朗兰兹纲领与菲尔兹奖
邓超 （福建省福州市第十八中学 350001）
在数学中，被称为纲领的成果屈指可数，大致只有爱尔兰根纲领(Erlanger Program) 、希尔伯特纲领（Hilbert's Program）和朗兰兹纲领（Langlands Program）这三个。爱尔兰根纲领和希尔伯特纲领是19世纪后半业至20世纪初的产物，他们在数学史上都产生了重要的作用，影响了数学相关领域很长的时间。而朗兰兹纲领，它诞生与20世纪60年代，它的诞生已经引领了数学发展30余年，并且仍将继续引领着数学的发展。了解它，就能了解数学发展的一个侧面，因此它是今天我们着重要介绍的。
朗兰兹纲领最初由1995——1996年度沃尔夫奖获得者罗伯特·朗兰兹于1967在一封给安德烈·韦伊的信件中提出的，它是数学中一系列影响深刻的构想，联系了数论、代数几何以及群表示理论。依靠朗兰兹纲领，数学家在一个领域不能解决的问题，可以在其他领域证明解决。而如果在另一个领域内仍然难以找到答案，那么可以把问题再转换到下一个数学领域中，直到它被解决为止。所以朗兰兹纲领是21世纪最大的难题，也是未来最有潜力的研究领域。
罗伯特·朗兰兹本人在非交换调和分析、自守形式理论和数论的跨学科领域进行深入研究，得出把它们统一在一起的Langlands 纲领，并首先证明数域GL(2)的情形（同Jacquet 一起） 他在构造实可约群及P-adic 可约群方面发展了一整套技术。证明特殊情形的Artin 猜想，发展证明Euler 积的函数方程存在的Langlands －Shahidi 方法。提出Langlands 猜想：一大类Euler 积均具有函数方程，特别对于典型群，有“基底变换”现象。
朗兰兹纲领的根源可以追溯到数论中的最深刻的结果之一—二次互反律。二次互反律最早产生与17世纪费马的时代，最后由欧拉明确的提出。数论中经常提到的一个重要的问题是：当两个素数相除时，余数是否是完全平方？二次互反律揭示了关于素数p 和q 的两个貌似无关的问题直接存在的奇妙联系。这两个问题是：“p 除以q 的余数是否为完全平方？”“q 除以p 的余数是否为完全平方？”高斯先后给出了二次互反律的8种不同证明，并称它是数论中的一块宝石，数论中的酵母，是黄金定理。直到现在数学家们已经给出了200种以上的证明，证明还在不断增加，足见该定理的魅力。
1920年日本数学家高木贞治发展了关于数域的阿贝尔扩张的理论，类域论。1925年，奥地利数学家阿廷利用类域论又发现了适用于较一般情形的互反律，这被称为阿廷互反律。我们可以将阿廷互反律为朗兰兹纲领之起点。给定一个Q 上的、伽罗瓦群为可交换群的数域，阿廷互反律向这个伽罗瓦群的任何一支一维表示配上一枚L 函数，并断言：此等 L-函数俱等于某些 狄利克雷L 函数（黎曼ζ函数的类推，由狄利克雷特征表达）。此二种L-函数之间的准确的联系构成了阿廷互反律。若给定不可交换伽罗瓦群及其高维表示，我们仍可定义一些自然的相配的L-函数——阿廷L 函数。朗兰兹又经过深入的研究，将他的猜想扩展到函数域上，得到了更为完备的朗兰兹纲领。
朗兰兹洞察到：当找到适当的狄利克雷L-函数的推广，便有可能推广阿廷互反律。赫克（Erich Hecke）曾联系全纯自守形式（定义于上半复平面上、满足某些函数方程的全纯函数）与狄利克雷L 函数。朗兰兹推广赫克理论，以应用于自守尖点表示（自守尖点表示是Q-阿代尔环上一般线性群 GLn 的某类无限维不可约表示）。朗兰兹为这些自守表示配上L-函数，然后猜想（互反猜想）： 每一来自给定数域的伽罗瓦群的有限维表示的阿廷 L-函数，都相等于某一来自自守尖点表示的L-函数。若要建立一一对应，须考虑较伽罗瓦群的适当扩张，称作韦依-德利涅群。在可交换的例子，这相当于将狄利克雷特征推广为赫克特征。互反猜想蕴含阿廷猜想。
