椭圆及其简单几何性质
教学目标
1、根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；
2、根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图． 3、掌握直线与椭圆位置关系的相关知识． 教学重难点：
1、椭圆的简单几何性质．(重点) 2、求椭圆的离心率．(难点) 教学过程： 复习旧知：
1、 椭圆的定义。 2、 椭圆的标准方程 练习：
1、已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为15，则此椭圆的标准方程为________．
x 2y 2
2、如果方程＋1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是 ( ) ．
a a ＋6
A ．a >3 B．a 3或a 3或－6
3、设F 1，F 2＋＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于
94( ) ．
A ．5 B 4 C．3 D．1 新知导学
x 2y 2
1
称为离心率，记e =，且
0
离心率：刻画椭圆 程度． 椭圆的焦距与长轴长的比
反思与小结：
1、椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a 、b 的值可确定其性质
2、明确a ，b 的几何意义，a 是长半轴长，b 是短半轴长，不要与长轴长、短轴长混淆，由c 2＝a 2－b 2，可得“已知椭圆的四个顶点，求焦点”的几何作图法，只要以短轴的端点B 1(或B 2) 为圆心，以a 为半径作弧交长轴于两点，这两点就是焦点．
b c
3、或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？
a b
4、你能运用三角函数的知识解析，为什么e =
c c
越大，椭圆越扁；e =越小，椭圆越圆；当C=0时，a a
图形又是什么样的呢？
5、在椭圆上到某焦点的距离取得最大值的点在哪里？最小的点呢？ ※ 典型例题
例1 求椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
扩展：已知椭圆mx +5y =5m (m >0)的离心率为e =
2
2
m 的值
小结：①先化为标准方程，找出a , b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴． 例2 点M (x , y ) 与定点F (4,0)的距离和它到直线l :x =
分析：若设点M (x , y )，则MF =得点M 的轨迹方程．
254
的距离的比是常数，求点M 的轨迹． 45
，到直线l ：x =
2525
的距离d =x -，则容易
44
2
引申：（用《几何画板》探究）若点M (x , y )与定点F (c ,0)的距离和它到定
a 2c 直线l ：x =的距离比是常数e =(a >c >0)，则点M 的轨迹方程是
c a
a 2
椭圆．其中定点F (c ,0)是焦点，定直线l ：x =相应于F 的准线；由椭
c
a 2
圆的对称性，另一焦点F '(-c ,0)，相应于F '的准线l '：x =-
c
小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆 ． ※ 动手试试
练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
1
⑴焦点在x 轴上，a =6，e =；
33
⑵焦点在y 轴上，c =3，e =；
5
⑶经过点P (-3,0) ，Q (0,-2) ；
3
⑷长轴长等到于20，离心率等于．
5
例题3如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率
练习：如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( ) ．
12
A. B. 55 C.
52555
※ 学习小结
1 ．椭圆的几何性质：
图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率； 2 ．理解椭圆的离心率．
3
※ 当堂检测：
x 2y 2
1．若椭圆+m 的值是（ ）． =
1的离心率e =
5m
25
A ．3 B．3或 C
D
3
2．若椭圆经过原点，且焦点分别为F 1(1,0)，F 2(3,0)，则其离心率为（ ）．
3211A ． B． C． D．
4324
2
3
，离心率e =的椭圆两焦点为F 1, F 2，过F 1作直线交椭圆于A , B 两点，则∆ABF 2的周长为
3
（ ）．
A ．3 B．6 C．12 D．24
x 2y 2
4．已知点P 是椭圆+=1上的一点，且以点P 及焦点F 1, F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的
54
坐标是 ．
5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ． 1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴经过点P (-
，Q ；
⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点P (3,0)； ⑶焦距是8，离心率等于0.8．
x 2y 2
2．过椭圆221(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭
a b
圆的离心率为 ( ) ． A.
53 23
11C. D. 23
自我反思：
4