《函数的概念》说课稿
棠湖中学 唐小文
各位专家、各位老师：
大家好！
今天我说课的题目是《函数的概念》，本课题是人教A 版必修1中1.2的内容, 计划安排两个课时，本课时的内容为：函数的概念、三要素及简单函数的定义域及值域的求法。下面我将以“学什么、怎么学、学了有何用”为思路，从教材、教法、学法、教学评价、教学过程设计、板书设计等几个方面对本节课的教学加以说明。 一、教学目标 1、课程标准
课节内容的课标要求是：
（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
（2）在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数。
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
（4）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。
（5）学会运用函数图像理解和研究函数的性质。 2、课标解读
关于函数内容的整体定位和基本要求解读：
(1)把函数作为刻画现实世界中一类重要变化规律的模型来学习，是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型；
(2)强调对函数本质的认识和理解，因此要求在高中数学学习中多次接触、螺旋上升； (3)关注背景、应用、增加了函数模型及其应用；
(4)削弱和淡化了一些内容，如函数的定义域、值域、反函数、复合函数等； (5)注重思想和联系——增加了函数与方程、用二分法求方程的近似根。 (6)合理地使用信息技术，旨在帮助学生更好地认识和理解函数及其性质。 【依据意图】
（1）教材如此要求的根本目的是希望帮助学生更好地从整体上认识和理解函数的本质，而真正理解函数概念是不容易的。因此，不要在过于细枝末节的非本质问题上作过多的训练，有了定义域和对应关系，值域自然就定了。此外，“课标”建议先讲函数再讲映射，也是为了帮助学生把注意力集中在函数的本质理解。
（2）希望通过方程根与函数零点的内在联系，加强对函数概念、函数思想及函数这一主线在高中数学中的地位作用的认识和理解。并通过用二分法求方程近似根将函数思想以及方程的根与函数零点之间的联系具体化。
（3）二分法是求方程近似根的常用方法，更为一般、简单，能很好地体现函数思想，“大纲”只是用“三个二”解决根的分布问题。
（4）现代信息技术不能替代艰苦的学习和人脑精密的思考，信息技术只是作为达到目的的一种手段，一种快速计算的工具。 3、教材分析
（1）地位作用
函数内容是高中数学学习的一条主线，它贯穿整个高中数学学习中，其重要性体现在以下几个方面：
1、函数是高中数学七大主干知识之一，又是沟通代数﹑方程﹑不等式﹑数列、三角函数、解析几何、导数等内容的桥梁，同时也是今后进一步学习高等数学的基础；
2、函数的学习过程经历了直观感知、观察分析、归纳类比、抽象概括等思维过程，通过学习可以提高了学生的数学思维能力；
3、这一节所学习的函数概念既是对初中所学函数概念的一次升华和再认识、对集合语言的一次重要应用；又是以后继续学习函数的性质、数列等等知识的必备理论基础，在函数学习中是承上启下的关键章节。
（2）内容与课时划分
本课题是高中数学人教A 版必修1中1.2节，计划教学2个课时，第一课时内容包括函数的概念、函数的三要素、简单函数的定义域及值域的求法；第二课时内容为：区间表示、较复杂函数的定义域及值域的求法、分段函数、函数图象等。本节《函数的概念》是函数这一章的起始课。概念是数学的基础，只有对概念做到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。 4、学情分析
（1）学生在初中已经在初中学习过函数的概念。 （2）本班级学生个体差异较明显。
基于以上分析，我把本节课的教学目标和教学重难点制定如下： 5、教学目标
