基于PDE 的图像去噪修补及分解研究
2偏微分方程图像处理的数学基础 2.1图像. 的数学定义
一幅数字图像在计算机中是以离散的形式存储的，但我们可以认为图像的离散化是足够细的，从而可以利用一个连续的数学函数来近似描述. 对于一幅灰度图像，我们可以采用下面的表示来近似:
u :Ω→R
其中几是图像的定义域. 图像在每一像素处的梯度利用其在:方向和y 方向的偏导来描述，
∇u =(u x , u y )
梯度模(梯度向量的范数) 为
∇u =在图像处理中另外一个重要的几何量是方向导数. 任给一个方向向量v ，图像在该像素处沿此方向的导数为图像的梯度与此方向向量的内积:
u v =∇u ⋅v 在很多图像处理问题中，我们经常需要讨论图像的二阶导，赫森矩阵是关于二阶导的一个重要几何特征量.
⎛u xx
H =
⎝u xy
u xy ⎫⎪ u yy ⎭
赫森矩阵的迹就是图像的拉普拉斯算子.
∆u =tr (H )=u xx +u yy
图像在任一像素处沿方向。的二阶方向导可表示为:
T ∂2u
u vv =2=∇∇u ⋅v ⋅v =v Hv =tr (Hvv T )
∂v
()
对于二维图像，其沿方向v ={v 1, v 2}的二阶导可以显式的表示为：
u vv =v 12u xx +v 1v 2u xy +v 22u yy
图像中另一个重要的几何量就是曲率，曲率描述了一幅图像中线条弯曲的程度.
κ=div
显式的可以表示为:
⎛∇u
⎝∇u ⎫⎪⎪ ⎭
κ=
u x 2u yy +u y 2u xx -2u x u y u xy
(u
2x
+u y
2
)
2.2图像恢复问题的数学描述
前面我们己经介绍，图像的退化模型可以表示为:
u 0=k *u +η
图像恢复问题就是要从观测图像u 0，恢复出原始的真实图像u ，此类图像恢复问题在数学上都可以写成第一类算子方程的形式(参考反问题的数值解法{83}，即
Au =z , z ∈F , u ∈U
其中A 可以是积分算子、微分算子或矩阵，A 可以为线性算子，也可以是非线性算子.F 、U 为某类度量空间.
这样所谓的图像恢复问题就是要解决这样一个反(逆) 问题已知A ，z 求解u ，自然的，u =A -1z ，但由于A 一般不是满秩的，因此该问题无法直接解决. 另外一种方法是考虑下面的最小二乘问题:
arg min ⎰z -Au dxdy
u
Ω
2
Ω为图像的定义域. 该最小二乘问题的必要条件为:
A *z -A *Au =0,
A*为A 的伴随矩阵. 由于矩阵A *A 通常不也是是满秩的，因此上述问题一般是一个不适定的，或病态的问题.
定义2.1问题(2.1)是适定的，如果它同时满足下述三个条件:
①∀z ∈F ，都存在u ∈U 满足方程2.1(解的存在性);
②设z 1, z 2∈F , 若u 1, u 2分别是方程（2.1）对应于z 1≠z 2的解，则u 1≠u 2（解的唯一性）；
③解相对于空间偶(F，U) 而言是稳定的(解的稳定性) ，即：∀ε>0, ∃δ(ε)>0, 只要
ρF (z 1, z 2)≤δ(ε), (z 1, z 2∈F )
就有
ρU (u 1, u 2)
反之，若上述三个条件中，至少有一个不能满足，则称为不适定的，或病态的问题.
解决上述病态问题有很多方法，本文主要介绍一下基于变分原理的正则化方法. Tikhonovtas 【33，84】在1963年提出了求解不适定问题的正则化方法，做出了该领域的开创性工作，这一方法为处理反问题奠定了坚实而广泛的理论基础. 设u T 是对应于方程2.1的准确右端项z T 的精确解，
Au T =z T , z T ∈F , u T ∈U
在z T 不能准确给出时，只能得到它的具有误差水平为δ>0的近似解u δ。 Tikhonov 首先提出了利用正则化算子给出近似解的思想，
定义2.2若映F 到U 的算子R (z , δ)具有下述性质，则称它是方程(2.1)在z =z T 的
δ邻域中的正则算子;
① 存在δ1>0, 使得R (z , δ)当δ：0≤δ≤δ1时，对于所有满足条件ρF (z δ, z T )≤δ的z δ∈F 都有定义；
② ∀ε>0, ∃0≤δ0使得ρF (z δ, z T )≤δ≤δ0蕴含ρU (u δ, u T )≤ε，其中u δ=R (u δ, δ) 显然，每个这样的正则算子R (u δ, δ)，连同决定正则参数的不同原则和方法，都定义了构造原问题的近似解的一个稳定算法. 于是，寻求原问题稳定解的过程可以归结为:
① 构造正则算子R (u δ, δ)
② 选择正则参数α=α(δ)，使之与原始数据的误差水平δ相匹配.
基于上述讨论，Tikhonov 通过引入展平泛函(smoothingfunctional)来构造正则算子. 设方程(2，1) 存在精确解u T ，对于任意α>0，称下列单参数泛函:
2
M α[u , z ]=ρF (Au , z )+αΩ[u ], z ∈F 1⊂F
为展平泛函; 其中F 1是F 中的稠密子集，Ω[u ]是定义在F 1上的非负连续泛函，称之为稳定泛函. 针对于图像恢复问题(2.1)，经典的Tiknohov 正则化处理方法就是
通过构造下面的正则化算子，从而将一个不适定的问题转化为一个适定问题.
arg min E (u )=⎰Au -z dxdy +λ⎰∇u dxdy
u
Ω
Ω
2
其中ρU (Au , z )=⎰Au -z dxdy , Ω[u ]=⎰∇u dxdy
Ω
Ω
2
2
22