空间向量与立体几何知识点归纳总结
一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
运算律：⑴加法交换律：a +b =b +a
OB =OA +AB =a +b ; BA =OA -OB =a -b ; OP =λa (λ∈R )
⑵加法结合律：(a +b ) +c =a +(b +c )
⑶数乘分配律：λ(a +b ) =λa +λb
运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于
b ，记作
a a a （2）共线向量定理：空间任意两个向量、b （b ≠0），//b 存在实数λ，使＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线
a //b 。
=λ
=x +y (其中x +y =1)
±a
（4）与共线的单位向量为
4. 共面向量
（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量a , b 不共线，p 与向量a , b 共面的条件是存在实数x ,
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面
y 使p =xa +yb 。
AP =x +y
OP =x +y +z (其中x +y +z =1)
5. 空间向量基本定理：如果三个向量a , b , c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组
x , y , z ，使p =xa +yb +zc 。
若三向量a , b , c 不共面，我们把{a , b , c }叫做空间的一个基底，a , b , c 叫做基向量，空间任意三个不共面
推论：设O , A , B , C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数
的向量都可以构成空间的一个基底。
OP =xOA +yOB +zOC 。
6. 空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系
x , y , z ，使
O -xyz
中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组
(x , y , z )
，使
OA =xi +yi +zk ，有序实数组(x , y , z ) 叫作向量A 在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标，记作A (x , y , z ) ，x 叫
横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z)
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{i , j , k }表示。空间中
任一向量
=x +y +z =（x,y,z ）
①若a =(a 1, a 2, a 3) ，b =(b 1, b 2, b 3) ，则a +b =(a 1+b 1, a 2+b 2, a 3+b 3) ，
a ⋅b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3，
（3）空间向量的直角坐标运算律：
a -b =(a 1-b 1, a 2-b 2, a 3-b 3) ，λa =(λa 1, λa 2, λa 3)(λ∈R ) ，
②若A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则AB =(x 2-x 1, y 2-y 1, z 2-z 1) 。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ③定比分点公式：若
a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0。
a //b ⇔a 1=λb 1, a 2=λb 2, a 3=λb 3(λ∈R ) ，
A (x 1, y 1, z 1)
，
B (x 2, y 2, z 2)
。
推
导
，AP =λPB ，则点
P 坐标为
x 1+λx 2y 1+λy 2z 1+λz 2(, , ) 1+λ1+λ1+λ
：设P （x,y,z ）则
(x -x 1, y -y 1, z -z 1) =λ(x 2-x , y 2-y , z 2-z ) , 显然，当P 为AB 中点时，
x 1+x 2y 1+y 2z 1+z 2P (, , )
222
中，A（x1, y 1, z 1）, B (x 2, y 2, z 2), C (x 3, y 3, z 3) ，三角形重心④∆ABC
x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3z 1+z 2+z 3P (, , )
322
⑤ΔABC 的五心：
内心P
：内切圆的圆心，角平分线的交点。AP =λP 坐标为
+
（单位向量）
外心P
：外接圆的圆心，中垂线的交点。垂心P ：高的交点：⋅=
==
⋅=⋅（移项，内积为0，则垂直）
1
AP =(+) 重心P ：中线的交点，三等分点（中位线比）
3
中心：正三角形的所有心的合一。
（4）模长公式：若a =(a 1, a 2, a 3) ，b =(b 1, b 2, b 3) ，
|a |==则 a ⋅b
cos a ⋅b ==（5
）夹角公式：|a |⋅|b |ΔABC 中①∙>0A为锐角②∙A为钝角，钝角Δ
（6）两点间的距离公式：若A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，
，|b |== 。
则|AB |==
或d A , B =
A =aO B , b =，则∠A O B （1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a , b ，在空间任取一点O ，作O
叫做向量a 与b 的夹角，记作；且规定0≤≤π，显然有=；若
π
=，则称a 与b 互相垂直，记作：a ⊥b 。
2
（2）向量的模：设OA =a ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：|a |。
|a |⋅|b |⋅cos （3）向量的数量积：已知向量a , b ，则叫做a , b 的数量积，记作a ⋅b ，即
, >。 a ⋅b =|a |⋅|b |⋅cos
（4）空间向量数量积的性质：
7. 空间向量的数量积。
2
①a ⋅e =|a |cos 。②a ⊥b ⇔a ⋅b =0。③|a |=a ⋅a 。
（5）空间向量数量积运算律：
①(λa ) ⋅b =λ(a ⋅b ) =a ⋅(λb ) 。②a ⋅b =b ⋅a （交换律）。
③a ⋅(b +c ) =a ⋅b +a ⋅c （分配律）。
④不满足乘法结合率：
二．空间向量与立体几何
1．线线平行⇔两线的方向向量平行
1-1线面平行⇔线的方向向量与面的法向量垂直 1-2面面平行⇔两面的法向量平行
2线线垂直（共面与异面）⇔两线的方向向量垂直 2-1线面垂直⇔线与面的法向量平行 2-2面面垂直⇔两面的法向量垂直
(⋅) ≠(⋅)
cos 3线线夹角θ（共面与异面）[0O , 90O ]⇔两线的方向向量n 1, n 2的夹角或夹角的补角，
O
O
θ=cos
3-1线面夹角θ[0, 90]：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，
若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角. 3-2面面夹角（二面角）θ
sin θ=cos
的夹角；法向
[0O , 180O ]：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量n 1, n 2
量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.
