高一数学知识点总结

高一数学知识总结 必修一

一、集合

一、集合有关概念

1. 集合的含义

2. 集合的中元素的三个特性

(1)元素的确定性如世界上最高的山

(2)元素的互异性如由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

(3)元素的无序性: 如{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集

合

3.集合的表示{ … } 如{我校的篮球队员}{太平洋,

大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合A={我校的篮球队

员},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法列举法与描述法。

 注意常用数集及其记法

非负整数集即自然数集 记作N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集

R

1列举法{a,b,c……}

2描述法将集合中的元素的公共属性描述出来写在大

括号内表示集合的方法。{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}

3语言描述法例{不是直角三角形的三角形}

4Venn图:

4、集合的分类

(1)有限集 含有有限个元素的集合

(2)无限集 含有无限个元素的集合

(3)空集 不含任何元素的集合 例{x|x2=5

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意B

A有两种可能1A是B的一部分2A与

B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作

A

B或BA

2“相等”关系A=B (5≥5且5≤5则5=5)

实例设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集

合相等”

即① 任何一个集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子

集记作A B(或B A)

③如果 AB, BC ,那么 AC

④ 如果AB 同时 BA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真

子集。

 有n个元素的集合含有2n个子集2n-1个真子集

二、函数

1、函数定义域、值域求法综合

2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略

3、恒成立问题的求解策略

4、反函数的几种题型及方法

5、二次函数根的问题——一题多解

&指数函数y=a^x

a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q)

(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q)

(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)

指数函数对称规律

1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称

2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称

3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称

&对数函数y=loga^x

如果0

a且1a0M0N那么

○

1

Ma(

log〃)NMalogNalog

○

2



N

MalogMalogNalog

○

3

n

aM

lognMalog

)(Rn

注意换底公式 a

b

bc

c

alog

log

log 0

a且1a0c且1c0b

幂函数y=x^a(a属于R)

1、幂

函数定义一般地形如

x

y)(Ra的函数称为幂

函数其中为常数

2、幂函数性质归纳

1所有的幂函数在0+≦都有定义并且图象都过点

11

20

时幂函数的图象通过原点并且在区间),0[上是增函数特别地当1时幂函数的图象下凸当10时幂函数的图象上凸

30

时幂函数的图象在区间),0(上是减函数在

第一象限内当x从右边趋向原点时图象在y轴右方无限

地逼近y轴正半轴当x趋于

时图象在x轴上方无限

地逼近x轴正半轴

方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念对于函数

))((Dxxfy把使0

)(xf成立的实数x叫做函数))((Dxxfy的零点。

2、函数零点的意义函数)

(xfy的零点就是方程0)(xf实数根亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。

即方程0

)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有

交点函数)

(xfy有零点

3、函数零点的求法

○

1 代数法求方程0

)(xf的实数根

○

2 几何法对于不能用求根公式的方程可以将它与函

数)

(xfy的图象联系起来并利用函数的性质找出零点

4、二次函数的零点

二次函数)

0(

2

acbxaxy

1△方程02

cbxax有两不等实根二次函

数的图象与x轴有两个交点二次函数有两个零点

2△方程02

cbxax有两相等实根二次函

数的图象与x轴有一个交点二次函数有一个二重零点或二

阶零点

3△方程02

cbxax无实根二次函数的图象与x轴无交点二次

函数无零点

三、平面向量

向量既有大小又有方向的量

数量只有大小没有方向的量

有向线段的三要素起点、方向、长度

零向量长度为0的向量

单位向量长度等于1个单位的向量

相等向量长度相等且方向相同的向量

&向量的运算

加法运算

ABBCAC这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB以OA、OB为邻边作平行四边形OACB

则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和这种计算法则叫做向量加法的

平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a有0aa0a。

|ab|≤|a||b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算

与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量(a)a零向量的相

反向量仍然是零向量。

1a(a)(a)a02aba(b)。

数乘运算

实数λ与

向量a的积是一个向量这种运算叫做向量的数乘记作λa|λa|

|λ||a|当λ > 0时λa的方向和a的方向相同当λ

向和a的方向相反当λ = 0时λa = 0。

设λ、μ是实数那么1(λμ)a = λ(μa)2(λ μ)a = λa μa3

λ(a ± b) = λa ± λb4(λ)a =(λa) = λ(a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积

已知两个非零向量a、b那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积记作

a?bθ是a与b的夹角|a|cos θ|b|cos θ叫做向量a在b方向上b

在a方向上的投影。零向量与任意向量的数量积为0。

a?b的几何意义数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ

的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

四、三角函数

1、善于用“1“巧解题

2、三角问题的非三角化解题策略

3、三角函数有界性求最值解题方法

4、三角函数向量综合题例析

5、三角函数中的数学思想方法

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

sin

y x cosy x tany x

图

象

定

义

域 R R ,

2

x x k k

 

