集合与函数概念
，把一些元素组成的总体叫做。
集合三要素：确定性、互异性、无序性。
N 或N +，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R .
*
一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的
子集。记作A ⊆B .
如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，则称集合A 是集合B 的真子集. 记作：A B. ∅. 并规定：空集合是任何集合的子集. 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的A B . 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的A B . U A ={x |x ∈U , 且x ∉U }
设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f
y =f (x ), x ∈A .
都有惟一确定的数f (x )和它对应，那么就称f :A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，记作：
，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中
n
解：设x 1, x 2∈[a , b ]且x 1
一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (-x )=f (x )，那么就称函数f (x )为
偶函数. 偶函数图象关于y 轴对称.
一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (-x )=-f (x )，那么就称函数f (x )为
- 1 -
奇函数. 奇函数图象关于原点对称.
指数与指数幂的运算
一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根。其中n >1, n ∈N +. 当n 为奇数时，a n =a ；当n 为偶数时，a n =a ⑴a =a n (a >0, m , n ∈N *, m >1)；
r
⑴a r a s =a r +s (a >0, r , s ∈Q )；⑵a
.
-n
n m
⑵a =
1
(n >0)； n a
()
s
=a rs (a >0, r , s ∈Q )；⑶(ab )r =a r b r (a >0, b >0, r ∈Q ).
指数函数及其性质
记住图象：y =a x (a >0, a ≠1)
a x =N ⇔log a N =x ；a log a N =a . log a 1=0，log a a =1.
当a >0, a ≠1, M >0, N >0时：⑴log a (MN )=log a M +log a N ； ⑵log a
⎛M ⎝N ⎫n
⎪=log a M -log a N ；⑶log a M =n log a M . ⎭
换底公式：log a b =
log c b
(a >0, a ≠1, c >0, c ≠1, b >0).
log c a
log a b =
1
、(a >0, a ≠1, b >0, b ≠1). log b a
记住图象：y
=log a x
(a >0, a ≠1)
- 2 -
方程的根与函数的零点
f (x )=0有实根⇔函数y =f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y =f (x )有零点.
y =f (x )在区间[a , b ] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )⋅f (b )
函数y =f (x )在区间(a , b )内有零点，即存在c ∈(a , b )，使得f (c )=0，这个c 也就是方程f (x )=0的根. 用二分法求方程的近似解
.
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面
体叫做棱柱。
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
⑴圆柱侧面积；S 侧面=2π⋅r ⋅l
⑵圆锥侧面积：S 侧面=π⋅r ⋅l
⑶圆台侧面积：S 侧面
=
π
⋅r ⋅l +π
⋅R ⋅l
- 3 -
⑷体积公式：V 柱体=S ⋅h ；V 锥体=
11
S ⋅h ；V 台体=S 上+S 上⋅S 下+S 下h 33
()
⑸球的表面积和体积：S 球=4πR ，V 球=
2
43
πR . 3
1如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 4平行于同一条直线的两条直线平行.
5空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6平行、相交、异面。
7直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8平行、相交。 9
⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 10、
⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 11
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
1k =tan α=2
⑴点斜式：y -y 0=k (x -x 0) ⑵斜截式：y =kx +b
y 2-y 1
x 2-x 1
⑶两点式：
y -y 1x -x 1
=
y 2-y 1x 2-x 1
⑷一般式：Ax +By +C =0
- 4 -
⎧k =k 2
； l 1:y =k 1x +b 1, l 2:y =k 2x +b 2有：⑴l 1//l 2⇔⎨1
⎩b 1≠b 2
⎧k 1=k 2
⑵l 1和l 2相交⇔k 1≠k 2；⑶l 1和l 2重合⇔⎨；⑷l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.
b =b 2⎩1
⎧A 1B 2=A 2B 1
有：⑴l 1//l 2⇔⎨；⑵l 1和l 2相交⇔A 1B 2≠A 2B 1；
B C ≠B C l 2:A 2x +B 2y +C 2=021⎩12
l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,
⑶l 1和l 2重合⇔⎨
⎧A 1B 2=A 2B 1
；⑷l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.
⎩B 1C 2=B 2C 1
1P 2=x 2-x 12+y 2-y 12 =⑴标准方程：(x -a )+(y -b )=r 2
2
2
Ax 0+By 0+C A +B
2
2
⑵一般方程：x +y +Dx +Ey +F =0.