cos θ=±cos
4．点面距离h ：求点P (x 0, y 0)到平面α的距离： 在平面α上去一点Q (x , y )，得向量PQ ; ； 计算平面α的法
向量n
;. h =
4-1线面距离（线面平行）：转化为点面距离 4-2面面距离（面面平行）：转化为点面距离
【典型例题】
1．基本运算与基本知识（）
例1. 已知平行六面体ABCD －A 'B 'C 'D '，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。
⑴AB +BC ； ⑵AB +AD +AA '； 1 1
⑶AB +AD +CC '； ⑷(AB +AD +AA ') 。
23
例2. 对空间任一点O 和不共线的三点A , B , C ，问满足向量式：
。。。。。
例3 已知空间三点A （0，2，3），B （－2，1，6），C （1，－1，5）。
OP =xOA +yOB +zOC （其中x +y +z =1）的四点P , A , B , C 是否共面？
⑴求以向量AB , AC 为一组邻边的平行四边形的面积S ；
⑵若向量a 分别与向量AB , AC 垂直，且|a |＝，求向量a 的坐标。
2．基底法（如何找，转化为基底运算）
3．坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标）
4．几何法
编号03晚自习测试；17，18题
例4. 如图，在空间四边形OABC 中，OA =8，AB =6，AC =4，BC =5，∠OAC =45，∠OAB =60，求OA 与BC 的夹角的余弦值。
说明：由图形知向量的夹角易出错，如=135易错写成=45 ，切记！
F 为BC 1与B 1C 的交点，又AB =BC =4，E 为AC 例5. 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，11与B 1D 1的交点，
AF ⊥BE ，求长方体的高BB 1。
【模拟试题】
1. 已知空间四边形ABCD ，连结AC , BD ，设M , G 分别是BC , CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果
向量：（1）AB +BC +CD ；
1 1 （2）AB +(BD +BC ) ； （3）AG -(AB +AC ) 。
22
2. 已知平行四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量。
OE =kOA , OF =kOB , OG =kOC , OH =kOD 。 （1）求证：四点E , F , G , H 共面； （2）平面AC //平面EG 。
3. 如图正方体ABCD -A 1=1B 1C 1D 1中，B 1E 1=D 1F
1
A 1B 1，求BE 1与DF 1所成角的余弦。
4
5. 已知平行六面体ABCD -A 'B 'C 'D '中，
AB =4, AD =3, AA '=5, ∠BAD =90 ， ∠BAA '=∠DAA '=60 ，求AC '的长。
[参考答案]
1. 解：如图，
（1）AB +BC +CD =AC +CD =AD ；
1 1 1 （2）AB +(BD +BC ) =AB +BC +BD 。
222
=AB +BM +MG =AG ；
1 （3）AG -(AB +AC ) =AG -AM =MG 。
2
ABCD 2. 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴AC =AB +AD ，
∵EG =OG -OE ，
=k ⋅OC -k ⋅OA =k (OC -OA ) =k AC =k (AB +AD )
=k (OB -OA +OD -OA ) =OF -OE +OH -OE =EF +EH
∴E , F , G , H 共面；
（2）解：∵EF =OF -OE =k (OB -OA ) =k ⋅AB ，又∵EG =k ⋅AC ， ∴EF //AB , EG //AC 。 所以，平面AC //平面EG 。 3.
解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系O -xyz ， 则B (1,1,0)，E 1(1,,1) ，D (0,0,0)， F 1(0,,1) ，
11
∴BE 1=(0,-,1) ，DF 1=(0,,1) ，
44
∴BE 1=DF 1=，
1115BE 1⋅DF 1=0⨯0+(-⨯) +1⨯1=。
4416
3414
15
15 cos BE 1, DF 1==。
17
AB ⋅AC 1
= 4. 分析：⑴ AB =(-2, -1,3), AC =(1,-3,2), ∴cos ∠BAC =|AB ||AC |2
∴∠BAC ＝60
°，∴S =|AB ||AC |sin60 =
⑵设a ＝（x ，y ，z ），则a ⊥AB ⇒-2x -y +3z =0,
a ⊥AC ⇒x -3y +2z =0,|a |⇒x 2+y 2+z 2=3
解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝（1，1，1）或a ＝（－1，－1，－1）。
2 2
5. 解：|AC '|=(AB +AD +AA ')
2 2 2 =|AB |+|AD |+|AA '|+2AB ⋅AD +2AB ⋅AA '+2AD ⋅AA '
=42+32+52+2⨯4⨯3⨯cos90 +2⨯4⨯5⨯cos60 +2⨯3⨯5⨯cos60 =16+9+25+0+20+15=85
所以，|AC '|=