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空间向量与立体几何知识点归纳总结
一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB =OA +AB =a +b
;
运算律：⑴加法交换律：a +b =b +a
OP =λa (λ∈R )
BA =OA -OB =a -b
;
(a +b ) +c =a +(b +c )
⑵加法结合律：
λ(a +b ) =λa +λb
⑶数乘分配律：
运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量
或平行向量，a 平行于b ，记作a //b 。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线 （4）与a
共线的单位向量为
±
AB =λAC
=x +y (其中x +y =1)
4. 共面向量
（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
x , （2）共面向量定理：如果两个向量a , b 不共线，p 与向量a , b 共面的条件是存在实数
y
p =xa +yb 。 使
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（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面
AP =x +y
OP =x +y +z (其中x +y +z =1)
a , b , c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个
5. 空间向量基本定理：如果三个向量
x , y , z ，使p =xa +yb +zc 。
唯一的有序实数组
a , b , c 不共面，我们把{a , b , c }叫做空间的一个基底，a , b , c 叫做基向量，空间
若三向量
任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设O , A , B , C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数
x , y , z ，使OP =xOA +yOB +zOC 。
6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系
O -xyz 中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(x , y , z ) ，使
=++，有序实数组(x , y , z ) 叫作向量A 在空间直角坐标系O -xyz 中的坐
标，记作A (x , y , z ) ，x 叫横坐标，
y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z)
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用
{i , j , k }表示。空间中任一向量a =x i +y j +z k =（x,y,z ）
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（3）空间向量的直角坐标运算律：
a =(a 1, a 2, a 3) ，b =(b 1, b 2, b 3) ，则a +b =(a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3) ， ①若
a -b =(a 1-b 1, a 2-b 2, a 3-b 3) ，λa =(λa 1, λa 2, λa 3)(λ∈R ) ，
a ⋅b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3，
a //b ⇔a 1=λb 1, a 2=λb 2, a 3=λb 3(λ∈R ) ，
a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0。
A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则AB =(x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1) 。 ②若
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
③定比分点公式：若
A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，AP =λPB ，则点
。
推
导
：
设
P
（
x,y,z
P 坐标为
(
x 1+λx 2y 1+λy 2z 1+λz 2
, , ) 1+λ1+λ1+λ
）则
(x -x 1, y -y 1, z -z 1) =λ(x 2-x , y 2-y , z 2-z )
P (
x 1+x 2y 1+y 2z 1+z 2
, , ) 222
, 显然，当P 为AB 中点时，
④
∆ABC 中，A（x1, y 1, z 1）, B (x 2, y 2, z 2), C (x 3, y 3, z 3) ，三角形重心
P (
x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3z 1+z 2+z 3
, , ) 333
P 坐标为
⑤ΔABC 的五心：
=λ内心P
：内切圆的圆心，角平分线的交点。
（单位向量）
外心P
垂心P ：高的交点：⋅=
==
⋅=⋅（移项，内积为0，则垂直）
1
AP =(+)
3重心P ：中线的交点，三等分点（中位线比）
中心：正三角形的所有心的合一。
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a =(a 1, a 2, a 3) ，b =(b 1, b 2, b 3) ，
（4）模长公式：若
则
|a |==，
|b |==（5
）夹角公式：
a ⋅b cos a ⋅b ==
|a |⋅|b |。
ΔABC 中①AB ∙AC >0A为锐角②AB ∙AC A为钝角，钝角Δ （6）两点间的距离公式：若A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，
则或
|AB |==d A , B =
，
7. 空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a , b ，在空间任取一点O ，作
；且规定OA =a , OB =b ∠A O B a ，则叫做向量与b 的夹角，记作
π = 0≤≤π，显然有=；若2，则称a 与b 互相垂直，
记作：a ⊥b 。
|a a OA =a OA （2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：|。
|a |⋅|b |⋅cos
记作a ⋅b ，即a ⋅b
=|a |⋅|b |⋅cos 。
>叫做a , b 的数量积，
（4）空间向量数量积的性质：
2 a ⋅e =|a |cos 。②a ⊥b ⇔a ⋅b =0。③|a |=a ⋅a 。
①
（5）空间向量数量积运算律：
(λa ) ⋅b =λ(a ⋅b ) =a ⋅(λb ) 。②a ⋅b =b ⋅a （交换律）
①。
a ⋅(b +c ) =a ⋅b +a ⋅c （分配律）③。
④不满足乘法结合率：
(a ⋅b ) c ≠a (b ⋅c )
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新课标高二数学同步测试—（2－1第三章3.1）
一、选择题：
1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若
1=，A 1D 1=，A 1A =. 则下列向量中与B 1M
量是（ ）
相等的向
11
++ 2211
C ．-+
22
A ．-
A ．=2-- C ．++=
' '
'
'
11
++ 2211
D ．--+
22
B ．
B ．OM =
（ ）
2．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是
111
++ 532
D ．+++=
'
3．已知平行六面体ABCD -A B C D 中，AB=4，AD=3，AA =5，∠BAD =90，
∠BAA ' =∠DAA ' =600，则AC ' 等于
A ．85
B
C ．
D ．50
（ ）
4．与向量a =(1, -3,2) 平行的一个向量的坐标是
（ ）
1
，1，1） 3
13
C ．（－，，－1）
22
A ．（
B ．（－1，－3，2） D ．（2，－3，－22）
5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量OA , 与OB 的夹角是（ ）
A ．0
B ．
π
2
C ．π
D ．
3π 2
6．已知空间四边形ABCD 中，===，点M 在OA 上，且OM=2MA，
N 为BC 中点，则=
B ．-
（ ）
121
-+ 232111
C ．+-
222
A ．211
++ 322221D ．+-
332
7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB ∙AC =0，AC ∙AD =0，AB ∙AD =0，
则∆BCD 是
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．不确定
（ ）
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8．空间四边形OABC 中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=600，则
=
（ ）
A ．
1
2
B ．
2 2
C ．-
1 2
D ．0
（ ）
9．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则∆ABC 的面积为
A ．3
B ．23
C ．6
D ．
6 2
（ ）
10． 已知=(1-t , 1-t , t ), =(2, t , t ) ，则|-|的最小值为
A ．
5
B ．
5
C ．
35
5
D ．
11 5
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．
11．若a =(2, 3, -1) ，b =(-2, 1, 3) ，则a , b 为邻边的平行四边形的面积为． 12．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，
点G 在线段MN 上，且=2，现用基组, , 表示向量，有
OG =xOA +y OB +z OC ，则x 、y 、z 的值分别为
13．已知点A(1，-2，11) 、B(4，2，3) ，C(6，-1，4) ，则∆ABC 的形状是． 14．已知向量a =(2, -3, 0) ，b =(k , 0, 3) ，若a , b 成1200的角，则k= ． 三、解答题：
15．如图，已知正方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 的棱长为a ，M
为BD ' 的中点，点N 在AC ' ' 上，且|A ' N |=3|NC ' |，试求MN 的长．
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16如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. （1）求的长；
（2）求cos的值 （3）求证：A 1B ⊥C 1M
.
