高中数学难题集06
1、二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的系数均为整数，若α, β∈(1,2)，且α, β是方程f (x )=0两个不等的实数根，则最小正整数a 的值为 ．
解1：显然f (x ) =(2x -3)(3x -4) 满足要求，此时a =6，故最小正整数a ≤6
分别对a =1,2,3,4,5,6枚举讨论，最终答案为5，此时构造f (x ) =5x 2-15x +11符合题意。 解2：由a 的几何含义知：a 越小，开口越阔，由根的分布f (1)>0, f (2)>0且f (1),f (2)均为整数，当f (1)=1, f (2)=1时开口最广阔，即a 最小，此时解得b =-3a , c =2a +1，
2
代入∆>0得a >4，故a min =5，再构造f (x ) =5x -15x +11满足题意。
注：在二次函数f (x )=ax 2+bx +c 中，a 越小，开口越大；a 越大，开口越小；
2、某几何体的三视图如下图，若各视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是
正视图 侧视图
俯视图
3
解：该几何体是正方体被截去四个墙角后留下的几何体，故V =2-4⨯⨯
1138
⨯2=. 323
2x
3、设f (x ) =(x ln x +ax +a -a -1) e , a ≥-2.
（1）讨论f (x ) 在区间(, +∞) 上的极值点个数；
（2）是否存在a ，使得f (x ) 在区间(, +∞) 上与x 轴相切? 若存在，求出所有a 的值. 若不存在，说明理由.
' 2x
解：（1）f (x ) =(lnx +x ln x +ax +a ) e ，令g (x ) =ln x +x ln x +ax +a ，
2
1
e
1e
故g (x ) =
'
1
+ln x +1+a , 易知g '(x ) ≥g ' (x ) min =g ' (1) =2+a ≥0 x
故g (x ) 在区间(, +∞) 上单调递增，当x →+∞时，g (x ) →+∞， 故g (x ) 在(, +∞) 上的零点个数由g () =(a -1)(a +1+) 的符号决定.
1e
1e 1e 1e
11
或a ≥1时g (x ) 在无零点，f (x ) 无极值点.
e e 11
当g () e e
1
（2）若a 存在，则f (x ) 必与x 轴相切于极值点处，由（1）可知-1-
e
当g () ≥0，即-2≤a ≤-1-
⎧f ' (x 0) =(lnx 0+x 0ln x 0+ax 0+a 2) e x 0=0
不妨设极值点为x 0，则⎨…(*) x 02
⎩f (x 0) =(x 0ln x 0+ax 0+a -a -1) e =0
1-(a +1)
整理得e +(a +1) -a 2=0. 设t =-(a +1), t ∈(-2, ) ，h (t ) =e t -t -(t +1) 2.
e
1' t '
则h (t ) =e -2t -3，易知h (t ) 在t ∈(-2, ) 上存在唯一零点t 0.
e
1
且分析知当t ∈(-2, t 0) 时，h (t ) 单调递增；当t ∈(t 0, ) 时，h (t ) 单调递减.
e
113
h (-2) =e +1>0，h () =e e -2--1
e e e
-2
'
1
故h (t ) 在t ∈(t 0, ) 上有唯一零点. 试根得h (0) =0，故a =-1. 所以存在a =-1使得f (x ) 在区间(, +∞) 上与x 轴相切
4、定义在R 上的函数f (x ) 满足f (4) =1，f ' (x ) 为f (x ) 的导函数，已知y =f ' (x ) 的图像如下图所示，若两个正数a 、b 满足f (2a +b )
1
e
1e
b +2
的取值范围是 a +2
解：由图知f (x ) 在(-∞, 0]上是减函数，在[0, +∞) 上是增函数，由f (2a +
b )
⎧2a +b
b +21⎪
得⎨a >0，根据线性规划知识范围为：(, 3)
a +22 ⎪b >0
⎩
5、已知f (x ) 是定义在[-1,1]上的奇函数, 且在[0,1]上是增函数,
那么y =
的值域为_______ .