朗兰兹再进一步推广：以任何连通约化群 G 代替上文中的一般线性群GL n ；构筑复李群 LG （所谓朗兰兹对偶群，或L 群）；以自守表示的L 包代替自守表示；每个L 包是自守表示组成的有限集，属同一L 包的表示称作L 不可辨的。向每一个 G 的自守尖点表示和每一个 LG 的有限维表示，配与一个L-函数；同一L 包中的表示有相同的 L-函数及 -因子。朗兰兹并猜想：此两个 L-函数满足某函数方程。朗兰兹更构想了一道非常广泛的函子性原则（Functoriality Principle ）：函子性猜想. 若指定二约化群，并指定其相应的L 群之间的可容许同态，则二约化群的自守表示之间应该有某种与其 L-函数相容之关系。函子性构想本质上是一种诱导表示构造（在传统的自守形式理论中称为提升，在某些特殊情况下已知），因而是协变的（相反地，受限表示构造是逆变的）。各种直接构造的尝试只产生了一些条件性的结果。上述各猜想亦有其他域上的版本：数域（最早期的版本）、局部域及函数域（即Fp(t)的有限扩张； 其中p 是一 素数， Fp(t) 是 p 元有限域上的有理函数域）。局部域的与数域的朗兰兹纲领满足一些相容性，二者之方法亦互为用。
数域上的朗兰兹纲领可以翻译到几何的框架，从而得到几何化朗兰兹纲领。
朗兰兹提出朗兰兹纲领的最初动机，就是要对更一般情形的互反律提供一种完全的理解。朗兰兹凭借其数学才华与远见卓识，看到了数学世界中的很大一部分内容能够以一种完全意想不到的方式联系在一起。他通过20世纪60年代和70年代的工作，告诉人们：代数中的基本对象跟分析中同样基本的对象牢牢地栓在一起。一方面，存在着决定数和代数方程如何运作的基本数学事实；另一方面，又存在着决定函数和微分方程性质的基本事实。朗兰兹提出的这两类对象之间的关系提供了统一数学的原则，这是有深远意义的。
自提出以来，朗兰兹纲领的影响近年来与日俱增，与它有关的每一个新的进展都被看作是重要的成果。特别是，自从1990年以来，有3位数学家的工作因为部分解决了朗兰兹纲领中的猜想，从而获得了菲尔兹奖，这足以看出朗兰兹纲领的重要性。正如，著名数学家，1974年度菲尔兹奖得主邦别里所说：数学家们已经沿着朗兰兹的思想工作了25年，越来越多的证据说明事情正在按他所说的那样发展，他成了数学前进的一种推动力。菲尔兹奖是一个在国际数学联盟的国际数学家大会上颁发的奖项。它每四年颁奖一次，颁给二至四名有卓越贡献的年轻数学家。得奖者须在该年元旦前未满四十岁。菲尔兹奖是据加拿大数学家约翰·查尔斯·菲尔兹的要求设立的，并为了纪念他而被命名为菲尔兹奖，它被视为数学界的诺贝尔奖。
第一位因为研究朗兰兹纲领而获得菲尔兹奖的数学家是弗拉基米尔·德林费尔德。第一位因为研究朗兰兹纲领而获得菲尔兹奖的数学家是乌克兰数学家弗拉基米尔·德林费尔德。德林费尔德1954年2月4日出生于哈尔科夫。11岁时进入哈尔科夫传授数学、物理的专门学校学习，15岁考入莫斯科大学数学系，师从著名数学家马宁教授，1974年研究生毕业后他先到一所地方性大学工作，后来回到哈尔科夫，在低温物理技术研究所的数学物理研究室从事数学研究，1992年他当选为乌克兰国家科学院院士，目前在美国芝加哥大学担任哈里·普拉·特贾德森杰出服务教授。由于他在朗兰兹纲领和量子群这两个领域取得了决定性的突破并促进了一大批研究的进展，他于1990年获得菲尔兹奖。德林费尔德解决了朗兰兹纲领中的一个极其特殊但颇为重要的情形：GL 2上的函数域。在研究这个问题时，他阐述
了一个椭圆模的概念，这个模就是以他名字命名的德林费尔德模。设X 是一个F q 有理点在有限域F q 上的一条完全光滑的代数曲线。设K 是X 的分数组成的域。朗兰兹纲领断言存在
（1）和（2）之间的一个自然的一一对应。
（1）Gal (K /K ) 的不可约l 进N 维表示的相容族。这里的相容族是指对每个不能整除A 的素数l 给出一个不可约l 进N 维表示，并且对于不同的素数l 的这些表示需要具有在适当的意义下任何弗罗贝尼乌斯元素的迹必不依赖于l 的性质。