22
=O 1O 2
⑴外离：d >R +r ； ⑵外切：d =R +r ；
⑶相交：R -r
1P 2=x 2-x 12+y 2-y 12+z 2-z 12
当型循环结构、直到型循环结构
- 5 -
①简单随机抽样（总体个数较少） ②系统抽样（总体个数较多） ③分层抽样（总体中差异明显）
注意：在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为⑴一表二图：
①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观
③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 ⑵茎叶图：
①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。 ②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的药重复写。
x +x +x + +x n
⑴平均数：x =123；
n
取值为x 1, x 2, , x n 的频率分别为p 1, p 2, , p n ，则其平均数为x 1p 1+x 2p 2+ +x n p n ； 注意：频率分布表计算平均数要取组中值。
1
⑵方差与标准差：一组样本数据x 1, x 2, , x n 方差：s 2=
n
1n
n
2
i
n 。 N
∑(x
i =1
-x ) ；
标准差：s =
∑(x
i =1
n
2
i
-x )
注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。 ⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：y =bx +a （最小二乘法）
n
⎧
x i y i -nx y ∑⎪
i =1
⎪⎪b =n
2 2⎨x i -nx ∑⎪i =1
⎪⎪⎩a =y -bx
∧
注意：线性回归直线经过定点(x , y ) 。
⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示； ⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点； ⑶随机事件A 的概率：P (A ) =
m
, 0≤P (A ) ≤1； n
- 6 -
⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果； ⑵古典概型的特点：
①所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n 个，事件A 包含了其中的m 个基本事件，则事件A 发生的概率P (A ) =
m 。 n
⑴几何概型的特点：
①所有的基本事件是无限个； ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑵几何概型概率计算公式：P (A ) =
d 的测度
；
D 的测度
其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。 ⑴不能同时发生的两个事件称为互斥事件；
⑵如果事件A 1, A 2, , A n 任意两个都是互斥事件，则称事件A 1, A 2, , A n 彼此互斥。 ⑶如果事件A ，B 互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A ，B 发生的概率的和， 即：P (A +B ) =P (A ) +P (B )
⑷如果事件A 1, A 2, , A n 彼此互斥，则有： P (A 1+A 2+ +A n ) =P (A 1) +P (A 2) + +P (A n )
⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。 ①事件A 的对立事件记作A P (A ) +P (A ) =1, P (A ) =1-P (A ) ②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。
1、 . 2、 与角α终边相同的角的集合：
{ββ=α+2k π, k ∈Z }.
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做. 2、 =
l . r
3、弧长公式：l =
n πR
=αR . 180
n πR 21
=lR . 4、扇形面积公式：S =
3602
1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x , y )，那么：sin α=y , cos α=x , tan α=
- 7 -
y . x
2、 设点A (x 0, y 0)为角α终边上任意一点，那么：（设r =x 0+y 0）sin α=0，cos α=0，tan α=0.
r r x 0
3、 sin α，cos α，tan α在四个象限的符号和三角函数线的画法.
2
2
y x y
4、 诱导公式：
⎛π⎫sin -α ⎪=cos α, sin (α+2k π)=sin α, 2⎝⎭
cos (α+2k π)=cos α, ⎛π⎫
cos -α⎪=sin α.
tan (α+2k π)=tan α. ⎝2⎭
⎛π⎫
sin +α⎪=cos α, ⎝2⎭⎛π⎫
cos +α⎪=-sin α. ⎝2⎭
sin (π-α)=sin α,
cos (π-α)=-cos α, tan (π-α)=-tan α.
sin (π+α)=-sin α,
cos (π+α)=-cos α,
tan (π+α)=tan α.
5、 特殊角
sin (-α)=-sin α, cos (-α)=cos α, tan (-α)=-tan α.
1、 sin α+cos α=1. 2、 tan α=
2
2
sin α
. cos α
1、记住正弦、余弦函数图象：
2、 能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、
单调性、周期性. 3、 会用
五点法作图
.
- 8 -
1、 周期函数定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有
f (x +T )=f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.