解：先求定义域：f (x 2-3) +f (x +1) ≥0, f (x 2-3) ≥-f (x +1) =f (-x -1) ，
⎧x 2-3≥-x -1⎪2
故⎨-1≤x -3≤1⇒x =-2，此时y =0，值域为{0} ⎪-1≤x +1≤1⎩
6、已知各项均为正数的数列{a n }中，a 1=1, S n 是数列{a n }的前n 项和，对任意n ∈N ，
*
有2S n =2pa n +pa n -p (p ∈R )
（1）求常数p 的值，并求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =
2
13n +2
b +b + +b
9(a n a n +2) 2
n +1
211
-]，叠加即可得证。 （2）裂项得b n =4[
(n +1) 2(n +3) 2
解：（1）易知p =1，a n =
7、设l 1, l 2, l 3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线. 给出下列结论： ①∃A i ∈l i (i =1,2,3) ，使得∆A 1A 2A 3是直角三角形； ②∃A i ∈l i (i =1,2,3) ，使得∆A 1A 2A 3是等边三角形；
③三条直线上存在四点A i (i =1,2,3,4) ，使得四面体A 1A 2A 3A 4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.
其中，所有正确结论的序号是( )
A. ① B.①② C. ①③ D. ②③ 解：在底面边长为4,5,6的直三棱柱中构造图形，逐一验证知选择B
8、已知函数f (x ) =sin
π
x ，任取t ∈R ，定义集合： 2
A t ={y |y =f (x ) ，点P (t , f (t )) ，Q (x , f (x
)) 满足|PQ |≤.
设M t , m t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记h (t ) =M t -m t . 则： （1）函数h (t ) 的最大值是_____；
（2）函数h (t ) 的单调递增区间为________.
解：利用f (x ) 的图像分析，点Q 位于以P
P 在f (x ) 的图像上运动时，根据直观性知h (t ) 的最大值是2，单调递增区间为(2k -1,2k ), k ∈Z
9、已知函数f (x ) =ln x +ax 2+bx (其中a , b 为常数且a ≠0) 在x =1处取得极值，且f (x ) 在
(0,e ]上的最大值为1，求a 的值.
解：由已知1+2a +b =0，故f '(x ) =当
(2ax -1)(x -1)
x
1
当0
11
e -22a
1
1
≥ e时，最大值f (1)=ln1+a -(2a +1)
当1≤
当x 2=
综上，a =
1
或a =-2. e -2
ln x -x -1
，可转
2x -x 2
注：本题也可以等价转化为f (x ) ≤1恒成立，且可以取等号，记g (x ) =化为a ≥g (x ) 在(0,2) 恒成立，且a ≤g (x ) 在(2,e ]恒成立。
10、某市实行机动车摇号购车政策，规定每年购车指标为24万个，设2014年初全市汽车保有量为500万辆，假设每年淘汰的旧车为该年初汽车保有量的4%，每年新购车辆数等于该年购车指标.
（1）求2015年初和2016年初全市汽车保有量（万辆）；
（2）要想将全市每年的汽车保有量控制在550万辆以下，是否需要调整每年的购车指标，若不需调整，说明理由，若需调整，求出每年购车指标的最大值（万个）.
解：（1）2015年保有量为=504；2016年保有量为=507.84
（2）设每年购车指标x 万辆，则a n =0.96a n -1+x ⇒a n =25x +0.96n -1(500-25x ) 当 020时，n →+∞，a n →25x 且a n
11、设∆ABC 满足cos 2A =3cos(B +C ) +1，cos B cos C =-求a 的长度
1
，若∆
ABC 8
13⇒sin B sin C =
28
122
而S =bc sin A =2r sin A sin B sin C ==r =a =
2解：由已知A =60⇒cos(B +C ) =-
12、已知f (x ) =kx 2, g (x ) =ln x ，其中k 为非零常数，若f (x ), g (x ) 有两条公切线l 1, l 2， 设l 1, l 2与f (x ) 相切的切点的横坐标分别为a , b ， （1）求k 的取值范围；
a +b
) >0 22
解：（1）由设l 1在f (x ), g (x ) 上的切点分别为(a , ka ),(m ,ln m ) ，则：
1
y -ka 2=2ka (x -a ) 与y -ln m =(x -m ) 为同一条直线，整理得：ka 2-ln 2ka -1=0
m
12
公切线由两条，故方程ka -ln 2ka -1=0有两个根，可求出k >
2e
222
（2）等价于证明k >，由上知ka -ln 2ka -1=0, kb -ln 2kb -1=0， 2
(a +b )
ln a -ln b ln a -ln b 2
>相减得k =，故只需证，由对数平均小于算术平均知成立。 22
a -b a -b a +b
（2）记F (x ) =f (x ) -g (2kx ) -1，求证：F '(
13、已知数列{a n }是等差数列，a 1+a 2+a 3=15，数列{b n }是等比数列，b 1b 2b 3=27． 若a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3是正整数且成等比数列，求a 3的最大值． b 1=解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则a 1=5-d ，
2
3
a =5+d ，，q 3
⎧a 1+b 1=m
b 3=3q . 由已知(a 1+b 1) ⋅(a 3+b 3) =(a 2+b 2) =64．设⎨，则mn =64，
a +b =n ⎩33
3⎧
5-d +=m ⎪
q 则⎨，.