【依据意图】：教学目标的设计，要简洁明了，具有较强的可操作性，容易检测目标的达成度，同时也要体现出新课标下对素质教育的要求。基于以上分析作为依据，课时目标分解如下：
【课时分解目标】
1、能够列举生活中具有函数关系的实例；
2、能用集合与对应的语言描述函数的定义，能对具体函数指出定义域、对应法则、值域；
3、会求一些简单函数（带根号，分式）的定义域和值域；
4、能够从函数的三要素的角度去判定两个函数是否是同一个函数。 二、教学重难点 重点：让学生体会函数是描述变量之间的相互依赖关系的重要数学模型，正确理解形成函数的概念。
难点：引导学生从具体实例抽象出函数概念。
[意图依据]：本课时是概念课，重在概念的理解和形成，但教师应把重点放在让学生形成概念的过程中，联系旧知、突破难点、生长新知。为此通过教学目标和难重点的展示，让学生明确本节课的任务及精髓，带着目标去学习，才能达到事半功倍的效果。
三、教法
问题式教学法（实例情境、启发引导、合作交流、归纳抽象） 由于本课题是从集合与对应的角度揭示函数的本质，无论难度还是跨度都有质的飞跃。根据学生的心理特征和认知规律，我通过以问题为主线，以学生为主体，以教师为主导的教学理念。采用一系列的设问、引导、启发、发现，让学生归纳、概括出函数概念的本质，并灵活应用多媒体、黑板呈现、展示、交流。
[意图依据]：函数的概念的教学要注重以下几个方面：（1）把集合作为一种语言；（2）对函数本质的理解不能一步到位，要注重螺旋上升；（3）重视信息技术的使用。为此，教师要在课堂上搭建一个平台，通过展示实例、学生举例、典例分析、小结归纳等环节穿插若干问题，引起思考，达成教学目标。
四、学法
自主探究、合作交流 、展示互评
我们知道越是基础性的概念，其统摄性就越强，学生从中领悟到的数学就越本质；但事物总有两面性，这些概念的理解和掌握往往难度大、时间长，需要更多的经验积累．因此本节课在学法上我重视学生在列举大量实际背景的前提下对所给出实例观察，类比，归纳，分析，探究，合作，提炼，感悟函数概念的“本来面目”，以此培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力；同时在预习环节有学生的自主学习、在互动环节有学生的合作交流、在课后拓展环节有学生的探究学习。这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径以及思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体。也只有这样做，才能使学生“学”有所“思”，“思”有所“获”，“获”有所“用”。也恰好能够体现我以“学什么、怎么学、学了有何用”来设计本课题的整体思路。
[意图依据]：本课时是以问题为主线的教学过程，着重让学生经过对大量实例的剖析、了解、归纳而形成概念。在这个过程中，教师的作用是引导，经过一系列问题的提出、解决让学生在思考、交流的基础上层层深入的理解函数概念。 五、教学过程设计
本节内容的教学过程我设计为以下逐层推进六个步骤： 1、课前预习、生成问题： 2、创境设问、引入课题： 3、观察分析、探索新知： 4、思考辨析、深刻理解： 5、提炼总结、分享收获： 6、布置作业、拓展延伸.
函数的概念简案
一、课前预习、生成问题
环节1：教师：课前展示预习提纲；学生：阅读教材，深入思考，尝试练习： 【预习提纲】 请阅读教材15-18页思考下列问题：
1、在初中学习的函数是怎么定义的？我们学过哪些类型的函数？请举例说明； 2、请结合教材内容表述任现阶段对函数的定义，并与初中函数定义作比较，思考其差异； 3、请举例简述函数的三要素，求函数定义域的方法； 4、完成19页练习的1、2、3题.
【设计意图】预习是为了使学生通过自主学习形成知识的初步印象，预习中产生的问题能激发学生的求知欲. 提纲中设置的问题体现了新旧知识的联系，使学生明确应有的知识储备. 还体现了由特殊到一般的思维发展过程，引领学生思考这之间的区别和联系. 同时培养了学生自主学习的能力.
