动点轨迹方程的常见求法
湖南省临澧县第一中学 朱福文 胡鸥 415200
一、待定系数法；
它常常适用于动点轨迹的曲线类型已知或利用已知条件可直接推断出其轨迹的曲线方程。其解题步骤为：先设出对应类型的轨迹方程；再求出所设方程中的待定系数。
例1、已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2，另一双曲线和椭圆有公共焦点，
且椭圆的半长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆的离心率和双曲线的离心率之比为3 / 7。求椭圆和双曲线的方程。
解：如果双曲线和椭圆的焦点在x 轴上，即椭圆的长轴、双曲线的实轴在x 轴上，那么可设椭x 2y 2x 2y 2
圆方程为2+2= 1，双曲线的方程为2－2= 1。 a b m n
2c = 2 , ∴c = .
a – m = 4 , c c 3: = , ∴a = 7 , m = 3 . m n 7
b 2 = a2－c 2 = 36 , n 2 = c2－ m 2 = 4 .
x 2y 2x 2y 2
+= 1，双曲线的方程为－= 1 ； ∴椭圆方程为949364
如果双曲线和椭圆的焦点在y 轴上，同理可得：
y 2x 2y 2x 2
+= 1，双曲线的方程为－= 1 。 ∴椭圆方程为449369
二、直译解析法；
该方法的主要思路就是将题目中的几何条件直接翻译为代数条件。它主要通过建系、设点、列式、化简、讨论等步骤得到所求的曲线轨迹方程。
例2、已知两定点A 、B ，AB = 3，求使∠PBA = 2∠PAB成立的动点P 的轨迹方程。 解： 以点A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，
建立直角坐标系如右图： 则B 点坐标为(3, 0)，设P 点坐标为(x, y),
∠PAB = α , 则∠PBA =2α y = KPB = tg(π－2α) = - tg2α x -3
y -2(-2tg αx = -2xy = = y 21-tg 2αx 2-y 21-() x
∴y = 0 (0
2y 2
即y = 0 (0
三、曲线定义法；
若动点轨迹直接符合已知圆锥曲线定义，则可直接利用定义写出其方程。
例3、已知定点A(0, 7), B(0, -7), F1(12, 2)，以F 1为一个焦点，作过AB 的椭圆，求另一个焦点
F 2的轨迹。 解：根据椭圆的定义，AF 1 + AF 2 = BF 1 + BF 2，但AF 1=13，BF 1= 15， 故得AF 2+13 = BF 2+15，即F 2A －F 2B = 2
根据定义，动点F 2的轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长2a = 2的双曲线的下支， x 2
F 2A > F 2B ，其轨迹方程为：y － = 1 (y ≤ -1) 482四、几何性质法；
根据动点所满足的平面几何性质得到等量关系求出其轨迹方程。
例4、已知圆O ：x + y = 16及点A(2, 0)，求过A 且与圆O 相切的诸圆圆心P 的
轨迹方程。
解：如右图：过A 且与圆O 相切的圆，只能与圆O 相内切，根据两圆相内切的性质：
连心线必过其切点，设切点为M ，则O 、P 、M 共线， 22
∴OM = OP + PM 。又因为A 在圆P 上，
∴PM = 。∴OP + =OM = 4。 故P 的轨迹是以O 、A 为焦点，长轴长为 OM = 4的椭圆。 （x -1) 2y 2
故 P 的轨迹方程：+= 1。 43
五、相关点法；
若动点P(x, y)依赖于某已知曲线上的另一个动点P 1(x1,y 1) 而运动，且x 1, y1可用x, y表示，则将P 1(x1,y 1) 代入已知曲线，求出P 点的轨迹方程。此法也称代入法或转移法。
例5、定点A(3,0)为圆x + y = 1外一定点，P 为圆上任一点，（除出圆与x 轴的交点）, ∠POA
的平分线交PA 于点Q, 求出Q 点的轨迹方程。
解：如右图：设Q(x,y) , P(xo ,y o ) ,
由于OQ 平分∠POA , 则有：
22λ=AQ OA ==3 ，即Q 分AP 的比为3， QP OP
4x 0=x 解得{34y 0=y 3由定比分点公式得： {x =3+3x 01+33y 0y =1+3 代入x + y = 122
（x －3292） + y = 。 416
六、复数法；
利用复数的几何意义，把动点的运动看成是复数对应的向量的旋转与模的伸长与缩短而得出所求的轨迹方程。