解得d =
⎪5+d +3q =n
⎩
要使得a 3最大，即d 最大，当n =64且m =1时，n -m 及(m +n -10) 2同时最大
从而最大的d =
14、设函数f (x ) =x x -a -ln x . 若f (x ) >0恒成立，求a 的取值范围． 解1：函数f (x ) 的定义域为x ∈(0,+∞) ． 由f (x ) >0，得x -a >当x ∈(0,1)时，x -a ≥0，当x =1时，-a ≥0，
，
故最大的a 3=ln x
． * x
ln x
ln x
=0，所以a ≠1； x
ln x ln x
恒成立或a >x +恒成立． x x
当x >1时，不等式*恒成立等价于a
令h (x ) =x -令g (x ) =x +
ln x
，则a
ln x
，则a >g (x ) max ，无解 x
综上a 的取值范围是(-∞,1) ．
ln x ln x
，画出y =x -a , y =的图像分析知a ∈(-∞,1) x x
ln x
注：画图时注意关键：直线y =x -a 在(1,+∞) 上不会和y =相切
x
解2：等价于x -a >
15、某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元（包括2万元和10万元）的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y （万元）随医疗总费用x （万元）增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元.
（1）请你分析该单位能否采用函数模型y =0. 05(x 2+4x +8) 作为报销方案；
（2）若该单位决定采用函数模型y =x -2ln x +a (a 为常数）作为报销方案，请你确定整数
a 的值.(参考数据：ln 2≈0. 69, ln 10≈2. 3)
解：（1）不符合
（2）逐一验证题目条件可知：a ∈[4ln2-2,2ln10-2]，故a =1或2
16、已知函数f (x ) =x 2+2ax +1(a ∈R ), f ' (x ) 是f (x ) 的导函数。 （1）若x ∈[-2, -1]，不等式f (x ) ≤f ' (x ) 恒成立，求a 的取值范围；
' ' ⎧⎪f (x ), f (x ) ≥f (x )
（2）设函数g (x ) =⎨，求g (x ) 在x ∈[2,4]时的最小值； '
⎪⎩f (x ), f (x )
x 2-2x +13
解：（1）分离参数得：所以a ≥，故a ≥．
2(1-x ) 2
（2）分类讨论知⎡⎣g (x )⎤⎦min
⎧8a +17, a ≤-4, ⎪2
⎪1-a , -4
=⎨4a +5, -2≤a
2⎪
⎪1⎪2a +4, a ≥-
2⎩
17、实数a , b , c 满足a >b >c ，且a +b +c =1, a 2+b 2+c 2=1，求证：1
4
3
13
2
，因为a >b >c ，只有c
134
． 3
⎧6(3-t )(1-2t ), n =1
d 18、设数列{n }满足d n =⎨, 且{d n }中不存在这样的项d k , 使得n
⎩4(n -2t )3, n ≥2
“d k
3
=8[n -(2t -)]⨯3n ,
2
解：由于当n ≥2时, d n +1-d n ①若2t -
3
d 2≤t ≤237
42
3
③若m ≤2t -
2
2m +3
由d m =d m +1, 解得t =4
②若2≤2t -综上t
的取值范围是
2m +3-5--5+(m ∈N , m ≥2) t =≤t ≤
444
m 4-n 4
19、设实数n ≤6，若不等式2xm +(2-x ) n -8≥0对任意x ∈[-4, 2]都成立，则
m 3n
的最小值为 .
