§3.3.1二元一次不等式（组）与
平面区域（1）
1．了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界，会用二元一次不等式组表示平面区域；
2．经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力.
一、课前准备
复习1：一元二次不等式的定义_______________二元一次不等式定义________________________二元一次不等式组的定义_____________________
复习2：解下列不等式：
2⎧⎪3x +x -2≥0（1）-2x +1>0； （2）⎨2 . ⎪⎩4x -15x +9>0
二、新课导学
※ 学习探究
⎧x +3>0探究1：一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，例如，⎨的解集x -4
为 . 那么，在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形呢？
探究2：你能研究：二元一次不等式x -y
先研究具体的二元一次不等式x -y
如图：在平面直角坐标系内，x -y =6表示一条直线.
平面内所有的点被直线分成三类：
第一类：在直线x -y =6上的点；
第二类：在直线x -y =6左上方的区域内的点；
第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点.
设点P (x , y 1) 是直线x-y=6上的点，选取点A (x , y 2) ，使它的坐标满足不等式
x -y
并思考：
当点A 与点P 有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？_______________
根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x -y
在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x -y
因此，在平面直角坐标系中，不
方的平面区域；如图:
类似的：二元一次不等式x-y>6表示
直线叫做这两个区域的边界 等式x -y
结论：
1. 二元一次不等式Ax +By
+c
>0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +c =0某一侧所有点组成的平面区域. （虚线表示区域不包括边界直线）
2. 不等式中仅>或
※ 典型例题
例1画出不等式x +4y
分析：先画 ___________（用 线表示），再取 _______判断区域，即可画出．
归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法. 特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点.
变式：画出不等式-x +2y -4≤0表示的平面区域.
⎧y
归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
变式1：画出不等式(x +2y +1)(x -y +4)
变式2：由直线x +y +2=0，x +2y +1=0和2x +y +1=0围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 .
※ 动手试试
练1. 不等式x -2y +6>0表示的区域在直线x -2y +6=0的 __
⎧x -3y +6≥0练2. 画出不等式组⎨表示的平面区域. x -y +2
三、总结提升
※ 学习小结
由于对在直线A x +B y +C =0同一侧的所有点(x , y ) ，把它的坐标（x , y ) 代入A x +B y +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x 0, y 0) ，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C >0表示直线哪一侧的平面区域. （特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）
※ 知识拓展
含绝对值不等式表示的平面区域的作法：
（1）去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式．
（2）一般采用分象限讨论去绝对值符号．
（3）采用对称性可避免绝对值的讨论．
（4）在方程f (x y ) =0或不等式f (x y ) >0中，若将x y 换成(-x ) (-y ) ，方程或不等式不变，则这个方程或不等式所表示的图形就关于y (x ) 轴对称．
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 不等式x -2y +6>0表示的区域在直线x -2y +6=0的（ ）.
A ．右上方 B ．右下方 C ．左上方 D ．左下方
2. 不等式3x +2y -6≤0表示的区域是（
）.
⎧x -3y +6≥03. 不等式组⎨表示的平面区域是（
）. ⎩x -y +2
4. 已知点(-3, -1) 和(4,-6) 在直线-3x +2y +a =0的两侧，则的取值范围是.
⎧x ≥15. 画出⎨表示的平面区域为： y
⎧x
⎪3x +2y ≥6⎩
⎧x -y +6≥0⎪2. 求不等式组⎨x +y ≥0表示平面区域的面积.
⎪x ≤3⎩
§3.3.1二元一次不等式（组）与
平面区域（2）
1． 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；
2．能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.
一、课前准备
复习1：画出不等式2x +y-6＜0表示的平面区域.
⎧2x +3y ≤12⎪复习2：画出不等式组⎨2x +3y >-6所示平面区域.
⎪x ≥0⎩
二、新课导学
※ 典型例题
例1 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小
今需要三种规格的成品分别为12块、15块、27块，用数学关系式和图形表示上述要求.
