒-1
⎩f (1) ≥0⎩1-a ≥0
∴a 的取值范围为-1
，故选（B ）
分析二：由方程cos 2x -sin x +a =0，得a =-cos 2x +sin x ，x ∈ 0⎥
2
于是问题转化为：求函数a =-cos x +sin x 在(0]上的值域．
⎛π⎤⎝2⎦
π
2
解法如下：
22
a =-cos x +sin x =sin x +sin x -1=(sinx +
125) - 24
x ∈ 0，
⎛
⎝
π⎤
∴sin x ∈(0，1，从而 ⎥2⎦
]
当sin x =0时，a 无限逼近-1； 当sin x =1时，a 取最大值1
∴a 的取值范围为-1
点评：换元法或方程思想也是高考考查的重点，尤其是计算型试题．
例4
、已知向量a =(cosα，， sin α) ，b =(cosβ，sin β) ，|a -b |=
（1）求c o s (α-β（2）若0
ππ5
，-β
α的
解析：（1）因为a =(cosα ，sin α) ，b =(cosβ，sin β) ，
所以a -b =(cosα-cos β，
sin α-sin β) ，
又因为|a -b |==，
43
；
55ππ
-
34
又因为cos(α-β) =，所以 sin(α-β) =，
5551263
因为sin β=-，所以cos β=，所以sin α=sin[(α-β) +β]= =
131365cos(α-β) =即2-2cos(α-β) =点评：本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换的基本技能，着重
考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点．
例5、已知向量=(1, 1)，向量n 与向量m 的夹角为π，且m ⋅n =-1， （1）求向量；
（2）若向量与向量q =(1, 0)的夹角为
34
πC ⎫⎛
，向量= cos A , 2cos 2⎪，其中22⎭⎝
A 、B 、C 为∆ABC 的内角，且A 、
B 、C +的取值范围．
分析：本题的特色是将向量与三角函数知识综合，体现了知识的交汇性，这是高考命题
的一个创新，也是高考命题的新趋势，关联三角形的三角函数解答题是高考命题的又一个热点．解答本题应先翻译向量语言，脱去向量语言的外衣，这时问题（1）就转化为解方程组的问题了，而问题（2）就化归为三角形中的三角函数问题了．
解析：（1）设=(x , y )，由⋅=-1，有x +y =-1 ①
3
3
向量n 与向量m 的夹角为π，有m ⋅n =⋅cos π=-1，
44
=1，则x 2+y 2=1 ② ⎧x =-1⎧x =0
由①、②解得：⎨ 或⎨
y =0y =-1⎩⎩
∴n =(-1, 0)或n =(0, -1)
（2）由n 与q 垂直知n =(0, -1)， 由2B =A +C , 知B =
π
3
, A +C =
2π2π
, 0
若=(0, -1)，则+= cos A , 2cos 2
⎛
⎝C ⎫
-1⎪=(cos A , cos C )， 2⎭
21+cos 2A 1+cos 2C
∴n +p =cos 2A +cos 2C =+
22
＝1+
1⎡1π⎫⎛4⎫⎤⎛
cos 2A +cos π-2A =1+cos 2A + ⎪ ⎪， ⎢⎥2⎣2⎝3⎭⎝3⎭⎦
0
2πππ5ππ⎫1⎛,
+⎪
⎡211π⎫55⎫⎛⎡15⎫⎪ ∴≤1+cos 2A +⎪
223⎭42⎪⎝⎣24⎭⎣2⎭
例6、如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花. 若BC=a ，∠ABC=θ，设△ABC 的面积为S 1，正方形的面积为S 2．
（1）用a ，θ表示S 1和S 2； （2）当a 固定，θ变化时，求
S 1
取最小值时的角θ． S 2
∴S 1=
121
a sin θcos θ=a 2sin 2θ 24∴x cot θ+x +x tan θ=a
