不等式知识点精编完整版
一、不等式的主要性质：
1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：
1)对称性：abba 2)传递性：ab,bcac
3)加法法则：abacbc； ab,cdacbd
4)乘法法则：ab,c0acbc；ab,c0acbc： ab0,cd0acbd 5)倒数法则：ab,ab0
11 ab
6)乘方法则：ab0anbn(nN*且n1) 7)开方法则：ab0ab(nN*且n1)
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式
二、一元二次不等式ax2bxc0和ax2bxc0(a0)及其解法
注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式
顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间
三、
ab
2
ab
ab(当且仅当ab时取""号). 2
2
1、若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号. 2、如果a,b是正数，那么
ab
变形： 有:a+b≥2ab；ab≤,当且仅当a=b时取等号.
2
3、如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值2P;
S2
如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.
4
注：
1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积 的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”
4、常用不等式有：
1
(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；
22）a,b,cR，a2b2c2abbcca（当且仅当abc时，取等号）； 3）若ab0,m0，则
四、含有绝对值的不等式
1、绝对值的几何意义：|x|是指数轴上点x到原点的距离；|x1x2|是指数轴上x1,x2两点间的距离
2、如果a0,则不等式：
bbm
（糖水的浓度问题）。 aam
|x|a
|x|a
xa或xa |x|a
axa
xa或xa
axa
|x|a
3、当c0时， |axb|caxbc或axbc， |axb|ccaxbc； 当c0时，|axb|cxR， |axb|cx．
4、解含有绝对值不等式的主要方法：
①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解； ②去掉绝对值的主要方法有：
1）公式法：|x|a (a0)axa，|x|a (a0)xa或xa． 2）定义法：零点分段法；
3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．
5、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxminA 若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB
五、其他常见不等式形式总结：
①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
f(x)
0f(x)g(x)0;g(x)
f(x)g(x)0f(x)
0
g(x)g(x)0
②无理不等式：转化为有理不等式求解
f(x)0
定义域
g(x)0
f(x)g(x)
f(x)0f(x)0f(x)g(x)g(x)0或g(x)0
2f(x)[g(x)]
f(x)0
f(x)g(x)g(x)0
2
f(x)[g(x)]
③指数不等式：转化为代数不等式
af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);
④对数不等式：转化为代数不等式
f(x)0
logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;
f(x)g(x)
af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)
af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb
f(x)0 logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)
六、三角不等式：
|a|-|b||ab||a||b|
七、不等式证明的几种常用方法
比较法（做差法、做商法）、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。
八、数轴穿跟法: 奇穿，偶不穿
(x23x2)(x4)2
不等式0的解
x3
九、零点分段法
不等式：|2x1||x2|4．
十、线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： 1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；
2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解