2．不定方程 不定方程是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富。我国对不定方程的研究已延续了数千年，百鸡问题等一直流传至今，物不知其数的解法被称为中国剩余定理，近年来不定方程的研究又有新的进展。学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能。
不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.
(1) 不定方程解的判定
如果方程的两端对同一个模m(常数) 不同余, 显然, 这个方程必无整数解. 而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.
例4 证明方程2x -5y =7无整数解.
证明 ∵2x=5y+7，显然y 为奇数. 2222
① 若x 为偶数，则
∴
∵方程两边对同一整数8的余数不等，
∴x不能为偶数.
② 若x 为奇数，则
但5y +72
∴x不能为奇数. 因则原方程无整数解.
说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解, 是我们解答这类问题的常用方法.
(2) 不定方程的解法
不定方程没有统一的解法, 常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法. 对方程进行适当的变形, 并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.
例6 求方程的整数解.
解(配方法) 原方程配方得(x-2y)+y=13.
在勾股数中, 最大的一个为13的只有一组即5,12,13, 因此有8对整数的平方和等于13即
(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解
2222
解得
例7 (原民主德国1982年中学生竞赛题) 已知两个自然数b 和c 及素数a 满足方程a +b=c. 证明:这时有a ＜b 及b+1=c.
证明（因式分解法）∵a+b=c，
∴a=（c-b ）（c+b），
又∵a为素数，∴c-b=1，且c+b=a.
于是得c=b+1及a =b+c=2b+1＜3b ， 222222222
即＜. 而a≥3,∴≤1，∴＜1.∴a＜b.
例10求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解.
解 由(y-2)x=2y-7,得 分离整数部分得
由x 为整数知y-2是3的因数,
∴y-2=±1，±3，∴x=3，5，±1.
∴方程整数解为
例11 求方程x+y=x-xy+y的整数解.
解（不等式法）方程有整数解 必须△=（y+1）-4（y -y ）≥0，解得
2222
≤y≤.
满足这个不等式的整数只有y=0，1，2.
当y=0时，由原方程可得x=0或x=1；当y=1时，由原方程可得x=2或0；当y=2时，由原方程可得x=1或2.
所以方程有整数解