解：设f (x ) =(2m -n ) x +(2n -8) ≥0恒成立等价于f (-4) ≥0, f (2)≥0，故：
4m -3n +4≤0, m ≥2, n ≤6，根据线性规划知识可以求出k =
n
的范围， m
1-k 480
≥- 最终目标=k 3
20、设P(x，y) 为函数y =
x 2-1(x 图象上一动点，记m =
3x +y -5x +3y -7
，则当+
x -1y -2
m 最小时，点 P 的坐标为
3x +y -5x +3y -7y -2x -1
解：变形得m =+=6++=6+k +1
数形结合求出斜率k 的范围，作用于上式可知当P 为(2，3) 时m 最小。
21、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C =sin A +sin B ．
（1）求角C 的大小；
（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求a 2+b 2的取值范围．
解： （1）由已知sin C =sin A +sin B ，所以sin C cos A +sin C cos B =cos C sin A +cos C sin B ，
整理得sin(C -A ) =sin(B -C ) ．故2C =A +B , 得 C =
3（2）由C =π, 设A =π+α, B =π-α, 其中-π
33333故a 2+b 2=sin 2A +sin 2B =1+1cos 2α∈(, ]
42
22、已知函数f (x ) =x -ax (x >0且x≠1)．
（1）若函数f (x ) 在(1,+∞) 上为减函数，求实数a 的最小值；
（2）若∃x 1, x 2∈[e,e2]，使f(x1)≤f '(x 2) +a 成立，求实数a 的取值范围．
33
1-a ≤0在(1,+∞) 上恒成立知a ≥1，故a 的最小值为1． 解：（1）由f '(x ) =ln x -2
(lnx ) 4（2）转化为当x ∈[e,e2]时，有f (x ) min ≤f '(x )max +a ，易知f '(x )max +a =1． 转化为f (x ) ≤
1112
-在[e , e ]上有解，分离参数得a ≥，故a ≥-2
24e 4ln x 4x
23、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 4≤4，2≤a 5≤3，求S 6的取值范围。 解：线性规划可破此题，取值范围为[0,30]
24、已知函数f (x )=x -1-1，若关于x 的方程f (x )=m (m ∈R )恰有四个互不相等的实数根x 1, x 2, x 3, x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是.
解：画出f (x ) 图像分析知：x 1=-m , x 2=m , x 3=2-m , x 4=2+m ,(0
25、小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元. 小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为25-x 万元（国家规定大货车的报废年限为10年）． （1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ （2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大? ．．．（利润=累计收入+销售收入-总支出） 解：（1）设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，
则y =25x -[6x +x (x -1)]-50, (0
0解出10-x
26、某商场在节日期间搞有奖促销活动，凡购买一定数额的商品，就可以摇奖一次．摇奖办法是在摇奖机中装有大小、质地完全一样且分别标有数字1～9的九个小球，一次摇奖将摇出三个小球，规定：摇出三个小球号码是“三连号”（如1、2、3）的获一等奖，奖1000元购物券；若三个小球号码“均是奇数或均是偶数”的获二等奖，奖500元购物券；若三个小球号码中有一个是“8”的获三等奖，奖200元购物券；其他情形则获参与奖，奖50元购物券．所有获奖等第均以最高奖项兑现，且不重复兑奖．记X 表示一次摇奖获得的购物券．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．金额．
（1）求摇奖一次获得一等奖的概率； （2）求X 的概率分布列和数学期望．
解：（1）连号的可能情况有：123，234，345，456，567，678，789共7种情况．
y +(25-x ) 25
=19-(x +) ，故当x =5时y 最大。
x x
故所求概率P =
71
=3
C 912
5
（2）分布列如下，期望为245
27、在面积为2的∆ABC 中，E,F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则
⋅+的最小值是________
解：建立坐标系，设B (0,0),C (c ,0), A (m , n ), P (x , ) ，则面积
2
n 1
nc =2，此时：
22
24c 34
⋅+=x 2+cx +c 2+2=(x +) 2+(c 2+2) ≥c 24c
x x x
)(1+2) ⋅⋅⋅(1+n ) 的展开式中x 2的系数为b n , 其中n ∈N * 222
28、求(1+
解：由已知：