解析：（1） AC =a sin θ, AB =a cos θ
设正方形边长为x ，则BQ =x cot θ, RC =x tan θ
a a sin θcos θa 2sin 2θ
x ===
cot θ+tan θ+11+sin θcos θ2+sin 2θ
a 2sin 22θ⎛a sin 2θ⎫
∴S 2= ⎪=2
⎝2+sin 2θ⎭4+sin 2θ+4sin 2θ
（2）当a 固定，θ变化时，
2
S 11⎛4⎫= +sin 2θ+4⎪ S 24⎝sin 2θ⎭
令sin 2θ=t , 则
S 11⎛1⎫
= t ++4⎪ S 24⎝t ⎭
0
π
1
, ∴0
1
t
函数f (t )=t +在(0,1]上是减函数，于是当t =1时，
πS 1
取最小值，此时θ=．
4S 2
1
．三角函数t
点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例．通过引入角度，将图形的语言转化为三角函数的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数f (t )=t +的应用性问题是历年高考命题的一个冷点，但在复习中应引起足够的关注．
【模拟试题】
一、选择题
1、函数y =sin(2x +
5π
) 的图象的一条对称轴方程是（ ） 2
A. x =- C. x =
π
2
B. x =-D. x =
π
4
π
8
5π 4
2、下列函数中，以
π
为周期的函数是（ ） 2
A. y =2cos 2x -1 B. y =tan
π⎫⎛1
x +⎪
3⎭⎝2
C. y =sin 2x +cos 2x D. y =sin 2x ⋅cos 2x
44
3、已知θ是第三象限的角，若sin θ+cos θ=
5
，则sin 2θ等于（ ） 9
A.
22
34 3
B. -D. -
22
32 3
C.
4、已知f (x )=3sin 2x +
⎛⎝
π⎫
⎪，则以下选项正确的是（ ） 3⎭
B. f (1)>f (2)>f (3) D. f (1)>f (3)>f (2)
A. f (3)>f (1)>f (2) C. f (3)>f (2)>f (1)
5、函数f (x )=sin (ωx +ϕ)⋅cos (ωx +ϕ)得最大值，则ϕ的一个值是（ ）
3
A 、-π
4
(ω>0)以2为最小正周期，且能在x=2时取
57πB 、-π C、π D 、
442
6、如图，半径为2的⊙M 切直线AB 于O 点，射线OC 从OA 出发绕着O 点顺时针方向旋转到OB ．旋转过程中，OC 交⊙M 于P ，记∠PMO 为x ，弓形PnO 的面积为S =f (x )，那么f (x )的图象是（ ）
7、tan15°－cot15°＝（ ）
A. 2 B. 2+3 C. 4 D. -23 8、给出下列的命题中，其中正确的个数是（ ） （1）存在实数α，使sin αcos α=1；
3
（2）存在实数α，使sin α+cosα=；
2
⎛5π⎫
（3）f (x )=sin -2x ⎪是偶函数；
⎝2
⎭
（4）若α、β是第Ⅰ象限的角，且α＞β，则tg α＞tg β （5）在△ABC 中A ＞B 是sinA ＞sinB 的充要条件． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9、函数y =
11
+的值域为（ ）
4+sin x 5+sin x
A. ⎢
⎡11⎤⎡11⎤⎡11⎤⎡11⎤
, ⎥ B. ⎢, ⎥ C. ⎢, ⎥ D. ⎢, ⎥ ⎣126⎦⎣159⎦⎣3012⎦⎣93⎦
10、函数y =x sin x +cos x 在下面哪个区间内是增函数（ ） A. (
π3π
2, 2
) B. (0,π) C. (-
ππ
3π5π
, ) D. (, ) 2222
11、若点P (sinα-cos α，tg α) 在第一象限，则在［０，2π］内α的取值范围是（ ）
3π5π
) (π，)