1、记住正切函数的图象：
2、 能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
y =A sin (ωx +ϕ)1、 能够讲出函数y =sin x 的图象和函数y =A sin (ωx +ϕ)+b 的图象之间的平移伸缩变换关系. 2、 对于函数：
y =A sin (ωx +ϕ)+b (A >0, ω>0)有：振幅A ，周期T =
2π
ω
，初相ϕ，相位ωx +ϕ，频率f =
1=
ω
.
1、 了解四种常见向量：2、 既有大小又有方向的量叫做向量.
1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.
2、
向量的大小，也就是向量的长度（或称模）；长度为零的向量叫做零向量；长度等于
1
个单位的向量叫做单位向量.
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）. 规定：零向量与任意向量平行.
- 9 -
1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
1、 三角形法则和平行四边形法则. 2、
+
+.
1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.
1、 规定：实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘. 记作：λ，它的长度和方向规定如下：
⑴
= ⑵当λ>0时, λa 的方向与a 的方向相同；当λ
)
1、 平面向量基本定理：如果e 1, e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只
有一对实数λ1, λ2，使=λ1e 1+λ2e 2.
1、 =x +y =(x , y ).
1、 设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2)，则： ⑴a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2)，⑵a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2)，
⑶λ=(λx 1, λy 1)，⑷//⇔x 1y 2=x 2y 1. 2、 设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)，则：=(x 2-x 1, y 2-y 1).
1、设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), C (x 3, y 3)，则 ⑴线段AB 中点坐标为
x 1+x 22y 2
，⑵△ABC 的重心坐标为, y 1+2
)x 1+x 2+x 3
3, y 1+y 32+y 3.
)
- 10 -
1、
a ⋅b =θ.2、 a 在b
θ. 3、
a =.4、
=.5、 a ⊥b ⇔a ⋅b =0.
2
1、 设=(x 1, y 1), =(x 2, y 2)，则：⑴⋅=x 1x 2+y 1y 2
=
x 12+y 12⑶⊥⇔x 1x 2+y 1y 2=0
2、 设A
(x 1, y 1), B (x 2, y 2)=x 2-x 12+y 2-y 12.
1、cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β 2、cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β 3、sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β 4、sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β
tan α+tan β
()tan α+β=5、1-tan tan tan α-tan β
()tan α-β=. 6、1+tan tan .
7、记住15°的三角函数值：
1、sin 2α=2sin αcos α， 变形：sin αcos α=. 2sin 2α2、cos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α， 变形1：cos 2α=1+cos 2， 变形2：sin 2α=1-cos 2.
2
2
2
2
22
3、tan 2α
=.
1-tan 2α
a b c
===2R . A sin B sin C
a 2=b 2+c 2-2bc cos A , b 2=a 2+c 2-2ac cos B , c 2=a 2+b 2-2ab cos C .
S ∆ABC =
111
ab sin C =bc sin A =ac sin B 222
b 2+c 2-a 2
cos A =,
2bc a 2+c 2-b 2
cos B =,
2ac a 2+b 2-c 2
cos C =.
2ab
, 当n =1时，⎧S 1
n =⎨
S -S , 当n >1时. n -1⎩n
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵通项公式：a n =a 1+(n -1) d ⑶求和公式：S n =na 1+
(a +a n )n n (n -1)d =1
22
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。 ⑵通项公式：a n =a 1q n -1
a 1-a n q a 11-q n
⑶求和公式：S n = =
1-q 1-q
()
1、
当a , b >0时，a +b ≥2ab
(当且仅当a =b 时取等号)
2、
当a , b ∈R 时，a 2+b 2≥2ab
(当且仅当a =b 时取等号)
2
a 2+b 2⎛a +b ⎫
3、变形：ab ≤ ⎪, ab ≤
2⎝2⎭
转化大于等于或小于等于统一为等于计算交点坐标
逻辑关系知识点
.
. 假命题：判断为假的语句. p q p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.
其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.
p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.
这两个命题称为互否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若⌝p ，则⌝q ”.
这两个命题称为互为逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若⌝q ，则⌝p ”.