环节2：教师：收集学生预习生成问题并整合：学生：提出疑问，等待解答： 【学生生成问题】
学生生成问题1：阅读了教材上函数的概念，觉得很模糊，太抽象，不知所云。 学生生成问题2：不明白符号f 以及y =f (x ) 到底什么意思。
学生生成问题3：如何理解定义域、值域？定义中的集合B 和值域是有何不同？
【设计意图】这些问题来源于学生，可以激起学生的求知欲，同时也指明了本堂课的学习目标，让学习更具针对性.
二、创境设问、引入课题
环节1：教师：提出问题：学生：回答，或待解答，引起好奇之心：
问题2.1：我们在初中学习过函数的概念，它是如何定义的呢？在初中已经学过哪些函数？（在学生回答的基础上出示投影）
2
问题2.2：由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数？函数y=x与函数y =x 表示同
x
一个函数吗？
【设计意图】问题1的创设激活学生的原有知识，形成学生的“再创造”欲望；问题2用已有概念不太容易回答的问题，引发学生的认知冲突，有着承上启下的作用。既是对初中已学的函数概念的进一步深入，又是为下一步用集合语言来刻画函数的本质做好铺垫。
三、观察分析、探索新知
学生生成问题1：阅读了教材上函数的概念，觉得很模糊，太抽象，不知所云。
环节1：教师：展示学生生成问题1，在课件中陆续展示教材实例1、2、3，并有针对性的提问：学生：在教师引导下再认识函数：
1. 实例分析
（1）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标. 炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h （单位：m ）随时间t （单位：s ）变化的规律是：
h =130t -5t 2 （﹡）
（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题. 图（1）中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.
（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 表1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.
表1 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
问题3.1：在这个过程中有几个变量？它们有怎样的关系？请结合（﹡）式表述初中函数的定义。
问题3.2：在这个过程中，时间t 的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h 的变化范围是什么？
问题3.3：上述两个例子可以构成函数吗？如果可以，它们的变量是什么？变量之间的关系是怎样的？
问题3.4：观察分析图（1）中曲线，时间t 的变化范围是多少？臭氧层空洞面积s 的变化范围是多少？尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系.
问题3.5：在实例3中如何用集合与对应的语言来描述这个关系？请仿照（1）（2）描述表中恩格尔系数和时间（年）的关系.
【设计意图】通过对几个生活中函数模型实例的分析，让学生充分回忆初中所学函数知识，在体会函数应用的同时深刻理解函数的本质是刻画两个变量之间相互“依赖”关系。
2、归纳概括
环节2：教师：展示学生生成问题2,3，在课件中陆续展示问题6,7,8,9，并有针对性的提问：学生：合作交流、思考、归纳、抽象并尝试叙述： 学生生成问题2：不明白符号f 以及y =f (x ) 到底什么意思。
问题3.6：分析、归纳以上三个实例，变量之间的关系有什么不同点和共同点？你能否根据这个共同点，用集合与对应的语言来叙述出函数的概念？
问题3.7：该如何理解现阶段的函数定义？结合上述例子，你认为构成函数的要素有哪些？请用你熟悉的函数作为例子说明。
环节3：教师：展示学生生成问题3：学生：合作交流、展示结果：
学生生成问题3：如何理解定义域、值域？定义中的集合B 和值域是有何不同？
问题3.8：请说出我们学习过的的一次函数，反比函数，二次函数的对应法则、定义域和值
【设计意图】体现学以致用，应用初学的知识来解释已知的知识的过程可以加深对概念的理解，同时也可以让学生在这个过程中对比初高中的两种定义法的区别。 环节4：教师：组织活动：学生：参与、合作交流、展示结果：
学生活动设计：以小组为单位，举出生活中具有函数关系的一些例子，看哪个组所举出的例子更多更具有代表性。