二．空间向量与立体几何 1. 平面的法向量
如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α，此时我们把向量n 叫做α的法向量.
注：平面的法向量不是唯一的，因此采取灵活多样的方法来求出平面的法向量.
2平面法向量的求法：
①、几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直.
②、几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量
用待定系数法求解，一般步骤如下：
1、设出平面的法向量为n =(x , y , z ) .
2、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标
b =(b 1, b 2, b 3)
3根据法向量的定义建立关于x , y , z 的方程组.
，
a =(a 1, a 2, a 3)
⎧n a =0⎨
b =0 ⎩n
4解方程组，取其中的一个解，即取法向量
注（*）：由于一个平面的法向量有无数个，故可在带入方程的解中取一个最简单的作为平面的法向量
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3直线方向向量与平面的法向量与它们相对位置关系的判断方法1．线线平行⇔两线的方向向量平行
1-1线面平行⇔线的方向向量与面的法向量垂直 1-2面面平行⇔两面的法向量平行
2线线垂直（共面与异面）⇔两线的方向向量垂直 2-1线面垂直⇔线与面的法向量平行 2-2面面垂直⇔两面的法向量垂直
典型例题
题型一：证明多点共面
方法：若A , B , C , D 四点中任意三点不共线，则A , B , C , D 四点共面的充要条件为存在实数
λ1, λ2，使 AB =λ1AC +λ2AD
例：已知平行四边形ABCD ，从平面
AC
外一点o 引向量
OE =kOA , OF =kOB , OG =kOC , OH =kOD . 求证：E , F , G , H 四点共面
题型二：证明多线共面
方法：1先由两条直线确定一个平面并确定出此平面的一个基底；
2证明另外一些直线与此平面有交点，并可被所确定的基底线性表示.
题型三：异面直线的距离
第一步：求出异面直线a , b 的方向向量.
第二步：求出与a , b 的方向向量都垂直的向量，即直线a , b 公垂线的方向向量第三步：在直线a , b 上任取两点A , B
n
第四步：求出AB 在n 投影的绝对值，即为异面直线间距离
（ ）
A ．
2555 B ． C ． D ． 55105
2在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，则异面直线D 1E 和BC 1间的距离．
题型四：点到线距离求解
方法：设空间一点为A ，直线为l ，其方向向量为n ，在直线l 上任取一点B ，则点到直线
l
的距离d =AB sin AB , n
例：设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，边长为2，E 为DD 1中点，求AC 1与D 1B 交点O 到AC 的距离
题型五：点到面距离求解
方法：如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面→·|AB n |
α的距离d ＝|n |
例：知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面4
AB 1D 1的距离是________．3
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题型八：求线到面、面到面的距离：这类问题可以转化为点到面的距离
例：在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则平面AB 1C 与平面A 1C 1D 间的距离 （ ）
A ．
6
B ．
3
C ．
2 3
D ．
3 2
题型九：异面直线所成角的求解 方法：线线夹角θ
（共面与异面）[0O , 90O ]⇔两线的方向向量n 1, n 的夹
2
角或夹角的补角，cos θ=cos
例：在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BCA ＝90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成的角的余弦值是( )
A. C.
1030
15
1B. 2D.
1510
答案：A
题型十：线面所成角的求解
方法：线面夹角θ[0O , 90O ]：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角. sin θ=cos
例：[2013·佛山质检]已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直
线AE 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值________．答案：
5
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题型十一：二面角的平面角的求解
方法：θ[0O , 180O ]：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量n 1, n 2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.
cos θ=±cos
例：如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．
(1)证明：PC ⊥平面BEF ；
(2)求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小．
11
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练习：
１已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角的大
小
２．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 分别是A 1C 1、A 1D 和B 1A 上任一点，求证：平面A 1EF ∥平面B 1MC ．
３．在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD =90°，AD ∥BC ，AB =BC =a ，AD =2a ，且P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角．
（1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；
（2）求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．
４．已知棱长为1的正方体A C 1，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 的中点．
（1）求证：E 、F 、D 、B 共面；
（2）求点A 1到平面的B DEF 的距离；
（3）求直线A 1D 与平面B DEF 所成的角．
５已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为棱AB 的中点，求：
（Ⅰ）D 1E 与平面BC 1D 所成角的大小；
（Ⅱ）二面角D －BC 1－C 的大小；
（Ⅲ）异面直线B 1D 1与BC 1之间的距离．
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