（2）在K 上的GL N 的尖点自同构表示。
在假定对（1）和对（2）的L 函数和“ε因子”相对应的理论的意义下，（1）和（2）间的一一对应被希望是自然的。在德林费尔德的工作之前，我们已经有了对于N=2时的从
（1）到（2）的一种方法（这要归功于格罗滕迪克、朗兰兹和德利涅）。至于怎么从（2）到
（1）还是一个谜。然而，利用德林费尔德的理论，我们现在可以在函数域情形下从（2）到
（1）。
借助于完全不同而又绝对巧妙的论证（他的消没闭链定理），德林费尔德可以在N=2的情形下从（2）走到（1），即使他仅被给予Gal (K /K ) 的不可约l 进二维表示中的一个而不是一族“相容族”。这就完全解决了当N=2是的朗兰兹纲领，而且非常彻底。正是凭借着这项工作，当然还有量子群等方面的工作，德林费尔德获得了1990年的菲尔兹奖。
值得一提的是1994年，安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles) 证明费马大定理，由于这一杰出成就，他与朗兰兹一同获得了1995-1996年度的沃尔夫奖，并于1998年获得了菲尔兹奖特别贡献奖，这是迄今为止唯一一个特别贡献奖，据说在宣布他获得该奖时，他获得了比其他四位菲尔兹奖得主更为热烈和持久的掌声。他对费马大定理的证明是对朗兰兹纲领最强有力的支持。 费马大定理是17世纪有着“业余数学家之王”美誉的费马提出的。它指出：不存在满足不定方程x +y =z , n >2的正整数解。
1955年，日本数学家谷山丰提出了一个猜想：有理数域上所有椭圆曲线可以从一类特殊的曲线通过某种变换得到。人们称这种椭圆曲线为模曲线。这个猜想后来经韦依、志村五郎加以完善，被称做谷山－韦依－志村猜想，即有理数域上所有椭圆曲线都是模曲线。
1985年，美国数学家弗雷指出了谷山－韦依－志村猜想和费马大定理之间的关系；他提出了一个命题：假定费马大定理不成立，即存在一组非零整数A,B,C, 使得A +B =C
2n n n n n __n n n （n>2),那么用这组数构造出的形如y =x (x +A ) (x -B ) 的椭圆曲线，不可能是模曲线。
他的命题和谷山－韦依－志村猜想矛盾，如果能同时证明这两个命题，根据反证法就可以知道“费马大定理”不成立，这一假定是错误的，从而就证明了费马大定理。但当时他没有严格证明他的命题。1986年，美国数学家里贝特证明了弗雷命题，于是希望便集中于谷山－韦依－志村猜想。
怀尔斯从小就有个梦想：证明费马大定理。当他得知弗雷和里贝特后，兴奋不已，立刻投入到解决费马大定理的征程中。终于，经过7年的不懈努力，他于1993年宣布自己证
明了费马大定理。但很快，证明被数学家们发现有漏洞。最后，怀尔斯花了一年的时间，和自己以前的学生理查德·泰勒一起补上了这个漏洞，证明了费马大定理。实际上，怀尔斯并没有完全证明谷山－韦依－志村猜想，他只是证明了有理数域上半稳定的椭圆曲线是模曲线，而这已经能够导出费马大定理。最后，在怀尔斯证明费马大定理的推动下，1999年由Breuil 、Conrad 、Diamond 和Taylor 作出谷山－韦依－志村猜想的证明。他们是在怀尔斯工作的基础上，一块一块的逐步证明剩下的情况直到全部完成。
谷山－韦依－志村猜想揭示了椭圆曲线与自守形式（模形式）之间的关系，前者是具有深刻算术性质的几何对象，后者是来源于截然不同的数学分析领域的高度周期性的函数。它的证明并给了朗兰兹纲领重大支持。朗兰兹纲领则提出了数论中的伽罗瓦表示与分析中的自守形式之间的一个关系网。
第二位因为研究朗兰兹纲领而获得菲尔兹奖的数学家是洛朗·拉佛阁。拉佛阁1966年11月6日生于法国安东尼，1986年毕业于巴黎高等师范学校，1990年成为法国国家科学研究中心的助理研究员，同时参加巴黎南大学的算术与代数几何小组的工作并于1994年获博士学位。2000年他成为位于法国伊沃特布雷的高等科学研究院的终身数学教授。他在朗兰兹纲领研究方面取得了巨大的进展，他证明了与函数域情形相应的整体朗兰兹纲领，于2002年获得了菲尔兹奖。他的工作的特点是：令人惊叹的技巧，深刻的洞察力和系统有力的方法。
