我的水水水水

一、不等关系及一元二次不等式的解法

1. 比较两个实数a，b大小的方法—差值法、商值法。 2. 不等式的性质：

（1）若a>b，b>c，则a>c； （2）若a>b，则a+c>b+c； （3）若a>b，c>0则ac>bc；

（5）a>b>0，c>d>0acbd0；

（6）a>b>0，nN,n1anbn,ab。

1．若ab0，ab，则

1111

；若ab0，ab，则。如 abab

（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：

①若ab,则ac2bc2； ②若ac2bc2,则ab；

11

③若ab0,则a2abb2； ④若ab0,则；

ab

ba

⑤若ab0,则； ⑥若ab0,ab；

ab

ab11

 ⑦若cab0,则； ⑧若ab,，则a0,b0。 cacbab

其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知1xy1，1xy3，则3xy的取值范围是______

（答：13xy7）；

例5：若二次函数yfx的图象经过原点，且1f12，3f14，求f2的范围．

1

af1f1f1ab2

(利用方程的思想)因为所以又f24a2b3f1f1，而

f1ab1bf1f1

2

1f12，3f14， ①

所以 33f16． ②

①+②得63f1f110即6f210。 ［收获］

2a3

42a6

11)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：将不等式组（1）变形得3，

12b3b22

而f24a2b，84a12,32b1,所以5f211

22

.不等式的解法。(axbxc0或axbxc0)（a0)

高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如 （1）解不等式(x1)(x2)20。

（答：{x|x1或x2}）； （2）不等式(x0的解集是____

（答：{x|x3或x1}）；

)0的解集为{x|1x2}，g(x)0的解集为，（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x

则不等式f(x)g(x)0的解集为______

（答：(,1)[2,)）；

（4）要使满足关于x的不等式2x29xa0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x24x30和x26x80中的一个，则实数a的取值范围是______.

81

（答：[7,)）

8

分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如

5x

1 （1）解不等式2

x2x3

（答：(1,1)(2,3)）； axb

0的解集为（2）关于x的不等式axb0的解集为(1,)，则关于x的不等式

x2

____________

（答：(,1)(2,)）.

5x1

3的解集是————————————————。 3. 不等式

x1

绝对值不等式的解法：

31

1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|2x|2|x|

42

（答：xR）；

（2）利用绝对值的定义；

（3）数形结合；如解不等式|x||x1|3

（答：(,1)(2,)）

（4）两边平方：如

若不等式|3x2||2xa|对xR恒成立，则实数a的取值范围为______。

4

（答：{）

3

含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是„”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如

2

（1）若loga1，则a的取值范围是__________

3

2

（答：a1或0a）；

3ax2

x(aR) （2）解不等式

ax1

11

（答：a0时，{x|x0}；a0时，{x|x或x0}；a0时，{x|x0}或x0}）

aa

1. 不等式a0,x22ax3a20的解集是————————。

112

2. 若不等式axbx20的解集是(,)，则a+b=_________。

23

ax11

0的解集是(,1)(,)，则a=_______。 1. 已知关于x的不等式

x12

3. 解关于x的不等式：x2(aa2)xa30

kx26xk80。

三、基本不等式及其简单的应用 1. 两个基本不等式

（1）ab2ab,(a,bR)，（当且仅当a=b时等号成立）。 （2）

2

2

ab

ab,(a,bR)，（当且仅当a=b时等号成立）。 2

由上述的两个基本不等式得：

a2b2ab2 a2b22ab,(a,bR)22(ab)2ab22

ab2

ab2ab(a,bR)ab()

2ab

ab

112ab

2. 基本不等式的应用：



2

a2b2

（a,bR） 2

xy2p2

)（1）若x+y=p（p为定值，x，yR)xy(，（当x=y时取等号，和定积大） 24

（2）若xy=S（S为定值，x，yR)xy2xy2S,（当xy时取等号，积定和小） 3. 利用基本不等式

ab

2ab,(a,bR)求最值时需注意三点：（一正、二定、三相等） 2

4. 基本不等式在实际问题中的应用：审题建模利用基本不等式求解还原到实际问题中。

（1）下列命题中正确的是

1

A、yx的最小值是2

x2 B

、y2

4

C、y23x(x

0)的最大值是2x4

D、y23x(x

0)的最小值是2x

（答：C）；

（2）若x2y1，则2x4y的最小值是______

（答：；

（3）正数x,y满足x2y1，则

11

的最小值为______

xy

（答：3）；

例4. 基础题

25

的最小值是___________。 xy

2. 已知a0,b0且4ab1,则ab的最大值是____________________。

1. 已知x,y满足：lgxlgy1,则z解题过程：

2. 由基本不等式得：4ab24ab(a0,b0)14abab故ab的最大值是

1

16

1111，（等号成立的条件是：4aba,b) 16282

例5. 中等题

1. 已知x0,y0,x2y2xy8,则x2y的最小值是____________。 3. 若对任意x>0，

x

a恒成立，则a的取值范围是________。

x23x1

思路分析：

1. 由基本不等式构造(x2y)为未知量的不等式。 解题过程：

1. 由已知：8(x2y)2yx(

x2y2

),(x0,y0) 2

(x2y)24(x2y)320（*）

（等号成立:x=2y）

解不等式（*）得：x2y8,(舍去），x2y4，故x+2y的最小值是4。

8.(2010·惠州模拟)某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0

t天平均售出(如前10天的平均售出为

f(10)

)的月饼最少为 10

A．18 B．27 C．20 D．16

2

f(t)t＋10t＋1616

解析：平均销售量y＝t＋＋10≥18.

ttt

16

当且仅当t＝t＝4∈等号成立，即平均销售量的最小值为18.

t答案：A

13．已知关于x的不等式2x＋

2

7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________． x－a

222(x－a)＋2a≥2 x－ax－a

2

2(x－a2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所以

x－a

解析：因为x>a，所以2x＋33a≥，即a的最小值为.