例2 一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t ，硝酸盐18t ；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t ，硝酸盐15t. 现库存磷酸盐10t ，硝酸盐66t ，在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.
※ 动手试试
⎧(x -y +5) (x +y ) ≥0练1. 不等式组⎨所表示的平面区域是什么图形？ 0≤x ≤3⎩
练2. 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.
三、总结提升
※ 学习小结
根据实际问题的条件列出约束不等式组与目标函数. 反复的读题，读懂已知条件和问题，边读边摘要，读懂之后可以列出一个表格表达题意. 然后根据题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，完成实际问题向数学模型的转化.
※ 知识拓展
求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫. 常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是先确定区域内点的横坐标的范围，确定x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出y 的一元一次不等式组，再确定y 的所有整数值，即先固定x ，再用x 制约y .
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 不在3x +2y
A ．（0，0） B ．（1，1）
C ．（0，2） Ｄ．（2，0）
⎧x -y +5≥02. 不等式组⎨表示的平面区域是一个（ ）. ⎩0≤x ≤3
A ．三角形 Ｂ．直角梯形 Ｃ．梯形 Ｄ．矩形
⎧y
⎪y ≥3⎩
A ．P 1∉D , P 2∉D B ．P 1∉D , P 2∈D C ．P 1∈D , P 2∉D D ．P 1∈D , P 2∈D
4. 由直线x +y +2=0, x +2y +1=0和2x +y +1=0的平围成的三角形区域（不包括边界）用不等式可表示为 .
⎧4x +3y +8>0⎪5. 不等式组⎨x
⎪y
1. 一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A 和B . 每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序. 桌子A 需要10min 打磨，6min 着色，6min 上漆；桌子B 需要5min 打磨，12min 着色，9min 上漆. 如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min ，着色每天至多480min ，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域.
2. 某服装制造商现有10m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料，6 m 2的丝绸料. 做一条裤子需要棉布料1 m2， 2 m2的羊毛料，1 m2的丝绸料，一条裙子需要棉布料1 m2， 1m 2的羊毛料，1 m 2的丝绸料. 一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元. 为了使收益达到最大，需要同时生产这两种服装，请你列出生产这两种服装件数所需要满足的关系式，并画出图形.
§3.3.2 简单的线性规划问题(1)
① 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；
.
一、课前准备
阅读课本Ｐ８７至Ｐ８８的探究
找出目标函数，线性目标函数，线性规划，可行解，可行域的定义．
二、新课导学
※ 学习探究
在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：
某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，由已知条件可得二元一次不等式组：
（2）画出不等式组所表示的平面区域：
注意：在平面区域内的必须是整数点．
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
（4）尝试解答：
（5）获得结果：
新知：线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解(x , y ) 叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
※ 典型例题
例1 在探究中若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生产才能获得最大利润？
※ 动手试试
⎧y ≤x ⎪
练1. 求z =2x +y 的最大值，其中x 、y 满足约束条件⎨x +y ≤1
⎪y ≥-1⎩
三、总结提升 ※ 学习小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解
※ 知识拓展
寻找整点最优解的方法：
1. 平移找解法：先打网格，描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.
2. 调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛先出整点最优解.
3. 由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可
.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 目标函数z =3x -2y ，将其看成直线方程时，z 的意义是（ ）.
A ．该直线的横截距 B ．该直线的纵截距
C ．该直线的纵截距的一半的相反数 D ．该直线的纵截距的两倍的相反数
⎧x -y +5≥0⎪
2. 已知x 、y 满足约束条件⎨x +y ≥0，则
⎪x ≤3⎩
z =2x +4y 的最小值为（ ）.
A ． 6 B ．-6 C ．10 D ．-10
3. 在如图所示的可行域内，目标函数z =x +ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是（ ）.
1）
A. -3 B.3 C. -1 D.1
4. 有5辆6吨汽车和4辆5吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为 .