x 2y 2
例6、已知椭圆+= 1的右焦点为F ，B 为椭圆上的动点，ΔFAB 为正三角形，且F 、A 、95
B 为逆时针方向排序，求出A 点的轨迹方程。
解：设椭圆上任意一点所对应的复数是Z B ，依题意复数满足方程：
Z B +2 + Z B -2 = 6。设点A 所对应的复数是Z ，
因为F 、A 、B 为逆时针方向排序，ΔFAB 为正三角形，
所以向量可由向量沿逆时针方向旋转π而得到。 3
∴Z B －2 = (Z – 2)(cos
1(1 + 2ππ + isin) ① y 33 Z B + 2 =)(Z －23i) ② 对①、②两式分别取模后相加得： Z -2 + Z -2i = Z B +2 + Z B -2 = 6
故A 点的轨迹的复数方程为：Z -2 + Z -23i = 6。
七、引参消参法；
若题目出现当动点运动所受限制条件较多，不易直接建立x 、y 的某种联系，但且发现x 、y 同时受到另外一个变量t （如角度、斜率、截距等）的制约而将它们用t 表示，然后通过消去变量t 而得到所要求的动点的轨迹方程f(x, y)=0。
例7、过点M(-2, 0) 作直线L 交双曲线x －y = 1于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB 。求动点P 的轨迹方程。
解：设过M 的直线方程为: y = k (x + 2) (k≠0，k ≠±1) ，
代入双曲线x －y = 1得：（1－ k ）x －4 kx －4 k－1 = 0 22222222
OAPB 为平行四边形，则：
4k 2
x P = xA + xB = ； y 21-k
y P = yA + yB = k (xA + xB ) + 4k =
消去k 得x P 24k 。
1-k 2－y P 2+ 4xp = 0 当L ⊥x轴时，P 点坐标为（-4，0），也满足
上述方程。而由k ≠0，得x P ≠0。
故所求的轨迹方程为：x －y + 4x = 0 (x≠0) 。 22
八、交轨法；
它常常适用于出现需求两曲线交点的轨迹方程问题 ，解此类问题往往需借助解方程组得出含有某参数的交点坐标，再消去参数而得到所求动点的轨迹方程。
x 2y 2
例8、已知椭圆2+2= 1（a>b>0）和定点A(0, b), B(0, -b), C是椭圆上的动点, 求ΔABC 的a b
垂心H 的轨迹方程。
解：设椭圆上C 点(acosθ, bsinθ) ，又A(0, b)、B(0, -b)。
∴AC 边的高线的方程为：y = a cos θx －b , b -b sin θ
而AB 边的高线的方程为：y = bsinθ ,
设H(x, y)，则点H 适合
{a cos θx -b b -b sin θ
y =b sin θy =⎧⎪ 即⎨⎪⎩x =b 2cos θa y =b sin θ22 ，由cos θ + sinθ = 1得
y 2x 2
+2= 1。又点C 不能与A 、B 重合，所以y ≠±b 。 42b a b
y 2x 2
故所求的轨迹方程为：42+2= 1 （x ≠0）。 b a b
九、极坐标法；
根据题意建立极坐标系，引入动点的极坐标，寻找动点变量间的等量关系而求出动点轨迹的极坐标方程，再化极坐标方程为普通方程。
例9、已知∠AOB =2α(0
2四边形OQPR 的面积为定值a ，求动点P 的轨迹方程。
解：以O 点为极点，∠AOB的平分线为极轴建立极坐标系，设P(ρ, θ) ∴ = ρcos(θ+α) , PR = ρsin(θ+α),
OQ = ρcos(α－θ) , = ρsin(α－θ) ∴1ρ2sin(θ+α)cos(θ+α) +
2
1ρ2 sin(α－θ) cos(α－θ) = a2 O 2
122即ρ[ sin2(θ+α) + sin2(α－θ)] = a 4
12a 2
222 ∴ρ sin2α cos2θ = a ∴ρ cos2θ = 2sin 2α
即动点P 的轨迹方程为：x －y = 2acsc2α (在∠AOB的内部的一段) 。 222 A
十、向量法;
利用向量具有几何和代数形式的双重属性来探求解析几何轨迹问题也是常见的方法之一. 例10 、两根杆分别绕着定点A 和B (AB = 2a) 在平面内转动, 并且转动时两杆保持相互垂直, 求两杆交点的轨迹方程.
解：建立坐标系如右图:设点P 的坐标为(x , y), 则
= (x+a , y) , = (x－a , y) AP ⊥BP
∴AP ·BP = (x+a)(x－a) + y2= 0 ,即所求的轨迹方程为:x+ y= a(x ≠±a) .
222