[平面向量]综合测试题

平面向量

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1. 若A（2，-1），B（-1，3），则的坐标是 ( ) A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对 2.与a=（4，5）垂直的向量是 ( ) 54

A.（-5k,4k） B. (-10，2） C. (,) D.（5k, -4k）

3. △ABC中,=a, =b,则等于 ( ) A.a+b B.-(a+b) C.a-b D.b-a 4.化简

221

(a－b)－(2a+4b)+(2a+13b)的结果是 ( ) 5153

111111A.ab B.0 C. a+b D. a－b 555555

5.已知|p|=22,|q|=3, p与q的夹角为



,则以a=5p+2q,b=p－3q为邻边的平行四边形的一条4

对角线长为 ( ) A.15 B. C. 16 D.14

6.已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p∥,则k的值为 ( ) 919919

B. C. D.

10101010



7. 已知△ABC的三个顶点，A、B、C及平面内一点P满足PAPBPCAB，则点P与

A.

△ABC的关系是 ( ) A. P在△ABC的内部 B. P在△ABC的外部 C. P是AB边上的一个三等分点 D. P是AC边上的一个三等分点

8.已知△ABC的三个顶点，A (1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M是BC边上一点,且△ABM的面积是△ABC面积的

,则线段AM的长度是 ( ) 4

2A.5

9.设e1,e2是夹角为450的两个单位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,,则|a+b|的值 ( ) A.32 B.9 C.1892 D.322

10.若|a|=1,|b

a-b)⊥a,则a与b的夹角为 ( ) A.300 B.450 C.600 D.750

11.把一个函数的图象按向量a=(y=sin(x+



,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为3



)-2,则原函数的解析式为 ( ) 6



A.y=sinx B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx

12.在△ABC中，=c, BC= a, CA=b,则下列推导中错误的是 ( ) A.若a·b

4,且ABAC8,则这个三角形的形状是. 14.一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为

2km/h，则船实际航行的速度的大小和方向是.

15. 若向量a(3,2),b(2,1),c(7,4),现用a、b表示c,则c=16.给出下列命题:①若a2+b2=0,则a=b=0; ②已知A(x1,y1),B(x2,y2),则

xx2y1y21

(1,); 222

③已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|

④已知10,20,e1,e2是一组基底,a=λ1e1+λ2e2则a与e1不共线,a与e2也不共线; ⑤若a与b共线,则a·b=|a|·|b|.其中正确命题的序号是 . 三、解答题

17.如图,ABCD是一个梯形

,AB//CD, M、N分别是,的中点,已知



a,b,试用a、b表示DC,BC和MN.

18.设两个非零向量e1、e2不共线.如果=e1+e2,2e1+8e2,=3(e1-e2) ⑴求证:A、B、D共线; ⑵试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.

19.已知△ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点D与向量

的坐标.

20.已知△ABC的三个顶点为A(1,2),B(4,1),C(3,4).⑴求AB边上的中线CM的长;⑵在AB上取一点P,使过P且平行与BC的直线PQ把ABC的面积分成4:5两部分,求P点的坐标.

21.已知a、b是两个非零向量，证明：当b与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb的模取得最小值.

22.已知二次函数f(x) 对任意x∈R，都有f (1-x)=f (1+x)成立，设向量a=(sinx,2), b=(2sinx,c=(cos2x,1),d=(1,2)。（1）分别求a·b和c·d的取值范围；（2）当x∈[0,π]时，求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集。

1), 2

答案

一、BCDBA；DDADB；BD

二、13.等边三角形；14.大小是4km/h,方向与水流方向的夹角为600 ; 15.a－2b ; 16.①③④ 三、17.∵||=2||∴2∴

1111

a,b－a , MN=a－b 2224



DBCCD5e1+5e2=5 , ∴//又有公共点B,∴18.⑴∵BA、B、D共线

⑵设存在实数λ使ke1+e2=λ(e1+ke2) ∴ k=λ且kλ=1 ∴k=1 19.⑴由ABAC0可知ABAC即AB⊥AC

⑵设D（x,y）,∴(x2,y4),(5,5),(x1,y2)∵ ∴5(x-2)+5(y-4)=0



x

∵// ∴5(x+1)－5(y+2)=0 ∴

y

∴D(52

7533,)(,) 2222

20.⑴M(,)(

221526

,),||

222

⑵设P（x,y）

SAPQSBPQC24SAPQ4|AP|2,APAB 5SABC9|AB|33

(x1,y2)

(3,1)P(3,) 33

21. 当b与a+λb(λ∈R)垂直时，b·(a+λb)=0,∴λ= - | a+λb

ab

当λ= -

ab

时，| a+λb |取得最小值.∴当b与a+λb(λ∈R)垂直时，a+λb的模取得最小值. b2

22. (1）a·b=2sin2x+11 c·d=2cos2x+11

（2）∵f(1-x)=f(1+x) ∴f(x)图象关于x=1对称当二次项系数m>0时, f(x)在（1，）内单调递增，由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1>2cos2x+1

又∵x∈[0,π] ∴x∈(

3

,)当二次项系数m

由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1

解集为[0,



)(

33

,]、故当m>0时不等式的解集为(,);当m



)(

3

,]、 4

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