变量之间的相关关系教学设计

变量之间的相关关系教学设计

苏松廉

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二．教学目标分析:

（1）通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.

(2) 了解最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想

,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．

(3)在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性回归直线，会用线性回归方程进行预测.

三．教学重点与难点：

教学重点：回归直线方程的求解方法． 教学难点：回归直线方程的求解方法.

四.教学过程课堂设计:

1．创设情景，揭示课题

的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到散点图.

从散点图可以看出.这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线的附近.

如果散点图中点的分布从整体看大致分布在一条直线的附近,我们称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线.

如果能够求出这条回归直线的方程,我们就可以比较清楚的了解热茶销量与气温之间的关系. 2.最小二乘法

选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系? 我们有多种思考方案:

(1)选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线； （2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；

（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直

线的斜率、截距； ………………

怎样的直线最好呢? ------从整体上看,各点与此直线的距离最小.

ˆbxa的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近. 即: 用方程为y

ˆbxa与图中六个点的接近程度呢？ 那么，怎样衡量直线y

ˆ的值: 我们将表中给出的自变量x的六个值带入直线方程,得到相应的六个y

26ba,18ba,13ba,10ba,4ba,ba.这六个值与表中相应的实际值应该越接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和:

Q(a,b)(26ba20)2(18ba24)2(13ba34)2(10ba38)2

(4ba50)2(ba64)2

1286b26a2140ab3820b460a10172

ˆbxa与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来衡量Q(a,b)是直线y

ˆbxa与图中六个点的接近程度,所以,设法取a,b的值,使Q(a,b)达到最小值.这种直线y

方法叫做最小平方法(又称最小二乘法) .

140a3820

时, Q取得最小

21286140b460

值.同理, 把b看作常数,那么Q是关于a的二次函数.当a时, Q取得最小

12

先把a看作常数,那么Q是关于b的二次函数.易知,当b

140a3820b值.因此,当21286时，Q取得最小值，由此解得b1.6477,a57.5568.所求

a140b46012

ˆ1.6477x57.5568.当x5时,yˆ66,故当气温为5C时,热茶销直线方程为y

量约为66杯.

3.线性回归方程的求解方法

一般地,设有n个观察数据如下：

当a,b使Q(y1bx1a)(y2bx2a)...(ynbxna)取得最小值时,就

ˆbxa为拟合这n对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线. 称y

上述式子展开后，是一个关于a,b的二次多项式，应用配方法，可求出使Q为最小值时的a,b的值．即

nn

(xix)(yiy)xiyinxy

i1i1

bnn2nn

112(xix)xinx,（*） xi, yi ni1ni1i1i1

aybx

线性回归方程是

ˆbxa,其中b是回归方程的斜率,a是截距.系数 y

4.求线性回归方程的步骤：

(1)计算平均数,；

(2)计算xi与yi的积，求(3)计算

xy

i

ii

i

；

x

2i

；

b

(4)将结果代入公式

xy

i1ni1

n

nxy

2



,求b；

xi2nx

(5)用 ab,求a； (6)写出回归方程5. 线性回归方程的应用

(2)求出回归直线方程

解：(1)散点图（略）．

4.75,2故可得到 7000730

a399.34.7530257

b

^

从而得回归直线方程是y4.75x257．

6.小结：

对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a,b的计算公式，算出a,b．写出回归方程