[1**********]1⋅) =[(++⋅⋅⋅+)(++⋅⋅⋅+) -(++⋅⋅⋅+)] ∑i j 2n 2n 242n [1**********]21≤i
化简得b n =(1-n ) ⋅(1-n -1)
322b n =
(
29、已知向量a ，b ，满足a =1，(a +b ) (a -2b ) =0，则b 的最小值为 ．
2 2
解：设b =x ，由已知a -a ⋅b -2b =1-x cos θ-2
x 2=0
12x 2-11
故cos θ=
≤1⇒≤x ≤1，故b 的最小值为
2x 2
30、在平面直角坐标系xOy 中，已知直线+y -6=0与圆(x 2+(y -1) 2=2交于A ，B 两点，则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为 ．
解：设圆心为C ，注意到直线OC 和AB 斜率之积为-1，故A , B 关于直线OC 对称， 所以直线OA 与直线OB 的倾斜角之和=2∠COx =60
31、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x +1) 2+y 2=1，圆C 2： (x -3) 2+(y -4) 2=1．设动圆C 同时平分圆C 1的周长、圆C 2的周长．
（1）证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；
（2）动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由． y ) ，由题意，得CC 1=CC 2，故C 在直线x +y -3=0上运动 解：（1）证明：设圆心C (x ，3-m ) ，则圆C
（2）圆C 过定点，设C (m ，
于是动圆C 的方程为(x -m ) 2+(y -3+m ) 2=1+(m +1) 2+(3-m ) 2．
易得定点的坐标为1
，1．
32、已知函数f (x ) =x +sin x ．
（1）设P ，Q 是函数f (x ) 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0； （2）求实数a 的取值范围，使不等式f (x ) ≥ax cos x 在⎡0⎤上恒成立．
⎣2⎦解：（1）由题意得f '(x ) =1+cos x ≥0．所以f (x ) =x +sin x 在R 上单调递增． y 2) ，则有 y 1) ，Q (x 2， 设P (x 1，
((y 1-y 2
>0，即k PQ >0． x 1-x 2
（2）当a ≤0时，f (x ) =x +sin x ≥0≥ax cos x 恒成立
当0
⎣2⎦
当1
⎣⎦ x 0) 时g' (x ) 2时，存在x 0∈0π使得x ∈(0，
()
综上a 的取值范围为a ≤2． 注：本题可以变形为
33、设数列{a n }的各项均为正数. 若对任意的n ∈N *，存在k ∈N *，使得a n +k 2=a n ⋅a n +2k 成立，则称数列{a n }为“Jk 型”数列，若数列{a n }既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{a n }是等比数列.
x +sin x
≥ax ，结合图像的凹凸性求解。
cos x
证明：a 1，a 5，a 9，a 13，a 17，a 21，…成等比数列，设公比为t .
a 1，a 4，a 7，a 10，a 13，…成等比数列，设公比为α1； a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，…成等比数列，设公比为α2； a 3，a 6，a 9，a 12，a 15，…成等比数列，设公比为α3； 则
a 13a a
=α14=t 3，17=α24=t 3，21=α
34=t 3，不妨记α=α1=α2=α3， a 1a 5a 9
k -1
于是a 3k -2=a 1α=a 1
(3k -2) -1
，a 3k -1=a 5α
k -2
=a 1t α
k -2
=a 1α
k -2
=a 1
(3k -1) -1
，
a 3k =a 9αk -3=a
1t 2αk -3=a 1α
k -1=a 1
3k -1
，所以a n =a 1
n -1
，故{a n }为等比数列．
34、如图过抛物线y 2=4x 在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ． （1）求证：MN ⊥x 轴；
（2）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0），求证直线AB 过定点．
y 2) ，且y 1>0，y 2>0． y 1) ，B (x 2，解：（1）设A (x 1，
则AC 的方程为yy 1=2(x +x 1) ，BD 的方程为yy 2=2(x +x 2) ，解得x M =又AD 的方程为y =
x 1y 2-x 2y 1
．
y 1-y 2
y 1y 2x y -x 2y 1
． (x +x 2) ，BC 的方程为y =(x +x 1) ，解得x N =12
121212
因为x M =x N ，故MN ⊥x 轴．
y 0) ，代入切线得y 0y 1=2(1+x 1) ，y 0y 2=2(1+x 2) ． （2）设M (1，
0)． 所以直线AB 的方程为y 0y =2(1+x ) ．故直线AB 过定点(-1，
注：本题考察切线公式和切点弦公式
35、已知f (x ) =2mx +m 2+2, m ≠0
，若｜x ｜+｜x ｜=1，求f (x ) 的取值范围.