223答案：2

(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；4.常用不等式

有：（1

（2）2bbm

a2b2c2abbccaa、b、cR，（当且仅当abc时，取等号）；（3）若a则bm0,0，

aam

（糖水的浓度问题）。如

如果正数a、b满足abab3，则ab的取值范围是_________

（答：9,）

二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；

8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如

1t1

（1）设a0且a1,t0，比较logat和loga的大小

22

1t11t1

（答：当a1时，logatloga（t1时取等号）；当0a1时，logatloga（t1时

2222

取等号））；

1a24a2

a2（2）设，pa，q2，试比较p,q的大小

a2

（答：pq）；

（3）比较1+logx3与2logx2(x0且x1)的大小

444

（答：当0x1或x时，1+logx3＞2logx2；当1x时，1+logx3＜2logx2；当x时，

333

1+logx3＝2logx2）

证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、

配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).

1111111

常用的放缩技巧有：2

nn1n(n1)nn(n1)n

1n如（1）已知abc，求证：a2bb2cc2aab2bc2ca2 ； (2) 已知a,b,cR，求证：a2b2b2c2c2a2abc(abc)；

11xy

（3）已知a,b,x,yR，且,xy，求证：；

abxayb

abbcca

lglglgalgblgc； (4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：lg222

（5）已知a,b,cR，求证：a2b2b2c2c2a2abc(abc)； (6)若n

N*(n

1)n；

|a||b||a||b|

(7)已知|a||b|，求证：；

|ab||ab|

111

（8）求证：12222。

23n

1111

1． 2n1n22n111

分析：要求一个n项分式的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，

n1n22n

例10 设n是正整数，求证观察每一项的范围，再求整体的范围．

证明：由2nnkn(k1,2,,n)，得

111

． 2nnkn

111； 2nn1n111

当k2时，

2nn2n

当k1时，

„„

111． 2nnnn

1n111n∴1． 22nn1n22nn

当kn时，

说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明

1117

．由1222n24

111

，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也k2k1k在变化．

2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．

二、预习点拨

1. 二元一次不等式（组）表示的平面区域的确定。直线l:ax+by+c=0把直角平面分成三部分： （1）直线l上的点的坐标满足方程：ax+by+c=0. （2）直线l一侧的平面区域内的点满足ax+by+c>0

（3）直线l另一侧平面区域内的点满足：ax+by+c

故二元一次不等式ax+by+c≥0（或≤0）表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。 2. 简单的线性规划

a. 基本概念

（1）_______________叫线性目标函数。 （3）_______________叫二元线性规划。 （5）_______________称为可行解。 b. 线性目标函数最值的求解程序：

（1）_______________。（2）_______________。 （3）_______________。（4）_______________。

（2）_______________叫线性约束条件。 （4）_______________叫可行域。 （6）_______________叫最优解。

线性规划常见题型及解法

由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围

x2

例1、 若x、y满足约束条件y2，则z=x+2y的取值范围是 （ ）

xy2

A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5]

解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将

l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值 2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A

二、求可行域的面积

2xy60

例2、不等式组xy30表示的平面区域的面积为 （ ）

y2

A、4 B、1 C、5 D、无穷大

解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC

的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B

三、求可行域中整点个数

例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个

xy2xy2

解：|x|＋|y|≤2等价于

xy2xy2

(x0,y0)

(x0,y0)

(x0,y0)(x0,y0)

作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D

四、求线性目标函数中参数的取值范围

xy5

例4、已知x、y满足以下约束条件xy50，使z=x+ay(a>0)

x3

取得最小值的最优解有无数个，则a的值为 （ ） A、－3 B、3 C、－1 D、1

解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解

有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D

五、求非线性目标函数的最值

2xy2022

例5、已知x、y满足以下约束条件x2y40 ，则z=x+y的最大值和最小值分别是（ ）

3xy30

A、13，1 B、13，2

4C、13， D

、

55

22

解：如图，作出可行域,x+y是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即

2

|AO|=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为

4

，选C

5

六、求约束条件中参数的取值范围

例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是 （ ） A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3）

2xym30解：|2x－y＋m|＜3等价于

2xym30

由右图可知

m33

,故0＜m＜3，选C

m30

七·比值问题

当目标函数形如z

ya

时,可把z看作是动点P(x,y)与定点Q(b,a)连线的斜率，这样目标函数的最值就转化xb

为PQ连线斜率的最值。

x－y＋2≤0，y

例 已知变量x，y满足约束条件x≥1，则 的取值范围是（ ）.

xx＋y－7≤0，

99

（A）[，6] （B）（－∞，]∪[6，＋∞）

55（C）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D）[3，6] 解析M（x，y）与原点O

59y

（0，0）连线的斜率，当直线OM过点（，）时，取得

22x9y

最小值OM过点（1，6）时，6. 答案A

5x

yx