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数学教学研究第34卷第2期2915年2月
摭谈“耐克函数"教学的三个层次与几个细节
缪选民
(江苏省泰州市海陵区教育局教研室225300)
众所周知,函数y=z+兰(口>o)的图像。
形似“耐克”商标,因而被人们形象地称为“耐克函数”,有时也叫做“双钩函数”.因其在求函数的值域、最值及不等式中的广泛应用,特别是多次以不同形式呈现在全国及各地高考试卷中,所以它越来越受到人们的重视——苏教版高中数学教材叫(必修1)习题中有3处涉及该模型(第43页练习第6题、第45页习题第10题、第55页本章测试第14题).但在实际教学中,老师们往往在高一年级的函数中讲述这一内容,高二、高三年级讲得很
少,且在教学时几乎“一步到位”,忽略了“螺
旋上升”,这就使得其教学价值与应用价值打了折扣.本文就如何进行该内容的教学谈点
想法.
笔者以为,介绍“耐克函数”重在系统,高中3个年级都应“点到”,且各个年级侧重点与层次性应有所不同.高一年级应着重从讨论函数单调性方面考虑,并将“耐克函数”的性质向同类函数迁移;高二年级着重从不等式与“耐克函数”的联系这一角度考虑,且在导数教学中插人讨论“耐克函数”单调性这一内容,以巩固高一的知识;高三年级着重从
“耐克函数”的综合应用加以考虑.
层次一:通过讨论函数的单调性了解“耐克函数”
高一年级学习了函数的奇偶性、单调性
1
这两概念后,便可从讨论函数y=z+÷的单
收稿日期:2014・10—20
万方数据
调性让学生了解“耐克函数”.此时教学的重点应突出讨论函数单调性的一般方法与过程,使学生确实理解增区间与减区间的分界点是如何产生的,而不仅仅是僵硬记住结论.
例1讨论函数厂(z)一z+{单调性.
所谓突出“讨论函数单调性的一般方法”,是指出示这个基本例题后,不应忙于“作差”,而是分层次地向学生提出这样的问题:
问题1是否要在整个定义域内讨论单调性?能否缩小讨论范围?
(讨论单调性时,如果函数有奇偶性的话,只要考虑“一半’’即可,从而简化讨论,要让学生养成这样的习惯)
有了上面的思考,讨论限定在(o,+。。)内便是自然的事了.不妨设z,>z。>O,则
1
1
厂(z,)一厂(zz)一z・+÷一zz一去
:z,一z。+土一上
Z1
Z2
=(z,一z。)+等≥
一!兰!二兰221兰!兰!二12
。
Z122
这里z1一z2的符号已经确定,又z,,zz的符号也已确定,故只要确定z,zz一1的符
号即可.接下来的问题是:
问题2z,,zz在哪个区间内能保证
zlz2—1>07
学生的回答可能不尽相同,如:在(2,
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+o。)内、在(3,10)等,如果出现这种答案,继续追问,区间能否再扩大一点?如果出现
(去,+。o),(o,3)之类的答案,则追问:该区
间内的每一对zl,z2都能保证zlz2—1>o?这个环节的主要目的是让学生真正去“悟”:
什么样的区间能保证当z,>zz时厂(z・)一
,(z。)>O一定成立?经过思考与探求,由于z,,z:的任意性,当它们都无限接近某个区
间的端点时也应该有鱼[]宅掣>
o,即当z1与z2无限接近时zlz2—1>o仍成立,从而悟出方程z2—1=o的解为单调区间的一个端点,明白为什么“界点是1”.由此
得到单调递减区间是(o,1),单调递增区间是
(1,+∞),最后得到各个单调区间:(一。。,
一1),(一l,O),(O,1),(1,+o。).
为了体现“例l”的价值,教学时还应当提出如下系列问题:
问题3若函数,(z)=z+詈,则厂(zt)
一,(z2)一?
(让学生熟悉确定厂(z,)一,(zz)符号的
方法,即作差后变形的常用方法:通分、因式分解、配方等)
弛1)-化。)一亟鼍拶.