1
2
1
f (x 2)
-m 2-2
x 1-()
f (x ) 1解：由于｜x 1｜+｜x 2｜=1表示菱形，k =表示斜率，
=2
-m -2f (x 2)
x 2-()
2m
⎡画图分析知k ∈⎢1-2+
⎣
x 2y 2
36、设R 点是椭圆+=1上位于第一象限内的点，F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，
43
RQ 平分∠F 1RF 2且与y 轴交于点Q ，求点Q 纵坐标的取值范围.
(-1-x 0, -y 0)(-x 0, t -y 0) (1-x 0, -y 0)(-x 0, t -y 0) = 2222
(x 0+1) +y 0(x 0-1) +y 0
化简得t =-
1
y 0，而0
注：本题也可以利用椭圆的光学性质求解。
37、如下图所示：矩形A n B n C n D n 的一边A n B n 在x 轴上，另两个顶点C n 、D n 在函数
f (x ) =x +
1*
若点B n 的坐标为(n ,0)(n ≥2, n ∈N ) ），矩形A n B n C n D n (x >0) 的图像上，
x
的周长记为a n ，则a
2+a 3+⋅⋅⋅+a 10=
解：由x +
1111
=n +⇒x =，故D n (,0) ，周长a n =4n ，a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 10=216 x n n n
x 2y 238、已知椭圆2+2=1(a >b >
0) 的离心率e =，A 、B 是椭圆的左、右顶点，P 是
a b
椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 斜倾角分别为α、β，则
cos(α-β)
．
cos(α+β)
解：易知直线PA 、PB 斜率之积=tan αtan β=-
1cos(α-β) 1+tan αtan β3，故== 4cos(α+β) 1-tan αtan β5
P 是曲线上异于A , B 的任一点，注：若A , B 是曲线mx 2+ny 2=1上关于原点对称的两个点，
则直线PA , PB 的斜率之积为定值-
39、在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5=2S 4+3，a 6=2S 5+3，则此数列的公比q 为 ．
解：已知两式相减即可，求出q =3
40、已知x ，y 为正数，则
m
n
x y
+的最大值为 ．
2x +y x +2y
4b a 2-(+) ≤ 33a 3b 3
解：实施单分母换元：设a =2x +y , b =x +2y ，则原式=
41、函数f (x ) 的定义域为D ，若对于任意x 1, x 2∈D ，当x 1
x 1
①f (0)=0 ②f () =f (x ) ③f (1-x ) =1-f (x )
11
则f () +f () 等于11111
解：由f (1-x ) =1-f (x ) 知f () =，f (1)=1，f () =f (1)=
222
1113111311
，f () =f () =⨯=，故f () +f () =
28282244
11
注：利用本题条件理论上可以将任意x 压缩至[, ]，比如：
32
101010
f (10)=2f () =4f () =8f () =4
3927
从而当x ∈[, ]时恒有f (x ) =
1132
tan18 +tan 42 +tan120
42、=
tan18 tan 42 tan 60
解：构造内角为18 , 42 ,120 的三角形，由tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C 知原式等于-1
⎧x +y ≤s ⎪
43、已知s 是正实数，如果不等式组：⎨x -y ≥0表示的区域内存在一个半径为1的圆，则s
⎪y ≥0⎩
的最小值为 ．
解：即三角形的内切圆半径为1，利用S ∆=
44、已知函数f (x ) =
1
⋅C ∆⋅
r 知最小的s =2+2
1+ln x
． x
k
恒成立，求实数k 的取值范围； x +1
（1）如果当x ≥1时，不等式f (x ) ≥
2
n -2*
（2）求证⎡！⎤⎣(n +1) ⎦>(n +1) ⋅e (n ∈N ) ．
(x +1)(1+ln x )
≥k , 求导知g (x ) 单调递增，故k ≤g (1)=2
x
2
