一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．已知集合 ，若 ，则 等于（ ）
． ． ． 或 ． 或
2．已知向量 ，且 与 平行，则实数 的值等于 （ ）
. . . .
3．已知复数 ，映射 ，则 的原象是 ( )
． ． ． ．
4．以下有关命题的说法错误的是 （ ）
．命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ,则 ”
．“ ”是“ ”的充分不必要条件
．若 为假命题，则 、 均为假命题
．对于命题 ，使得 ，则 ，则
5．如图，三棱柱的侧棱长为 ，底面是边长为 的正三角形， ，
正视图是边长为 的正方形，则左视图的面积为 （ ）
．
．
．
．
6．已知等差数列 中, 是方程 的两根, 则 等于 （ ）
. . . .
7．将函数 的图象向左平移 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).
. . . .
8．若过点 的直线l与曲线 有公共点，则直线l斜率的取值范围为 ( )
. ( , ) . [ , ]
. ( , ) . [ , ]
9．连续掷两次骰子分别得到点数 、 ，则向量 与向量 的夹角 的概率是（ ）
． ． ． ．
10．若函数 的导函数在区间 上是增函数，则函数 在区间 上的图象可能是（ ）
a
b
a
b
a
o
x
o
x
y
b
a
o
x
y
o
x
y
b
y
． ． ． ．
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）
(一)必做题（11~ 13题）
11．某大型超市销售的乳类商品有四种：液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有40种、10种、30种、20种不同的品牌，现从中抽取一个容量为20的样本进行三聚氰胺安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是 。
12．已知 满足约束条件： ，则 的最小值___________。
13．考察下列一组等式：
；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数 的等式，这个等式可以表示为 。
★（请考生在以下两个小题中任选做一题，两题全答的，只计算第一个题得分．）
（第15题图）
A
B
D
C
O
14．（坐标系与参数方程选做题）已知圆 的极坐标方程 ，则圆 上点到直线 的最短距离为 。
15．（几何证明选讲选做题）如图所示, 圆 上一点 在直径 上的
射影为 , , 则圆 的半径等于 。
三、解答题（本部分共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题满分12分）
在 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，且 （其中 为 的面积）。
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 的面积 ，求 的值。
17．（本题满分14分）
某班 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 秒与 秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组 ，第二组 ，…，第五组 ，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。
（Ⅰ）若成绩大于或等于 秒且小于 秒
认为良好，求该班在这次百米测试中
成绩良好的人数；
（Ⅱ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，
求这两个成绩的差的绝对值大于 的概率。
18．（本小题满分14分）
如图， 为圆 的直径，点 、 在圆 上，且 ，矩形 所在的平面和圆 所在的平面互相垂直，且 ， .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）设 的中点为 ，求证： 平面 ；
（Ⅲ）求四棱锥 的体积．
19．（本小题满分14分）
根据如图所示的程序框图，将输出的 值依次记为 ；
输出的 值依次记为 。
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）写出 ，由此猜想出数列 的通项公式；
（Ⅲ）若 ，求 。
20．（本题满分14分）
设 、 分别是椭圆 ： 的左右焦点。
（Ⅰ）设椭圆 上的点 到两点 、 距离之和等于 ，写出椭圆 的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段 的中点 的轨迹方程；
(Ⅲ）设点 是椭圆 上的任意一点，过原点的直线 与椭圆相交于 ， 两点，当直线 ， 的斜率都存在，并记为 ， ，试探究 的值是否与点 及直线 有关，不必证明你的结论。
