摘 要：本文主要是要求学生对函数概念有正确清晰的认识，以熟练掌握函数的表示方法，培养辩证思维方面的能力。 关键词：概念形成 函数表示法 辩证思维 概念是一种思维形式。函数是数学中最主要的概念之一，函数理论是高等数学的主要组成部分，是近代科学技术不可缺少的工具。由于自然界的一切事物总是在不停地运动、变化着，因此数学中也必须研究变量和变量间的相互关系。函数就是应此而产生的数学概念。中学阶段，学生学习函数及其图像、集合的简单知识，从而通过集合元素的对应关系来加深对函数概念的理解；在此基础上，引入函数的单调性与奇偶性；进而借助于单调函数及其图像的学习，又从单值对应引出一一对应，从一一对应引出逆对应；同时由逆对应引出反函数的概念。这对于培养学生的辩证思维能力和进一步学习高等数学，起到很大的作用。 函数概念的教学目的是：（一）要求学生对函数概念有正确清晰的认识；（二）要求学生熟练掌握函数的表示法；（三）通过函数概念教学，培养学生辨证思维方面的能力。下面谈谈本人的一点粗浅认识。 一、函数概念的形成 函数的实例：在客观世界中，事物的种类繁多，现象的形态各异，它们都按照各自的固有规律运动变化着。某一事物或现象的运动变化总表现为多个不同量的变化，而这些量的变化又不是孤立的，它们常常是按照该事物固有的规律互相联系、对应着，即给定某量的一个值，依照规律都对应另一个量的唯一一个值。粗略地说，“两个量（或两个数）之间的对应规律”就是数学中所说的“函数”。函数概念产生于在同一个研究过程里变量间的相互关系之中，因此，建立函数概念必须以研究常量和变量作为起点。例如，把一个密闭容器内的气体加热时，气体的体积和气体的分子数保持一定，所以是常量；而气体的温度与压力则是变量。一个量是常量还是变量，要根据具体问题具体条件来分析，而且要辨证地看问题，这一点，教学时应提出注意。例如，火车行驶时的速度，在开始阶段或刹车阶段是变化的，因而在该过程中是变量；在正常行驶阶段变化很小，相对地可看作不变，因而是常量。 在同一个确定的过程中，往往会同时出现几个变量。例如，一个物体作自由落体运动的过程中，重力加速度（g）是常量，物体经过的路程（s）与时间（t）是两个变量，而且这两个变量不是孤立无关的，而是紧密联系的：物体运动的时间变了，其相应的路程也随之而变；当确定了物体经过的时间后，相应的路程也随之而确定，它们间符合的关系。变量s和t之间存在着这种相依关系的确定性，这样就称s和t构成了函数关系。其中t叫自变量，s叫自变量t的函数。由此可总结出，在某个研究过程中，存在函数关系的三条标准：（一）是否存在两个变量（技校教材只限于一元函数）；（二）当一个变量变化时，另一个变量是否也随之而变化；（三）当一个变量取确定值时，另一个变量是否也随之取得唯一的确定值。 在许多问题中，自变量的允许取值范围是有一定限制的，我们把自变量允许取值的范围叫做函数的定义域。从数学角度看，要使表示函数关系的解析式有意义，自变量是需要有一定条件的；从应用问题的实际内容看，变量允许取值的范围也是有一定限制的。这就是确定函数定义域的根据。求函数的定义域可参考以下几个准则： （1） 若f（x）是整式，则f（x）的定义域是全体实数的集合R； （2） 若f（x）是分式，则分式的分母应该不为零； （3） 若给出式子 （k为正整数），则应有f（x）≥0； （4） 若给出式子log ，则应有f（x）＞0； （5） 若给出式子arcsin f（x）、arccos f（x），则应有｜f（x）｜≤1； （6） 若上述情况同时出现，可分别找出它们的定义域，取公共部分为所求的定义域。 函数值以及记号f（x）是函数概念教学的重点，学生开始学习函数时，往往不容易理解f（x）和f（a）的意义，有的认为f（x）是x的一次函数，f（ ）是x的二次函数，这说明对记号f（x）的教学不能忽视。 在函数概念的教学中可以指出，函数符号f（x）按其实质来说就是指对应法则，例如 f（x）=3x + x－1，那么对应法则f就是指这个式子中所给的一系列运算，而f（x）就是指下面括号中自变量的某一数值应作3（ ） +（）－1这样的一系列的运算以求函数值。因此当x=1时有f（1）=3（1） +（1）－1=3 。 一般来说，记号f（a）代表一个数，它等于函数f（x）在变数值等于a时的值。用几何术语说：f（a）是函数f（x）在a点的值。如果a不属于定义域，则f（a）就无意义了。 二、函数的表示法 通过对函数各种表示法的学习，可以加深对函数概念的理解。用公式或分析表达式直接给出自变量与因变量之间的关系是函数的分析表示法，在自然科学或实际问题中是经常遇到的，在微积分中，这种表示法也便于进行运算。 但是要防止学生产生函数关系一定能用公式表示的误解。许多生产过程和科研实践中，由观察得到的一系列变量间对应的数据，不见得都能概括成这两个变量间确定的解析表达式，但它们之间应该说构成函数关系，这种函数关系可用列表法来表示。通常用的各种数学用表，有的写不出一般表达式（例如质数），有的写出了表达式（例y=logx），但也不能揭示由x经过怎样的代数运算步骤而得到y。采用列表法，就可弥补上述的不足。 公式法和列表法都可以表示函数关系，但它们都存在着表示因变量随自变量的变化而变化的趋势的直观性差的缺点。而函数的图示法具有直观性、明显性，并且便于研究函数的几何性质。 在讲授图示法表示函数关系时，应注意： （一）函数图像存在的范围是以函数定义域为依据的。 例1作函数 的图像。 解： 定义域:是（-∞，+∞）， 其图像为（图１） 例2作出函数y=x（其中x取整数）的图像（图２）。 （二）作函数图像时，应把列出的点用平滑的曲线连结起来，而不能画成折线。为此可举函数 的图像为例，先画几个点，连结成折线，再补进几个点，让学生看这些点并不在折线上，从而指出画成折线是不对的。 在函数概念教学中，应注意挖掘教学内容中的教育因素，注意在教学过程中渗透一些辩证唯物主义的思想，这样，不仅有利于学生学好数学基础知识，也有助于对学生进行辩证唯物主义的教育。例如，常量和变量的相对性实际上蕴含着矛盾的对立统一这一法则；研究存在某种相依关系的两个变量的过程，就是用运动、联系的观点来研究数学内容……教师如能把观点蕴含于内容之中，通过内容渗透观点，就会使函数概念的教学效果有所提高。 参考文献： ［1］刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（上册）――函数.北京：高等教育出版社，1992. ［2］齐建华.现代数学教育――数学学习论.郑州：大象出版社，2001. 注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
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