学生经过模仿便可得到,因为在后续学习中,还会遇到
厂(z)=f+{
诸如此类函数的单调性,到时就不难得出
厂(∽一,(动=塑!攀掣
这种变形结果.实际上,在高三复习阶段,大部分学生对这种变形是不熟练的.
问题4,(z)=z+兰(口>o)的单调区
间是什么?
万方数据
有了上面的铺垫,在(o,+。。)内得出分
界点石已不是什么难事了.
问题s如何画出厂(z)=z+詈(口>o)
的草图?
经过上面的一系列讨论,不难得到其草图如图1所示,这样,“耐克函数”的讨论基本
另外,在单调性讨论的后续课程中,还应
=z+÷是完全一样的,就连“作差”后变形
设z1,z2∈(0,+o。)且z1>z2,则
g(z1)一g(z2)
2
.
2
。z1一石一z2十云
:(z,一规)+壑鱼二型
・L102
:!兰!二兰221兰!垄±;2.
’
ZlZ2
●
.r
‘洒O
沙
厢
-蕊i
工
//
/^
/
.r
x
图1
图2
层次::加强不等式与“耐克函数”的联系
完成.
让学生模仿求函数g(z)=z一÷的单调区
间.将讨论“耐克函数”的方法迁移到此例,再合适不过了,因为其定义域、奇偶性与,(z)
的方法、结果、结论也相似:
由假设知g(z1)一g(z2)>0,所以g(z)在
(O,+。o)内是增函数,在(一∞,o)内也是增函数.这个结论推广到一般就是:g(z)一z一
导(口>o)的单调递增区间是(一∞,o),(o,+
∞).有趣的是它的零点与,(z)=z+导(口>
o)的拐点都是石,其图像如图2所示.
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在高二不等式的教学中,部分学生对“z
+三≥2(z>O)或z+土≤一2(z<0)”这一
Z
o
结论总有记忆障碍,尤其是时间久了,好多学
1
生总习惯记住z+÷≥2(如果z没有限制).
1
产生这一现象原因之一是在Iz+专l≥2这“1
个问题的教学中,我们大多采用分类讨论法来讲授,即:“当z<o时,则一z>o,(一z)+
1
1
丁兰孬≥2,所以z+专≤一2(z<o)”,有的
学生对这种方法没有完全理解(有点象初一学生理解“如果n是负数那么一口是正数”那般困难).如果用上述方法的同时再联系“耐克函数”的知识,让学生联想到图1,那么记住“z+三≥2(z>o)或z+土≤一2(z<o)”oo这一结论就容易多了,也能理解为什么要分z>o和z<o来讨论,同时对取等条件“z=
±1”的理解就更深刻.对于“z+旦≥2厄(zo>o)或z+詈≤一2厄(z<o)(n>o)”同样
如此.当然,若能结合3,=,(z)与y=J,(z)I
1
的图像关系来说明不等式lz+÷I≥2,那就
“I
更完美了.
在高二阶段,经常遇到不等式等号不成立的情况,如“求sin
z+盎”的取值范围.
。
对于这类问题,一个有效的方法是利用“耐克函数”求解.一来教给学生应对这类问题的常用方法,二来巩固基础知识.笔者在教学时,曾给学生这样小结:“遇到用基本不等式求范围时等号不成立,务必尝试‘耐克函数’’’,话虽然偏颇,但教者与学生均感到“管用”.
高二的教学内容中,还有一个与“耐克函数”可联系的知识点就是利用导数求函数的
万方数据
单调区间.如讨论函数y—z+兰(n≠o)的单
调区间,求导数后得y7一等孑,要确定y7的
正负自然会遇到讨论口的符号问题,它是对
“层次一”讨论y—z+兰单调性n>o与口<
o两种情况的综合,也是站在另一个角度考
虑“耐克函数”的单调性,这里不再赘述.