21．（本小题满分12分）
设函数 ，其中 为常数。
（Ⅰ）当 时，判断函数 在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若函数 有极值点，求 的取值范围及 的极值点。
2011年广东省教研室推荐高考必做38套答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
C
B
C
A
D
D
A
解析：
１． ，因为 ，故 或 。
2． ， ，
因为 与 平行，故 ，即 。
3． 。
4．若 为假命题，则只需 至少有一个为假命题即可。
5．左视图是长为 ，宽为 的矩形， 故 。
6． ，故 。
7．将函数 的图象向左平移 个单位,得到函数 即 的图象,再向上平移 个单位,所得图象的函数解析式为 。
8．显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，由 ，得
，
故 。
9．总的基本事件有 种， ，即 ，∴
事件“ ”包含 个基本事件。故 。
10．由 在区间 上是增函数，知 图象的切线斜率在 递增，即 图象越来越陡。
二、填空题
11． 12．6 13． 14． 15．
解析：
11．抽取比例 ，故抽取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是 。
12．约束条件表示的平面区域如图阴影所示
在点 处取得最小值 。
13．由于
，
所以得出结论 。 第12题
14．圆 的直角坐标方程为： ，直线 的直角坐标方程为：
圆心 到直线 的踽距离 ，故圆 上的点到直线 的最短距离是 。
15． ， ，故 。
三、解答题
16．解：（Ⅰ）
∴
∴
又 ，
∴ ……………………………… 6分
（） ∴
∵ ∴
∴ ……………………………… 12分
17．解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，成绩在 内的人数为： （人）
所以该班成绩良好的人数为 人. ……………………… 4分
（Ⅱ）由频率分布直方图知，成绩在 的人数为 人，设为 、 、 ；…… 5分
成绩在 的人数为 人，设为 、 、 、 …… 6分
若 时，有 种情况； ……………… 8分
若 时，有 种情况；……………… 10分
若 分别在 和 内时，
A
B
C
D
x
xA
xB
xC
xD
y
yA
yB
yC
yD
z
zA
zB
zC
zD
共有 种情况.
所以基本事件总数为 种，事件“ ”所包含的基本事件个数有 种。13分
∴ （ ） 。 ……………………… 14分
18.解：
（Ⅰ）证明：
平面 平面 , ，平面 平面 =
∴ 平面
平面
∴
又 为圆 的直径
∴
∴ 平面 ……………………4分
（Ⅱ）设 的中点为 ，则
又 ，
∴
∴ 为平行四边形
∴
又 平面 ， 平面
∴ 平面 ………………………9分
(Ⅲ)过点 作 于
平面 平面 ，
∴ 平面 ， 即正 的高 ………………………11分
∴ ∴
∴ ………………………14分
19．（Ⅰ）由程序框图可知: 是等差数列，且首项 ，公差
∴ ………………………3分
（Ⅱ） ， ，
故 ………………………7分
(Ⅲ)
令
∴
∴
∴ ………………………14分
20．解：（Ⅰ）由于点 在椭圆上， ……………………… 1分
2 =4, ………………………2分
椭圆C的方程为 ………………………3分
焦点坐标分别为 ………………………4分
（Ⅱ）设 的中点为B（x, y）则点 ………………………5分
把K的坐标代入椭圆 中得 ………………7分
线段 的中点B的轨迹方程为 ………………8分
（Ⅲ）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称
设
在椭圆上，应满足椭圆方程，得 ………………10分
………………11分
= = ………………13分
故： 的值与点P的位置无关，同时与直线L无关，………………14分
21．解：（Ⅰ）由题意知， 的定义域为 ， … 1分
……… 2分
∴当 时， ，函数 在定义域 上单调递增． …3分
（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当 时，函数 无极值点． …… 4分
② 时， 有两个相同的解 ，
但当 时, ，当 时，
时，函数 在 上无极值点． ………………5分
③当 时， 有两个不同解，
时， ，
而 ,
此时 ， 随 在定义域上的变化情况如下表：
减
极小值
增
由此表可知：当 时， 有惟一极小值点 ， …… 8分
ii) 当 时，0
此时， ， 随 的变化情况如下表：
增
极大值
减
极小值
增
由此表可知： 时， 有一个极大值 和一个极小值点 ； ………11分
综上所述：
当且仅当 时 有极值点;
当 时， 有惟一最小值点 ；
当 时， 有一个极大值点 和一个极小值点 ………12分