5. 已知点（3，1）和（-4，6）在直线3x -2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是 .
1. 在∆ABC 中，A （3，-1），B （-1，1），C （1，3），写出∆ABC 区域所表示的二元一次不等式组.
⎧5x +3y ≤15⎪
2. 求z =3x +5y 的最大值和最小值，其中x 、y 满足约束条件⎨y ≤x +1.
⎪x -5y ≤3⎩
§3.3.2简单的线性规划问题(2)
1. 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；
2. 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.
一、课前准备
⎧x -4y ≤-3⎪
复习1：已知变量x , y 满足约束条件⎨3x +5y ≤25 ，设z =2x +y ，取点（3，2）可求得z =8，
⎪x ≥1⎩
取点（5，2）可求得z max =12，取点（1，1）可求得z min =3
取点（0，0）可求得z =0，取点（3，2）叫做_________
点（0，0）叫做_____________，点（5，2）和点（1，1）__________________
复习2：阅读课本Ｐ８8至Ｐ91
二、新课导学 ※ 学习探究
线性规划在实际中的应用：
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：
※ 典型例题
例1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ？
例2 要将两种大小不同的钢板截成A 、
B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需要三种规格的成品分别为12块、15块、27块，各截这两种钢板多少张可得所需A 、B 、C 、三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
变式：第一种钢板为1m 2，第二种为2m 2，各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格的成品且所用钢板面积最小？
例3 一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t ，硝酸盐18t ；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t ，硝酸盐15t. 现库存磷酸盐10t ，硝酸盐66t ，在此基础上生产这两种混合肥料. 若生1车皮甲种肥料能产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元. 那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
※ 动手试试
练1. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元. 甲、乙产品都需要在A 、B 两种设备上加工，在每台A 、B 设备上加工1件甲设备所需工时分别为1h 、2h ，加工1件乙和设备所需工时分别为2h 、1h ，A 、B 两种设备每月有效使用台时数分别为400h 和500h. 如何安排生产可使收入最大？
练2. 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按40个工时计算) 生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生20台. 已知生产这些家电产品每台
问每周应生产空调器、彩电、冰箱共多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）
三、总结提升 ※ 学习小结
简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解.
※ 知识拓展
含绝对值不等式所表示的平面区域的作法：
（1）去绝对值，转化为不等式组；
（2）采用分零点讨论或分象限讨论去绝对值；
.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人的约束条件是（ ）. A ．50x +40y =2000 B ．50x +40y ≤2000 C ．50x +40y ≥2000 D ．40x +50y ≤2000
⎧0≤x ≤4⎪0≤y ≤3⎪
2. 已知x , y 满足约束条件⎨，则z =2x +5y 的最大值为（ ）.
x +2y ≤8⎪⎪⎩x ≥0, y ≥0
A ．19 B ． 18 C ．17 D ．16 ⎧2x +3y ≥24⎪2x +y ≥12⎪
3. 变量x , y 满足约束条件⎨则使得z =3x +2y 的值的最小的(x , y ) 是（ ）.
2x +9y ≥36⎪⎪⎩x ≥0, y ≥0A ．（4，5） B ．（3，6） C ．（9，2）D ．（6，4）
⎧x -2y +4≥0⎪
4. (2007陕西) 已知实数x , y 满足约束条件⎨2x +y -2≥0则目标函数z =x +2y 的最大值为
⎪3x -y -3≤0⎩______________
⎧x -y +3≥0⎪
5. (2007湖北) 设变量x , y 满足约束条件⎨x +y ≥0则目标函数2x +y 的最小
值为
⎪-2≤x ≤3⎩
______________ 电视台应某企业之约播放两套连续剧. 其中，连续剧甲每次播放时间为80min ，其中广告时间为1min ，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40min ，其中广告时间为1min ，收视观众为20万. 已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6min 广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于320min 的节目时间. 如果你是电视台的制片人，电视台每周播映两套连续剧各多少次，才能获得最高的收视率?