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
p ⇒q p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p ⇔q ，则p 是q ．
p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p ∧q ．
当p 、q 都是真命题时，p ∧q 是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q 是假命题．
用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p ∨q ． 当p 、当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p ∨q 是真命题；q 两个命题都是假命题时，p ∨q 是假命题．
对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作⌝p ．
若p 是真命题，则⌝p 必是假命题；若p 是假命题，则⌝p 必是真命题． 全称命题“对M中任意一个x ，有p (x )成立”，记作“∀x ∈M，p (x )”． 短语“存在一个”、含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在M中的一个x ，使p (x )成立”，记作“∃x ∈M，p (x )”．
p p (x )⌝p ⌝p (x )
椭圆
F 1，F 2的距离之和等于常数（大于F 的点的轨迹称为椭圆．这1F 2）
两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
M是椭圆上任一点，点M到F 1对应准线的距离为d 1，点M到F 2对应准线的距离为d 2，则
MF 1MF 2
==e ． d 1d 2
F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数（小于F 1F 2）的点的轨迹
称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
M是双曲线上任一点，点M到F 1对应准线的距离为d 1，点M到F 2对应准线的距离为d 2，则
MF 1MF 2
==e ． d 1d 2
F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为
抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．
A、B两点的线段AB，称为抛物线的“通径”，
即AB=2p ．
p
； 2p
若点P(x 0, y 0)在抛物线y 2=-2px (p >0)上，焦点为F ，则PF =-x 0+；
2p
若点P(x 0, y 0)在抛物线x 2=2py (p >0)上，焦点为F ，则PF =y 0+；
2p
若点P(x 0, y 0)在抛物线x 2=-2py (p >0)上，焦点为F ，则PF =-y 0+．
2若点P(x 0, y 0)在抛物线y 2=2px (p >0)上，焦点为F ，则PF =x 0+
(1)在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．可用一条有向线段来表示．有向线
段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． （2）模（或长度）为0的向量称为零向量； 模为1的向量称为单位向量．
（3）方向相同且模相等的向量称为相等向量． (1)两个向量和的运算，遵循平行四边形法则． (2)两个向量差的运算，遵循三角形法则．
a ，b b ≠0，a //b 的充要条件是存
()
在实数λ，使a =λb ．
a 和b ，在空间任取一点O，作OA=a ，OB=b ，则∠AOB称为
向量a ，b 的夹角，记作〈a , b 〉．两个向量夹角的取值范围是：〈a , b 〉∈[0, π]． π
a 和b ，若〈a , b 〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b ．
2
a 和b ，则a b cos 〈a , b 〉称为a ，b 的数量积，记作a ⋅b ．即
a ⋅b =a cos 〈a , b 〉．零向量与任何向量的数量积为0．
的长度a 与b 在a 的方向上的投影b cos 〈a , b 〉的乘积．
e 为单位向量，则有
(1)e ⋅a =a ⋅e =a cos 〈a , e 〉；
(2)a ⊥b ⇔a ⋅b =0；
a ⋅b
(4)cos 〈a , b 〉=；
a b (5)a ⋅b ≤a
b
．
a =(x 1, y 1, z 1)，b =(x 2, y 2, z 2)，则
(1)a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2, z 1+z 2)．
(2)a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2, z 1-z 2)．
(3)λa =(λx 1, λy 1, λz 1)．
4()a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2．
(5)若a 、b 为非零向量，则a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0．
(6)若b ≠0，则a //b ⇔a =λb ⇔x 1=λx 2, y 1=λy 2, z 1=λz 2．
(7)
a ==
a ⋅b
(8)
cos 〈a , b 〉==
a b (9)A(x 1, y 1, z 1)，B=(x 2, y 2, z 2)，则
d AB
=AB=
l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹
l ⋅n
角为ϕ，则有sin θ=cos ϕ=．
l n
n 1，n 2是二面角α-l -β的两个面α，β的法向量，则向量n 1，n 2的夹角（或其
n 1⋅n 2
补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角α-l -β的平面角为θ，则cos θ=．
n 1n 2
l 上找一点P，过定点A且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A到直线l 的距
PA⋅n
离为d =PAcos 〈PA, n 〉=．
n
P是平面α外一点，A是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P
PA⋅n
到平面α的距离为d =PAcos 〈PA, n 〉=．
n
《导数及其应用》知识点总结
1. 函数的平均变化率：函数f (x ) 在区间[x 1, x 2]上的平均变化率为：
f (x 2) -f (x 1)
。
21
2. 导数的定义：设函数y =f (x ) 在区间(a , b ) 上有定义，x 0∈(a , b ) ，若∆x 无限趋近于0时，比值
∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0)
无限趋近于一个常数A ，则称函数f (x ) 在x =x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x ) 在x =x 0=
处的导数，记作f '(x 0) 。函数f (x ) 在x =x 0处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) ；（2）求平均变化率：（3）取极限，当∆x 无限趋近与0时，4. 导数的几何意义：
函数f (x ) 在x =x 0处的导数就是曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：
（1）求出y =f (x ) 在x 0处的导数，即为曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y -y 0=f '(x 0)(x -x 0) 。
当点P (x 0, y 0) 不在y =f (x ) 上时，求经过点P 的y =f (x ) 的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0)) 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x =x 0。
5. 导数的物理意义：
质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数S (t ) ，则V =S '(t ) 表示瞬时速度，a =v '(t ) 表示瞬时加速度。
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
；
∆x
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
无限趋近与一个常数A ，则f '(x 0) =A .