（2）由第（1）问知ln[n (n +1)]>1-，叠加即可。
n (n +1)
解：（1）分离参数得g (x ) =
注：本题也可逐项比较，由于左边=[2⨯3⨯⋅⋅⋅⨯(n +1)] 右边=2e ⨯
-1
2
34n +1
e ⨯e ⨯⋅⋅⋅⨯e ，而22>2e -1,(n +1) 23n
2
>
n +1
n ≥2) n
显然成立，得证。
x 2y 2
45、已知双曲线的方程为2-2=1(a >b >
0) ，它的一个顶点到一条渐近线的距离为
a b
，则双曲线的离心率为
（c 为双曲线的半焦距长）
3
，而e =>∴e = =c ⇒e =32
46、某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区. 已知AB ⊥BC ，OA //BC ，且AB =BC =2AO =4km ，曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向右的抛物线的一段. 如果要使矩形的相邻两边分别落在AB , BC 上，且一个顶点落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出
2
最大的用地面积（精确到0.1km ）.
解：建立上图右所示的坐标系，则曲线段OC 的方程为y =
x (0≤x ≤4).
设P (y 2, y )(0≤y
82322562
, S max =≈9.5. 时，|PQ |=2+y =，|PN |=4-y =
33927
x 2y 2
47、已知双曲线C ：2-2=1(a >b >0)和圆O ：x 2+y 2=b 2（其中原点O 为圆心），
a b
过双曲线上一点P (x 0, y 0)引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ．
（1）若双曲线C 上存在点P ，使得∠APB =90，求双曲线离心率e 的取值范围； （2）求三角形OAB 面积的最大值．
b
e
是正方形，所以OP =．
a
因为OP =≥a ，得
e ≥．故e
的取值范围为． 22⎣22
（2））切点弦AB 的方程为x 0x +y 0y =b ，点O 到直线AB
的距离为d =．
解：（1））因为
1
三角形OAB
的面积S =⨯AB ⨯d =
2
求值域知当b
00时，S 最大值
12b =b ；当a >
时，S 最大值=． 22a
x 2y 2
48、设F 1, F 2分别是双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的
a b
直线与双曲线交于A , B 两点，若∆ABF 2是锐角三角形，则双曲线离心率的范围是
⎛
⎛b 2⎫ b 2⎫
解：显然F 2A = 2c , -⎪, F 2B = 2c , ⎪. 由F 2A ⋅F 2B >0⇒1
x 2y 2+=1上任意一点，F 1、F 2分别为椭圆的左右焦点，以M 为圆心，49、设M 为椭圆43
MF 1为半径作圆M ，当圆M 与椭圆的右准线l 有公共点时，求△MF 1F 2面积的最大值．解：由于M 到l 的距离4-x 0小于或等于圆的半径R ．
22222
而R =MF 1=(x 0+1)+y 0，所以(4-x 0)≤(x 0+1)+y 0，即y 0+10x 0-15≥0 ．
2
2
2
2
⎛x 0⎫44x =
≤x ≤2又因为y =3 1-代入上式，解得．当时S =00⎪max
33 4⎝⎭
2
50、某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛：答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为
1． 9
（1）求选手甲可进入决赛的概率；
（2）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试求ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
12，p = 9323882231甲选答3道题、4道、5道题目后进入决赛的概率分别为() =、C 3() ⋅=、3273327
[1**********]12
C 4() () =，故选手甲可进入决赛的概率P =++=
[1**********]1
2
解：（1）设选手甲任答一题正确的概率为p ，依题意(1-p ) =
（2）ξ的分布列为：
期望E ξ=3⨯
1108107+4⨯+5⨯= 3272727