244ππ5π
) B. (，) (π，
424π3π5π3π
) (，) C. (，
2442ππ3π
，π) D. (，) (
424
A. (
π
，
12、定义在R 上的函数f (x )即是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当
⎡π⎤
x ∈⎢0, ⎥时，f (x )=sin x ，则
⎣2⎦⎛5π⎫
f ⎪的值为（ ） ⎝3⎭
A. -
1133 B. C. - D.
2222
二、填空题
13、已知sin θ⋅cos θ=，且
18
π
4
π
2
，则cos θ-sin θ的值为__________．
14、如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P 到水面的距离为d 米（P 在水面下则d 为负数），则d （米）与时间t （秒）之间满足关系式：
d =A sin (ωt +ϕ)+k (A >0, ω>0), -
间，有以下四个结论：
π
2
π
2
，且当P 点从水面上浮现时开始计算时
(1)A =10；(2)ω=
是 ．
2ππ
；(3)ϕ=；(4)k =5，则其中所有正确结论的序号156
15、给出问题：已知∆ABC 中，满足a cos A =b cos B ，试判定∆ABC 的形状，某学生
b 2+c 2-a 2a 2+c 2-b 2
=b ⋅的解答如下：由条件可得：a ⋅，去分母整理可得
2bc 2ac
(a
2
-b 2)c 2=(a 2-b 2)(a 2+b 2)，∴c 2=a 2+b 2．故∆ABC 是直角三角形．该学生的解
答是否正确？若正确，请将他的解题主要依据填在下面横线上；若不正确，将正确的结果填
在下面的横线上．
（0，π），tan θ=__________． 16、已知sin θ+cos θ=，θ∈
三、解答题
17
、已知函数f (x ) =
15
（1）求函数f (x ) 的定义域、值域、最小正周期； （2）判断函数f (x ) 的奇偶性． 18、（1）已知：θ≠k π(k ∈Z )，求证：tan
θ
2
=
1-cos θ
；
sin θ
（2）已知：sin θ=
4⎛θπ⎫
，求：tan -⎪的值． 5⎝24⎭
19、已知偶函数f (x ) =cos θsin x -sin(x -θ) +(tanθ-2)sin x -sin θ的最小值为0，求f (x ) 的最大值及此时x 的集合．
20、在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cosA ＝， （1）求sin
2
1
3
B +C
+cos 2A 的值； 2
（2）若a =，求bc 的最大值．
21、已知向量a =(m ，n ，ω是常数，且，n ) ，b =(cosωx ，sin ωx ) ，其中m π
ω>0，x ∈R ，函数y =f (x ) =a ⋅b 的周期为π，当x =时，函数取得最大值1．
12
（1）求函数y =f (x ) 的解析式；（2）写出y =f (x ) 的对称轴，并证明之．
22、如图，足球比赛场的宽度为a 米，球门宽为b 米，在足球比赛中，甲方边锋沿球场边线，带球过人沿直线向前推进．试问：该边锋在距乙方底线多远时起脚射门可命中角的正切值最大？（注：图中表示乙方所守球门，所在直线为乙方底线，只考虑在同一平面上的情形）．
试题答案
1、A 7、D 13、-
2、D 8、B
3、A 9、B
4、A 10、D
5、A 11、B
6、A 12、D
3
2
14、（1）（2）（4）
15、不正确，直角三角形或等腰三角形 16、-
4 3
ππ⎧
tan x ，x ∈(2k π-，2k π+)
sin x ⎪⎪22
==⎨k ∈Z ，17、解：（1
）f (x ) =
π3π|cos x |⎪-tan x ，x ∈(2k π+，2k π+)
⎪⎩22
定义域：{x |x ≠k π+，k ∈Z }，值域为：R ，最小正周期为T =2π； （2） f (-x ) =
π
2
sin(-x ) sin x
=-=-f (x ) ，且定义域关于原点对称，
|cos(-x ) ||cos x |