学生活动设计：教师展示自己举的例子，问学生是不是函数？ 1、股票的K 线图；
2、一份某小组的月考数学成绩单1、2；
3．
四、思考辨析、深刻理解(回答问题2.2：由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数？)
环节1：教师：展示例1：学生：合作交流、展示结果：
例1、（1）y =1(x ∈R ) 是函数吗？为什么？请用函数的定义解释。
(2) y =±x (x ≥0) 和y =
x -3+-x 是函数吗？为什么？
变式、下列图像中不能作为函数y =f (x ) 图像的是（ B ）
【设计意图】设计例1主要的一个目的是呼应“创景设问”中所提出的问题2，另外可以让学生从对应的角度来看待一个函数。
问题4.1：在三个实例中，按照一定的对应关系，能看作从B 到A 的函数吗？为什么？ 环节2：教师：展示例2：学生：合作交流、展示结果：
2
（回答问题2.2：函数y=x与函数y =x 表示同一个函数吗？）
x
例2、下列函数中哪个与函数y =x 是相同函数？
x 2322
（1）y =， （2）y =x ， （3）y =x ， （4）y =(x )
x
变式：判断下列两个函数是否是同一函数并说明理由。 f (x ) =|x |,x ∈{-1, 0, 1} g (x ) =x 2, x ∈{-1, 0, 1}
【设计意图】设计例3的一个目的是呼应“创景设问”中所提出的问题2，同时可以让学生从函数的三要素上认识函数，变式具有一定的迷惑性，要让学生不迷信解析式，有时候解析式不同任然可能是同意函数。
问题4.2：如何判断几个函数是否是同一函数？
五、提炼总结、分享收获
环节1：请说说通过本节课你有哪些收获和感想？
1. 本节课探讨了用集合和对应的语言描述函数的概念，并引进了函数符号y =f (x ). 2. 突出了函数概念的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系. 3．明确了构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域.
环节2：拓展延伸：教师：展示例3：学生：合作交流、展示结果：
思考：已知函数f (x ) =x +3+ （1）求函数的定义域； （2）求f (-3), f () 的值；
（3）当a >0时，求f (a ), f (a -1) 的值。
【设计意图】让学生掌握如何求一个简单函数的定义域及求某些点的函数值的方法。
23
1
, x +2
六、布置作业、拓展延伸
必做题：教材P 19 练习2、3 选作题：教材P 24 习题1.2 2, 、4 思考题：（1）教材P 19思考；
（2）判断下列两个函数是否是同一个函数：
x 2
(1)f (x ) =|x |,g (x ) = (2)f (x ) =, g (x ) =
x 0
x
2
(3)f (x ) =g (x ) = (4)f (x ) =x 2-2x , g (t ) =t 2-2t
（3） 举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函
数，同时说出函数的定义域、对应关系和值域；
（4）查阅资料，写一篇关于函数概念发展过程的小论文。
（备选内容）
学生活动：学生以小组为单位讨论完成以下问题。各小组间核对答案。； 1．每个人和自己的身份证号是一一对应的，所以人是自己的身份证号是函数。 2．函数值域是B 集合的子集。
3．定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定。 4．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素。
5．函数的图像与直线x=2的公共点个数为（ ）
A.0个 B. 1个 C. 0个或1个 D不能确定
6．已知函数f (x )=x 2-2定义域为{-1, 0. 1, 2}，则其值域为（ ） 7. 怎样理解符号f (x ) ? 你能合生活实例说明吗？
（原料库） （加工厂） （成品库）
[设计意图]: 从函数概念出发，设计了七道练习题，致力达到熟练理解函数概念的目的。第1、2题可以加深学生对概念中集合A 、B 本质的理解。第3、4、5题旨在熟练函数的对应关系。第6、7题从实例出发，引出数学符号f(x)的抽象含义，通过用“加工厂”的类比，突破难点，让学生对函数的理解上升一个台阶。学生通过这些练习产生疑惑，提出问题，交流讨论后再解决问题，让学生真正经历小组协作和创新探究的过程，发挥学生的主观能动性，让他们真正成为学习的主体，体验接受新知的乐趣，从而让学生由“被动接受”变成“主动探究”。