2014年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2014•江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A ∩B=．
2．（5分）（2014•江苏）已知复数z=（
5+2i）（i 为虚数单位），则z 的实部为 21 ．
3．（5分）（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n 的值是．
2
4．（5分）（2014•江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是
．
5．（5分）（2014•江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为
的交点，则φ的值是
．
6．（5分）（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 24 株树木的底部周长小于100cm ．
7．（5分）（2014•江苏）在各项均为正数的等比数列{an }中，若a 2=1，a 8=a6+2a4，则a 6的值是 4 ．
8．（5分）（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且
=，则
的值是
．
9．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2y﹣3=0被圆（x ﹣2）+（y+1）
2
2
=4截得的弦长为 ．
10．（5分）（2014•江苏）已知函数f （x ）=x+mx﹣1，若对于任意x ∈[m，m+1]，都有f （x ）＜0成立，则实数m 的取值范围是 （﹣2
，0） ．
11．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y=ax+（a ，b 为常数）过点P （2，﹣5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是
2
12．（5分）（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB=8，AD=5，=3则
•
的值是 22 ．
，•
=2，
13．（5分）（2014•江苏）已知f （x ）是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3）时，f （x ）=|x﹣2x+|，若函数y=f（x ）﹣a 在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 （0，） ．
2
14．（5分）（2014•江苏）若△ABC 的内角满足sinA+
．
sinB=2sinC，则cosC 的最小值是
二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15．（14分）（2014•江苏）已知α∈（（1）求sin （（2）求cos （，π），sin α=．
+α）的值； ﹣2α）的值．
16．（14分）（2014•江苏）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，已知PA ⊥AC ，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．
17．（14分）（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆
+
=1
（a ＞b ＞0）的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C ． （1）若点C 的坐标为（，），且BF 2=（2）若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．
，求椭圆的方程；
18．（16分）（2014•江苏）如图，为保护河上古桥
OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处（OC 为河岸），tan ∠BCO=． （1）求新桥BC 的长；
（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
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19．（16分）（2014•江苏）已知函数f （x ）=e+e，其中e 是自然对数的底数． （1）证明：f （x ）是R 上的偶函数；
（2）若关于x 的不等式mf （x ）≤e +m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围；
3a ﹣
（3）已知正数a 满足：存在x 0∈[1，+∞），使得f （x 0）＜a （﹣x 0+3x0）成立，试比较e 1e ﹣1
与a 的大小，并证明你的结论．
x ﹣x
﹣x
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20．（16分）（2014•江苏）设数列{an }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n =am ，则称{an }是“H 数列”．
n *
（1）若数列{an }的前n 项和为S n =2（n ∈N ），证明：{an }是“H 数列”；
（2）设{an }是等差数列，其首项a 1=1，公差d ＜0，若{an }是“H 数列”，求d 的值；
*
（3）证明：对任意的等差数列{an }，总存在两个“H 数列”{bn }和{cn }，使得a n =bn +cn （n ∈N ）成立．
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三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】 21．（10分）（2014•江苏）如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，证明：∠OCB=∠D ．
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【选修4-2：矩阵与变换】
22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A=数，若A
=B
，求x+y的值．
，B=，向量=，x ，y 为实
【选修4-3：极坐标及参数方程】
23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为
2
（t 为
参数），直线l 与抛物线y =4x相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
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【选修4-4：不等式选讲】
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24．（2014•江苏）已知x ＞0，y ＞0，证明（1+x+y）
（1+x+y）≥9xy ． (二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分） 25．（10分）（2014•江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些
球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E （X ）． 17
26．（10分）（2014•江苏）已知函数f 0（x ）=n ∈N ． （1）求2f 1（
）+
f 2（
*
*
（x ＞0），设f n （x ）为f n ﹣1（x ）的导数，
）的值；
）+
f n （
）|=
都成立．
（2）证明：对任意n ∈N ，等式|nfn ﹣1（ 18
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