课题:与圆有关的轨迹方程

课题：与圆有关的轨迹方程

北京市第八十中学 王伟

一、教学时间：10.27

二、教学目标：

1、掌握求曲线的方程的一些常见方法；

2、建立数形结合思想，培养学生运用解析几何的基本思想方法；

3、培养学生的创新意识, 提高学生的分析问题、解决问题的能力；

三、教学重难点:

重点：求与圆有关的轨迹方程的方法；

难点：建立动点坐标之间的等量关系；

四、教学用具：计算机、投影仪、圆规、三角板；

五、教学过程：

（一）复习提问导入新课：

1什么叫曲线的方程、方程的曲线？

2求曲线的方程的步骤是什么？

学生回答

教师点评：明确解析几何的基本思想方法是在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过方程的特征间接地来研究曲线的性质。其主要问题是1、根据已知条件求曲线的方程，2、通过方程研究平面曲线的性质。

（二）新课：

今天我们一起来研究与圆有关的轨迹方程；

例1已知定点A（6，0），点B是圆

x2y求点P的轨迹方程。

解法一：作PQ∥OB交x轴于点Q， ∵P为AB中点，∴PQ为△OAB的中位线

13OB ∴|PQ|=，由圆的定义知，P在以Q（3，0）为22

39圆心，半径r=|PQ|=的圆上，∴点P的轨迹方程是：(x3)2y2； 24∴Q(3，0)，|PQ|=

1、解法一由学生探讨，寻求解答，展示思维过程；

2、教师点评，总结解法一：定义法；

用计算机演示动点P的轨迹图形，学生观察运动变化规律。

教师提问：例1的解答还有其他方法吗？

学生观察分析：动点P的轨迹依赖圆上点B的变化；

1

解法二：设P(x,y),B(x1,y1)，由中点坐标公式得：

x16xx12x622222∴∵B在圆上,∴(x,y)xy9xy11119 y10y12yy2

∴(2x6)2(2y)29 ∴(x3)y229 4

教师总结解法二：坐标转移法，并把例1进行的拓展：

变化A点的位置探求点P的轨迹方程（1） A在圆上 （2）A在圆内

变化P点位置探求点P的位置关系（1）P分AB的比为2：1 （2）P在的延长线上，使BP

学生回答在上述四种情况中如何解答？

例2 自圆外一点A（6，0）引圆x2y29的割线ABC，求弦BC的中点P的轨迹方程。

定义法 解法一：∵OP⊥AP,取OA中点M则M(3，0)，|PM|=3，

由圆的定义得P点轨迹方程为x

y6x022几何法1 解法二：设P(x,y)，连OP，则OP⊥BCyykOPkBC,即1，即x2y24x0，当x0时P点坐标为（0，0）是xx4

方程的解，∴BC中点P的轨迹方程为x2y24x0（在圆的内部分）

几何法2 解法三 ：设P(x,y)，连OP，=(x,y),=(6x,y),∵⊥，

22∴·=0,x(6x)y(y)0，xy6x0（在圆的内部分）

几何法2 解法四 ：设P(x,y)，连OP，OP=(x,y),PA=(6x,y),∵OP⊥PA，

22∴OP·=0,x(6x)y(y)0，xy6x0（在圆的内部分）

坐标转移法 解法五：设 B(x1,y1),C(x2,y2),P(x,y)则

x1y124…..①

2 2

x2y24……….②

xx1x2yy2，y1… ③ 2222

①-②得:

(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)=0，当x1x2时y1y2xx2将③代入1

x1x2y1y2

得kBCy1y2xy化简得x2y26x0（在已知圆的内部分） kAPx1x2yx4

参数法 解法六：设割线ABC所在的直线方程为yk(x4)，代入x2y24得 (1k2)x28k2x16k240

x1x24k2

x21k2消去k得 设 B(x1,y1),C(x2,y2),P(x,y)，则yy1y24k

21k2

x2y26x0（在已知圆的内部分）

3