  

 

 

值

域  1,1

  1,1 R

最

值

当2

2

x k

  k时 

max1

y 当

当 2

x k k 时

max1

y当2x k  

既无最大值也无最小

值 函

数

性

质 2

2

x k

 

 k时min1y   k时min1y 

周

期

性 2 2



奇

偶

性

奇函数 偶函数 奇函数

单

调

性

在2 ,2

2 2

k k 

  

 

 

   k上是增函数在

3

2 ,2

2 2

k k 

  

 

 

   k上是减函数

在 

 2 ,2k k k   上 是 增 函 数  在 2 ,2k k    k上是减函数

在,

2 2

k k 

  

 

 

   k上是增函数

对

称

性

对 称 中 心

  ,0k k 

对 称 轴 2

x k k

  

对 称 中 心

 ,0

2

k k

 

 

 

 

对称轴 x k k 

对 称 中 心

 ,0

2

k

k 



 

 

无对称轴

必修四

角的顶点与原点重合角的始边与x轴的非负半轴重合终边落在第几象限

则称为第几象限角

第一象限角的集合为

 360 360 90 ,k k k        

第二象限角的集

合为

 360 90 360 180 ,k k k         

第三象限角的集合为

 360 180 360 270 ,k k k          

第四象限角的集合为

 360 270 360 360 ,k k k          

终边在x轴上的角的集合为

 180 ,k k    

终边在y轴上的角的集合为

 180 90 ,k k      

终边在坐标轴上的角的集合为

 90 ,k k     3、与角终边相同的角的集合为 360 ,k k     

4、已知是第几象限角确定

 *n

n所在象限的方法先把各象限均分n等

份再从x轴的正半轴的上方起依次将各区域标上一、二、三、四则原来

是第几象限对应的标号即为n终边所落在的区域

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度

口诀奇变偶不变符号看象限

公式一

设α为任意角终边相同的角的同一三角函数的值相等

sin2kπαsinα

cos2kπαcosα

tan2kπαtanα

cot2kπαcotα

公式二

设α为任意角π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系

sinπαsinα

cosπαcosα

tanπαtanα

cotπαcotα

公式三

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系

sinαsinα

cosαcosα

tanαtanα

cotαcotα

公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系

sinπαsinα

cosπαcosα

tanπαtanα

cotπαcotα

公式五

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系

sin2παsinα

cos2παcosα

tan2παtanα

cot2παcotα

公式六

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系

sinπ/2αcosα

cosπ/2αsinα

tanπ/2αcotα

cotπ/2αtanα

sinπ/2αcosα

cosπ/2αsinα

tanπ/2αcotα

cotπ/2αtanα

sin3π/2αcosα

cos3π/2αsinα

tan3π/2αcotα

cot3π/2αtanα

sin3π/2αcosα

cos3π/2αsinα

tan3π/2αcotα

cot3π/2αtanα

(以上k∈Z)

其他三角函数知识

同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

tanα ?cotα1

sinα ?cscα1

cosα ?secα1

商

的关系

sinα/cosαtanαsecα/cscα

cosα/sinαcotαcscα/secα

平方关系

sin^2(α)cos^2(α)1

1tan^2(α)sec^2(α)

1cot^2(α)csc^2(α)

两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式 sinαβsinαcosβcosαsinβ

sinαβsinαcosβcosαsinβ

cosαβcosαcosβsinαsinβ

cosαβcosαcosβsinαsinβ

tanαtanβ

tanαβ——————

1tanα ?tanβ

tanαtanβ

tanαβ——————

1tanα ?tanβ

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式升幂缩角公式

sin2α2sinαcosα

cos2αcos^2(α)sin^2(α)2cos^2(α)112sin^2(α)

2tanα

tan2α—————

1tan^2(α)

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式降幂扩角公式

1cosα

sin^2(α/2)—————

2

1cosα

cos^2(α/2)—————

2

1cosα

tan^2(α/2)—————

1cosα

万能公式

⒌万能公式

2tan(α/2)

sinα——————

1tan^2(α/2)

1tan^2(α/2)

cosα——————

1tan^2(α/2)

2tan(α/2)

tanα——————

1tan^2(α/2)

和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

αβ αβ

sinαsinβ2sin—----?cos—---

2 2

αβ αβ

sinαsinβ2cos—----?sin—----

2 2

αβ αβ

cosαcosβ2cos—-----?cos—-----

2 2

αβ αβ

cosαcosβ2sin—-----?sin—-----

2 2

积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式

sinα ?cosβ0.5[sinαβsinαβ]

cosα ?sinβ0.5[sinαβsinαβ]

cosα ?cosβ0.5[cosαβcosαβ]

sinα ?sinβ 0.5[cosαβcosαβ]