§3.3.2简单的线性规划问题(3)
※ 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；
※ 体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.
一、课前准备
a
复习1：已知12
b
复习2：已知-4≤a -b ≤-1, -1≤4a -b ≤5，求9a -b 的取值范围.
二、新课导学 ※ 学习探究
课本第91页的“阅读与思考”——错在哪里？
⎧1≤x +y ≤3
若实数x ，y 满足⎨，求4x +2y 的取值范围．
-1≤x -y ≤1⎩错解：由①、②同向相加可求得：
0≤2x ≤4即 0≤4x ≤8 ③ 由②得 -1≤y -x ≤1
将上式与①同向相加得0≤2y ≤4 ④ ③十④得 0≤4x +2y ≤12
以上解法正确吗? 为什么? 上述解法中，确定的0≤4x ≤8及0≤2y ≤4是对的，但用x 的最大(小) 值及y 的最大(小) 值来确定4x 十2y 的最大(小) 值却是不合理的．x 取得最大（小）值时，y 并不能同时取得最大（小）值. 由于忽略了x 和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确．
此例有没有更好的解法? 怎样求解?
※ 典型例题
⎧1≤x +y ≤3
例1 若实数x ，y 满足⎨ ，求4x +2y 的取值范围．
-1≤x -y ≤1⎩
变式：设f (x ) =ax 2+bx 且-1≤f (-1) ≤2，2≤f (1)≤4，求f (-2) 的取值范围
※ 动手试试
⎧x -4y ≤-3⎪
练1. 设z =2x +y ，式中变量x 、y 满足 ⎨3x +5y ≤25，求z 的最大值与最小值.
⎪x ≥1⎩
⎧x +y ≤2⎪
练2. 求z =x -y 的最大值、最小值，使x 、y 满足条件⎨x ≥0.
⎪y ≥0⎩
三、总结提升 ※ 学习小结
1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.
2．线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个． ※ 知识拓展
求解线性规划规划问题的基本程序：作可行域，画平行线，解方程组，求最值.
1C A 1C
目标函数的一般形式为z =Ax +By +C ，变形为y =-x +z -，所以z -可以
B B B B B
A 1C
看作直线y =-x +z -在y 轴上的截距.
B B B 1C 1C
当B >0时，z -最大，z 取得最大值，z -最小，z 取得最小值；
B B B B 1C 1C
当B
-最大，z 取得最小值，z -最小，z 取得最大值.
B B B
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若x ≥0，y ≥0且x +y ≤1，则z =x -y 的最大值为（ ）.
A ．-1 B ．1 C ．2 D ．-2
2. 在∆ABC 中，三顶点分别为A （2，4），B （-1，2），C （1，0），点P (x , y ) 在∆ABC 内部及其边界上运动，则的取值范围为（ ）. A ．[1，3] B ．[-1，3] C ．[-3，1] D ．[-3，-1]
⎧x -y +5≥0⎪
3. (2007北京) 若不等式组⎨y ≥a 表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是
⎪0≤x ≤2⎩（ ）.
A ．a
C ．5≤a
⎧x ≥0⎪
4. (2004全国) 设x 、y 满足约束条件⎨x ≥y ，则z =3x +2y 的最大值是 .
⎪2x -y ≤1⎩
⎧2≤x ≤4⎪
5. （2004上海） 设x 、y 满足约束条件⎨y ≥3，则k =3x -2y 的最大值是 .
⎪x +y ≤8⎩
1. 画出(x +2y -1)(x -y +3) >0表示的平面区域.
2. 甲、乙两个粮库要向A 、B 两镇运送大米，已知甲库可调出100t 大米，乙库可调出80t 大米，A 镇需70t
:
2. 这两个粮库各运往A 、B 两镇多少t 大米，才能使总运费最省? 此时总运费是多少? 3. 最不合理的调运方案是什么? 它使国家造成的损失是多少?