层次三:“耐克函数”的综合运用
到了高三复习阶段,关于“耐克函数”的教学主要有两点,一是复习基础知识时不能将高一有关知识简单地重复一遍,而要有所变化与提高;二是要恰当地将考题中涉及“耐克函数”的问题穿插在复习课中,达到举一反
三与综合应用的目的.类似于下例这类问题
是高三一轮复习中用来“变化与提高"的比较
理想的例子:
例2求函数,(z)=一+去的单调区
间.
这个问题完全可以模仿讨论“耐克函数”
的方法进行.
解该函数是偶函数且定义域为(一∞,o)U(0,+∞),设丑,恐∈(O,+o。)且∞>恐,
,(z1)一厂(z2)
=z{+去一z;一去
砘h4)+警
:(兰!二兰121兰!兰l=呈2
’
ziz{
当z1,z。∈(拉,+∞)时,(z。)一厂(z2)>o,当z,,z2∈(o,粒)时厂(z1)一,(z:)<o,因此,,(z)一z4+考的单调区间:递增区间是(花,+∞),(一粒,o),递减区间是
(一o。,一粒),(o,花).
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又如,2006年上海高考试题(其中一个
06
小题):如果函数y=z+鲁(z>o)的值域为
[6,+。。),求6的值.这些都是高三复阶段巩固“耐克函数”基本模型极好的例子.
例3(2012年南京三模试题)在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为础(米/单位时间),单
位时间内用氧量为彬(c为正常数);②在水
底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧
量为o.4;③返回水面时,平均速度为詈(米/
单位时间),单位时间用氧量为o.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y.
(1)将3『表示为口的函数;
(2)设o<《5,试确定下潜速度勘,使总
的用氧量最少.
这是1997年全国高考试题“运输成本”那一题的翻版(读者可查阅1997年全国高考
数学试题).
这类例题的可取之处在于:一是给学生示
范与“耐克函数’,形式相近的函数如何变形;二是示范分类讨论“界点”的由来.由题不难得y
1o
=30∞t筹+2(t》o),向“耐克函数”靠拢有y
呈
=30c(口+坐)+2.(在实际教学中,这种变形方法在高一就“一步到位”了.但从“螺旋上升”的角度考虑,高三阶段再作这样的变形比较贴切)又o<口≤5,而本题中“耐克函数”的“界
点”剐壹,所以讨论的“界点”就由√壹≤5
ri
ri
厅r
o
与√壹>5产生,即最后的讨论是分彦彘与
O
o<f<丧两种情况(解答略).
复习中还应注意,有些问题乍一看与“耐
万方数据
克函数"毫无关系,但解答到一半,“耐克函数”就显现了,这类问题不能小视.
,(z)=£学(口∈R),若对于任意的z例4(2011年南京二模试题)已知函数∈N.,,(z)≥3恒成立,n的取值范围是
分析
由竺掣≥3,z∈N得≯+
配+1l≥3z+3,口≥一o+兰)+3,显然只要求在z∈N.条件下^(z)=一(z+号)+3的最
大值即可.这方面的例子俯拾即是:
题1
已知口n2赢(,2∈N.),求数
列{口。)的最大项;
题2若z2一懈+4优一1一。在[o,1]
上有解,求m的取值范围.
对于题1,只要作变形:%2—寺丽,求
挖1’i
分母的最小值便可得{锄)的最大项;
对于题2,将其变形成
m:£二旱:鱼±兰龃
Z一譬
£
=£+挈+8(z一4一t),£∈[一4,~3],
综上所述,对于数学中某个综合性较强的层次性,因为“双基’’也是有层次的、渐进的,“一步到位”式教学最容易挫伤对数学感学(必修1)(第4版)[蛔.南京:江苏教育出版
社。2012.
再用“耐克函数”求解即得优的取值范围.
知识点的教学,尤其是高考中的“热点”,高中三年应当全盘考虑,且注意各阶段教学目标悟稍差的那部分学生的积极性,这也是人们常说的“教之道在于度”的含义之一.
参考文献
[1]单埠,等,普通高中课程标准实验教科书・数