一元一次不等式的解法（提高）知识讲解
撰稿：孙景艳 责编：吴婷婷
【学习目标】
1．理解一元一次不等式的概念；
2. 会解一元一次不等式．
【要点梳理】
【高清课堂：一元一次不等式 370042 一元一次不等式 】 要点一、一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2x >50是一个一元一次不等式． 3
要点诠释：
(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式) ；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1．
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
要点二、一元一次不等式的解法
1. 解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2. 一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x a ）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；
(4)化为ax >b （或ax
要点诠释：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以) 同一个负数时，不等号的方向要改变．
3. 不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．
要点诠释： 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．
【典型例题】 类型一、一元一次不等式的概念
1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？
（1）x >0 （2）1>-1 （3）x 2>2 （4）x +y >-3 （5）x =-1 x
【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断．
【答案与解析】
解：(1) 是一元一次不等式．（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因为：（2）中分母中含有字母，（3）未知量的最高次项不是1次，（4）不等式左边含有两个未知量，（5）不是不等式，是一元一次方程．
【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可． 类型二、解一元一次不等式
2. 解不等式：0. 4x +0. 90. 03+0. 02x x -5->，并把解集在数轴上表示出来． 0. 50. 032
【思路点拨】先用分数的基本性质，将分母变为整数，再去分母，在去分母时注意分数线兼有括号的作用．
【答案与解析】 解：将分母变为整数，得：4x +93+2x x -5-> 532
去分母，得：6(4x +9) -10(3+2x ) >15(x -5)
去括号，合并同类项，得：-11x >-99
系数化1，得：x
这个不等式的解集表示在数轴上，如下图：
【总结升华】在不等式的两边同乘以(或除以) 负数时，必须改变不等号的方向． 举一反三： 【变式】解不等式：[(
【答案】 32x -1) -2]-x
x -1-3-x
3移项、合并同类项得：-x
系数化1，得x >-8
故原不等式的解集是x >
-8 解：去括号，得
3.m 为何值时，关于x 的方程：x 6m -15m -1-=x -的解大于1？ 632
【思路点拨】从概念出发，解出方程（用m 表示x ），然后解不等式．
【答案与解析】
解： x-12m+2=6x-15m+3 5x=3m-1 3m -1 5
3m -1>1 由5x =
解得m ＞2
【总结升华】此题亦可用x 表示m ，然后根据x 的范围运用不等式基本性质推导出m 的范围． 举一反三：
【变式】已知关于x 方程x -
【答案】1或2
4. 已知关于x , y 的方程组⎨2x -m 2-x =的解是非负数，m 是正整数，则m =． 33⎧3x +2y =p +1的解满足x >y ，求p 的取值范围．
⎩4x +3y =p -1
【思路点拨】先解出方程组再解不等式．
【答案与解析】
⎧3x +2y =p +1⎧x =p +5解：由⎨，解得：⎨ 4x +3y =p -1y =-p -7⎩⎩
∵x >y
∴p +5>-p -7
解得p >-6
∴p 的取值范围为p >-6
【总结升华】有时根据具体问题，可以不必解出x , y 的具体值．
类型三、解含字母的一元一次不等式
5．解关于x 的不等式：(1-m)x>m-1
【思路点拨】由此不等式的结构，这里只需将未知数的系数化1即可，两边同时除以（1-m ），但由不等式的基本性质我们知，若不等式两边同时除以一个负数，原不等号的方向得改变，这里1-m 的符号我们不知道？故需分类讨论．
【答案与解析】 解：当1- m ＞0既m ＜1时，原不等式的解集为：x ＞-1；
当1- m ＜0既m ＞1时，原不等式的解集为：x ＜-1；
当1-m=0既m=1时，没有数能使得不等式成立，故原不等式无解．
【总结升华】不难发现，我们可以总结概括，如下：
若ax ＞b （a ≠0）， 当a >0时，不等式的解集是x >b
；
当a
举一反三： b ．
【变式1】解关于x 的不等式m （x-2）＞x-2.
【答案】
解: 化简，得（m-1）x ＞2（m-1），
① 当m-1＞0时，x ＞2；
② 当m-1＜0时，x ＜2；
③ 当m-1=0时，无解.
【高清课堂：一元一次不等式 370042 例8】
【变式2】(1)已知x ＜a 的解集中的最大整数为3，则a 的取值范围是______；
(2)已知x ＞a 的解集中最小整数为－2，则a 的取值范围是______．
【答案】（1）3＜a ≤4；（2）﹣3≤a ＜﹣2．
类型四、逆用不等式的解集
6. 若关于x 的不等式mx >n 的解集为x
(2m -n ) x +m -5n >0的解集
【思路点拨】先根据第一个不等式确定m , n 的关系或符号，再代入第二个不等式进行求解． 【答案】x
【解析】
解：由mx >n 的解集为x
将上式代入(2m -n ) x +m -5n >0， 化简整理得：
所以x 2m ，又m
【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定m
举一反三：