∆x
（1）(kx +b ) '=k (k , b 为常数) ； （3）(x ) '=1；
（2）C '=0(C 为常数) ； （4）(x 2) '=2x ； （6）() '=-2；
x x
（8）(x α) '=αx α-1（α为常数）；
（10）(loga x ) '=log a e =(a >0, a ≠1) ；
（5）(x 3) '=3x 2；
（7
）'；
（9）(a x ) '=a x ln a (a >0, a ≠1) ； （11）(e x ) '=e x ；
（12）(lnx ) '=；
x
（14）(cosx ) '=-sin x 。
（13）(sinx ) '=cos x ；
2. 函数的和、差、积、商的导数：
（1）[f (x ) ±g (x )]'=f '(x ) ±g '(x ) ；（2）[Cf (x )]'=Cf '(x ) （C 为常数）；
（3）[f (x ) g (x )]'=f '(x ) g (x ) +f (x ) g '(x ) ；
3. 简单复合函数的导数：
'=y u '⋅u x '，即y x '=y u '⋅a 。 若y =f (u ), u =ax +b ，则y x
f (x ) f '(x ) g (x ) -f (x ) g '(x )
]'=(g (x ) ≠0) 。 g 2(x )
（4）[
1. 求函数的单调性：
利用导数求函数单调性的基本方法：设函数y =f (x ) 在区间(a , b ) 内可导， （1）如果恒f '(x ) >0，则函数y =f (x ) 在区间(a , b ) 上为增函数； （2）如果恒f '(x )
利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数y =f (x ) 的定义域；②求导数f '(x ) ；
③解不等式f '(x ) >0，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式f '(x )
反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）： 设函数y =f (x ) 在区间(a , b ) 内可导，
(1)如果函数y =f (x ) 在区间(a , b ) 上为增函数, 则f '(x ) ≥0(其中使f '(x ) =0的x 值不构成区间) ； (2) 如果函数y =f (x ) 在区间(a , b ) 上为减函数, 则f '(x ) ≤0(其中使f '(x ) =0的x 值不构成区间) ； (3) 如果函数y =f (x ) 在区间(a , b ) 上为常数函数, 则f '(x ) =0恒成立。 2. 求函数的极值：
设函数y =f (x ) 在x 0及其附近有定义，如果对x 0附近的所有的点都有f (x ) >f (x 0) （或f (x )
可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：
（1）确定函数f (x ) 的定义域；（2）求导数f '(x ) ；（3）求方程f '(x ) =0的全部实根，x 1
（4 3. 求函数的最大值与最小值：
如果函数f (x ) 在定义域I 内存在x 0，使得对任意的x ∈I ，总有f (x ) ≤f (x 0) ，则称f (x 0) 为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。
求函数f (x ) 在区间[a , b ]上的最大值和最小值的步骤：
（1）求f (x ) 在区间(a , b ) 上的极值；
（2）将第一步中求得的极值与f (a ), f (b ) 比较，得到f (x ) 在区间[a , b ]上的最大值与最小值。
4. 解决不等式的有关问题：
（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。 f (x )(x ∈A ) 的值域是[a , b ]时，
不等式f (x )
不等式f (x ) >0恒成立的充要条件是f (x ) min >0，即a >0。 f (x )(x ∈A ) 的值域是(a , b ) 时，
不等式f (x )
不等式f (x ) >0恒成立的充要条件是a ≥0。
（2）证明不等式f (x )
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