拉佛阁所证明的相应的整体朗兰兹纲领，对更抽象的所谓函数域而非通常的数域情形提供了这样一种完全的理解。我们可以将函数域设想为由多项式的商组成的集合，对这些多项式商可以像有理数那样进行加、减、乘、除。拉佛阁对于任意给定的函数域建立了其伽罗瓦群表示和与该域相对应的自守形式（或称为模形式）之间的精确联系。拉佛阁的研究是以1990年菲尔茨奖获得者弗拉基米尔·德里菲尔德的工作为基础，后者在1978年证明了相应的朗兰兹纲领的特殊情形。拉佛阁首先认识到德里菲尔德的工作可以被推广而为函数域情形的相应的朗兰兹纲领提供一幅完整的图像。在这一工作的过程中，拉佛阁还发现了一种将来可能被证明是十分重要的新的几何构造。所有这些发展的影响正在波及整个数学。
第三位因为研究朗兰兹纲领而获得菲尔兹奖的数学家是越南数学家吴宝珠。吴宝珠1972年6月28日生于越南。学生时代，吴宝珠先后就读于河内的讲武实验小学、征王基础中学，他15岁入读河内国家大学属下的河内自然科学大学的附属专科普通中学数学专修组。他参加第29届和第30届国际数学奥林匹克，连得两枚金牌。1997年他获得巴黎第十一大学博士学位，指导教授为热拉尔·洛蒙。他从1998年起在法国国家科学研究中心作研究至2005年。2003年他通过特许任教资格答辩。2005年他成为巴黎第十一大学教授。现任教于美国芝加哥大学。2010年，他因 “通过引入新的代数-几何学方法”证明朗兰兹纲领的基本引理菲尔兹奖。
1993年在导师洛蒙教授的建议下，吴宝珠开始研究朗兰兹纲领的问题。在博士论文中，吴宝珠解决了一个非常类似于朗兰兹纲领基本引理的问题。这让他感到解决基本引理的思路开始清晰了。从1998年开始，吴宝珠以他特有的节奏，向着攻克基本引理的目标而去。2003年是吴宝珠研究工作的一个转折点，当时他已经确切想清楚了基本引理证明中与几何学相关的每一个问题。随后，他和洛蒙教授共同证明了基本引理的酉群（ 一般线性群的一个子群）
情形，2004年两人因此获得美国clay 研究奖，这项成果也使吴宝珠在数学界凸显了出来。但因为酉群情形不适用于普通形式，所以距离证明基本引理还有很多工作要做。
2006年， 吴宝珠应邀到美国普林斯顿高等研究院访问，这一次的访问，为他彻底解决一般情形下基本引理的证明创造了契机。在与高等研究院学者们不断的交谈和讨论中，吴宝珠逐渐明晰了后续的证明思路，并确信找到了证明朗兰兹纲领基本引理的方法。返回巴黎后，他便开始全身心投入到引理的完整证明中，完成了超过200页的证明手稿。经过漫长的审查，2010年吴宝珠的的论文《李代数的基本引理》终于被法国《高等科学研究所数学出版物》接受发表。现在，全世界的数学家终于可以松一口气。30多年来，不少人的研究都需假设基本引理正确，有了这项突破，这些研究成果得以完满确立。而吴宝珠为了解决基本引理的一般情形，他前后花了10年时间。他说：基本引理只是整个纲领的基础，只是整个朗兰兹纲领的一座小山峰， 爬过这座山峰后，就可以瞭望朗兰兹纲领，而前面却是一座大山。整个纲领的研究也许会耗尽他一生的时间。
朗兰兹纲领是对现在数学诸多领域一种统一性的看法和普遍性的观点，由一系列规模宏大的猜想所组成，其中有些猜想甚至还没有形成明确的数学语言。目前，对朗兰兹纲领虽然取得了重大的进展，但正如吴宝珠所说的，现在数学家们面对的是一座大山，翻越这座大山将更加为的困难。如今，随着越来越多的数学家研究朗兰兹纲领，朗兰兹纲领中的所有猜想终将明晰起来，所有的猜想都将被解决，人们对数学的认识也将更加的深化。相信随着对朗兰兹纲领的逐渐突破，也会有更多的数学家因此而获得菲尔兹奖，二者将交相辉映继续谱写着美丽的数学乐章。