“零点坐标法”解不等式
重庆市云阳高级中学校—— 赖国强
摘要：
为贯彻新课程改革的教育理念，笔者从整体上把握课程内容，系统学习新课程标准，精心研究知识的纵横联系，以使在教学中能够沟通知识的联系与发展，做好学生学习知识中的延伸，使学生在知识循环中上升，在知识渗透中提高。在学习新课程改革精神后发现，新课程改革的学习方式是现代学习方式。主要有三种：自主学习，合作学习和探究学习。其中探究学习是指从学科领域或现实社会生活中选择和确定研究主题，在教学中创设一种类似于学术（或科学）探究的情景。这就对广大的老师提出了更高的要求。笔者在多年的教学实践中发现，学生对于知识的横向联系总是把握得不够好。就求解不等式，过程繁琐。例如面对分类讨论时不知从何入手，求解集时，是先交集再并集，还是先并集后交集往往会混淆。所以，笔者希望能应用新课程改革的学习方式就关于解不等式，根据学生探究学习后，总结和创新性的提出新的解法。
关键词：不等式；坐标法；函数零点
本文利用“函数零点”解一般不等式从横向的将知识点进行迁移、应用，通过把“数轴标根法”推广到二维坐标中，从纵向研究“数轴标根法”更深层次的意义。达到应用新课程改革的教育理念的目的；实践新课程改革的教育方法；落实新课程改革的教育理念。为学生更好的学习知识做铺垫工作。
不等式不等式的内容重点和要求 ，侧重让学生体会不等的关系认识到不等关系和相等关系都是客观世界中的基本数量关系，处理不等关系和处理相等关 系同样重要，借助二次函数图像，了解一元二次不等式与一元二次方程的解的关系。笔者应用函数零点性质将“数轴标根法”推广到二维坐标中的解题方法简称为“零点坐标法”。
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解法一：数轴标根法
32-
∴
x -1x +1x +5
显然不等式的解集为：(-∞, -5) ⋃(-1,1) 。
解法二：此不等式的定义域为(-∞, -1) ⋃(-1,1) ⋃(1,+∞) 。
令f (x ) =
23-=0得x =5。 x +1x -1
在(-∞, -5),(-5, -1),(-1,1),(1,+∞)
内各取一特定点函数值f (x
) f (-6) =
1
>0，f (-2) =-1
7
f (0)=5>0，f (2)=-
3
所以解集为(-∞, -5) ⋃(-1,1) 。
比较上面两种解法，可以看出数轴标根法只是在一维情况下标出多项式函数的解集情况；而用“零点坐标法”去判断不等式的解集，是将不等式的解集，置于二维的情形下进行刻画，无一不是对数轴标根法的一种推广，
我们可以从下面的例子可以看出。 例2：解不等式log
3x 2+2x -12x 2-1
解：定义域为(-∞令
+∞) f (x ) =log
3x 2+2x -12x 2-1
-1=01
得x =-2或x =0舍去x =0 在(-∞, -2),(-2, -+∞) 。内各取一点 2
520
3417f (-) =log 70； 22
f (0.9)=log
3.23
0.620.6
0
。 2
1533
从图可知f (x )
2x 2-1>1两种情况，而每种情况又需要讨论并求交集，最后还要进行求并集，
会很繁琐，是一道典型的难题。用“零点坐标法”解就会很容易。此题如果用数轴标根法是无法求解的，说明其应用范围是很窄，所以本文用“零点坐标法”将其推广。
例3：解不等式2x >x 2(x ≥0) 。
解：其定义域为[0,+∞) 令f (x ) =2x -x 2=0解得x =2, x =4。 在[0,2],[2,4],[4,+∞) 范围内各取一点，
f (1)=2-1=1>0， f (3)=8-9=-10
可以看出f (x ) >0的解集为[0,2]⋃[4,+∞)
说明：本题可以用图像法求解，但图像法不能准确的描出其解集只能大致的求出其解，所以我们可以看出“零点坐标法”的适用性。 总结上面的例子，可以知道用“零点坐标法”解题的步骤： （1） 求出定义域；
（2） 将不等式转化为等式，解出零点；
（3） 在定义域内，没两个零点之间任意取一点判断其位于x 轴的上方还是下
方；
（4） 画出示意图，求出解集。 注释：
(1)为什么求定义域？因为定义域外的点明显是不连续的点，影响了函数的变化，首先函数值不存在，在不连续点两侧函数值存在差异，所以要求定义域。 （1）上面的步骤几乎不会用到复杂的推导过程，思路很明确。
（2）将不等式转化为对函数f (x ) =0进行求解，省掉了繁琐的计算过程，而且不容易出错。
（3）我们所画的仅仅是示意图，只要表明解集与x 轴之间的关系就可以了，避免了图像法中描点作图的步骤，而且有些函数的图像根本就很难画出。 按照上面的步骤，我们来解决下面的不等式。
3
例4：解不等式(x -1)(x +1)(x -2)(x +2) +>0
2解：定义域为(-∞, +∞)
令f (x ) =(x -1)(x +1)(x -2)(x +2) =0 解得x =1, x =-1, x =2, x =-2 求得(x -1)(x +1)(x -2)(x +2) >0
的解集为(-∞, -1),(-1,1)(2,+∞) 。
显然这不是我们要求的结果，我们要求的是f (x ) +
3
>0的解。 2
5
令F (x ) =f (x ) +，求出F ' (x ) =2x (2x 2-5) =0
8
解
得x =0, x =
。则f (x ) =0的极大值点为x 1=(0,4)极小值点
为x =x 2=(-
1111-), x 3=-) 。 216216
3
个单位，所以f (x ) 的最小值2
因为F (x ) =0的图像是将f (x ) =0的图向上平移了
点在F (x ) =0的图像中x 轴的上方，所以F (x ) >0解集为x ∈R 。
说明：上面的例子不仅提供了一种解这样复杂的不等式的方法，而且也给了我们一种启示，能够通过降次去解一般的三次不等式。 例5解不等式|2x +1|+|x -2|-3>0。 解：定义域为R 。
令f (x ) =|2x +1|+|x -2|显然f (x ) >0。 又由绝对值的定义可知f (x ) 的最小值为我们可以画出f (x ) 示意图。
令F (x ) =f (x ) -3=0解出F (x ) =|2x +1|+|x -2|-3=0的零点为
2
x =-, x =0。
3
2
故不等式的解集为(-∞, -) ⋃(0,+∞) 。
3
说明：（1）此解法避开了解绝对值不等式中去绝对值符号分类讨论，很直接的应用两个等式求解，计算也比较容易。
5 2
（2）此题可以看出，求f (x ) =0时是没有零点的，但不影响解题，只要求出最小值或是最大值，画出其示意图。
（3）利用图像的平移，解出等式就可以写出解集。
参考文献：
［1］蒋庚. 不等式[M].天津：天府数学，1999
［2］许静. 用“穿点法”巧解不等式 [J]. 科学大众，2008.5.
［3］金城. 零点存在定理的推广及其在解不等式中的应用[M]. 中国校外教育社，2010.5.