所以f (x ) 为奇函数． 18、解：（1） θ≠k π, ∴
θ
2
≠
k π
, k ∈Z 2
∴tan
θ
2
sin =cos
θ=
2sin 2
θ
2sin cos 22243
（2） sin θ=, ∴cos θ=±
5534θ1-cos θ1
=， 当cos θ=,sin θ=时，tan =
552sin θ2-1
1⎛θπ⎫∴tan -⎪==- 3⎝24⎭1+tan 2
34θ1-cos θ
=2， 当cos θ=-,sin θ=时，tan =
552sin θ-1
1⎛θπ⎫∴tan -⎪==
⎝24⎭1+tan 3
2
19、解：f (x ) =cos θsin x -sin(x -θ) +(tanθ-2)sin x -sin θ
=
1-cos θ
sin θ
tan
θ
tan
θ
=sin θcos x +(tanθ-2)sin x -sin θ，因为f (x ) 为偶函数，
所以，对x ∈R ，有f (-x ) =f (x ) ，即
sin θcos(-x ) +(tanθ-2)sin(-x ) -sin θ=sin θcos x +(tanθ-2)sin x -sin θ，
⎧sin 2θ+cos 2θ=1⎪
亦即(tanθ-2)sin x =0，所以tan θ=2，由⎨sin θ，
=tan θ=2⎪
⎩cos θ
⎧⎧sin θ=sin θ=⎪⎪⎪⎪，此时f (x ) =sin θ(cosx -1) ，
解得⎨或⎨
⎪cos θ=⎪cos θ=⎪⎪⎩⎩
当sin θ=
时，f (x ) =x -1) ，最大值为0，不合题意，
55
时，f (x ) =x -1) ，最小值为0， ，此时自变量x 的集合为： 当sin θ=
当cos x =-1时，f (x
) {x |x =2k π+π，k ∈Z }．
20、解：（1）sin
B +C 1
+cos 2A =[1-cos (B +C )]+2cos 2A -1 2211=(1+cos A )+2cos 2A -1=- 29
2
b 2+c 2-a 21
=cos A =（2）
2bc 3
∴bc ≤
2
∴bc =b 2+c 2-a 2≥2bc -a 2 3
32
a ，又a =， 49399
∴bc ≤，当且仅当b =c =时，bc =，故bc 的最大值是．
4244
n (tanφ=) ， 21、解：（1
）f (x ) =a ⋅b =m cos ωx +n sin ωx =ωx +φ) ，
m
ππ
，得φ=， 由周期为π且最大值为1
，所以ω=2由f () =1=1，
123
π
所以f (x ) =sin(2x +) ；
3
ππk ππ=k π+，(k ∈Z ) ，+，(k ∈Z ) ，解得对称轴方程为x = 32212
k ππππππ
f [2(+) -x ]=f (k π+-x ) =sin[2(k π+-x ) +]= =sin(2x +) =f (x )
2126633k ππ+(k ∈Z ) 是y =f (x ) 的对称轴． 所以x =
212
（2）由（1）知，令2x +
22、解：以L 为x 轴，D 点为坐标原点，建立直角坐标系，
设AB 的中点为M ，则根据对称性有
AD =
a +b a -b
, DB =DM -BM =, 22
由此可知定点A 、B 的坐标分别为
⎛a +b ⎫⎛a -b ⎫
0, ⎪, 0, ⎪
2⎭⎝2⎭⎝
设动点C 的坐标为(x , 0)
(a >b >0)，
π⎫
(x >0)，记∠ACO =α, ∠BCO =β，且α, β∈⎛ 0, ⎪，
⎝
2⎭
a +b a -b
-
tan α-tan βb = ∴tan ∠ACB =tan (α-β)==22
a +b a -b a -b 1-tan α⋅tan β1+⋅x +2x 2x 4x a 2-b 2a 2-b 2b
x +≥2x ⋅=a 2-b 2∴tan ∠ACB ≤22
4x 4x a -b
a 2-b 2
当且仅当x =, 即x =
4x ⎛a 2-b 2⎫
⎪， ∴C , 0 ⎪2⎝⎭
a 2-b 2
时，tan ∠ACB 达到最大， 2
a 2-b 2
故该边锋在距乙方底线时起脚射门可命中角的正切值最大．
2