《高等数学》课程教学大纲
一、课程基本情况
开课单位：数理系 课程编码：B080101
适应专业：高职高专工程类专业 修课方式：必修
总学时：110学时 考核方式：考试
教 材：侯风波 《高等数学(第二版) 》 高等教育出版社出版 2003年8月
教学参考资料：
1. 侯风波《高等数学训练教程》 高等教育出版社出版 2003年8月
2. 侯风波《高等数学电子教案》 高等教育出版社出版 2003年8月
3. 侯风波《高等数学学习系统》 高等教育出版社出版 2003年8月
4. 侯风波《高等数学助学课件》 高等教育出版社出版 2003年8月
5. 侯风波 《高等数学》 机械工业出版社出版 1997年5月
6. 同济大学数学教研室《高等数学》高等教育出版社出版 1996年12月
7. D.休斯·哈雷特等《微积分》高等教育出版社出版 1997年10月
8. 宣立新 《高等数学》 高等教育出版社出版 1999年9月
9. 李心灿 《高等数学》(大专使用) 高等教育出版社出版 1999年10月
10. 李心灿《高等数学学习辅导书》(大专使用) 高等教育出版社出版1999年10月 二、 课程的性质、任务和目的
高等数学课程是高职高专院校理工类各专业必修的一门重要的基础课。通过本课程的学习，学生将较系统地获得大纲所列内容的基本知识、必需的基础理论和常用的运算方法，为学生学习后继课程和解决实际问题提供必不可少的数学基础知识及常用的数学方法。
通过教学要实现传授知识和发展能力两方面的教学目的，能力培养要贯穿教学全过程。本课程关于能力方面的要求是：逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力、自学能力、综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力、初步的抽象概括问题的能力以及一定的逻辑推理能力。教学中要认真探讨和贯彻“以应用为目的，以必需够用为度”的教学原则。教学重点要放在“掌握概念，强化应用，培养技能”上。执行大纲时，要注意以下几点：
1．适当注意数学自身的系统性和逻辑性，课程内容应具有较大的覆盖面，不同专业在保证必修内容的基础上，可以根据需要有所侧重和选择。
2．对难度较大的部分基础理论，不追求严格的论证和推导，只作简单说明。
3．对与实际应用联系较多的基础知识、基本方法和基本技能应重点加强。
4．注重基本运算的训练，不追求过分复杂的计算和变换。
三、课程的主要内容与学时分配
（一） 函数（2学时）
1． 函数概念、分段函数、复合函数、基本初等函数，简单实际问题中的函数关系建立。（2学时）
（二）极限与连续（8学时）
1. 函数极限概念，无穷小、无穷大概念及其相互关系，无穷小比较。（2学时） 2. 极限运算法则，两个重要极限。（2学时）
3. 函数连续概念，间断点分类，初等函数连续性，闭区间上连续函数性质。（2学时） 4. 习题课：极限的运算，函数的连续性。（2学时）
（三） 一元函数微分学（18+2*学时）
1． 导数概念及其几何意义，变化率举例，可导与连续关系。（2学时）
2． 导数运算法则和基本公式。（2学时）
3． 隐函数和参数方程所确定函数的导数，高阶导数。（2学时）
4． 微分概念，微分运算及微分在近似计算中的应用。（2学时）
5． 柯西中值定理与拉格朗日中值定理，洛比达法则，未定式00, ∞的极限，函数单调性判别。（2学时）
6． 函数极值的概念和函数极值求法，简单实际问题的最值的求解，函数的凹凸性、拐点，简单函数图形的描绘。（4学时）
*7. 曲率和曲率半径的概念，曲率和曲率半径的求法。（2学时）
8．习题课：导数的概念与运算，函数的单调性、极值与最值。（4学时）
（四） 一元函数积分学（16学时）
1． 不定积分的概念与性质，不定积分基本公式。（2学时）
2． 不定积分的第一、第二换元积分法，分部积分法，积分表使用。（2学时） 3． 定积分概念，定积分性质。（2学时）
4． 原函数存在定理，微积分基本公式。（2学时）
5． 定积分的换元积分法和分部积分法、反常积分。（2学时）
6． 定积分的微元法，平面图形的面积，旋转体的体积，平面曲线弧长。（2学时）
7. 变力做功，物体质量，液体压力等物理量的定积分表达式。（2学时）
8. 习题课：定积分的概念与运算，定积分的应用。（2学时）
（五） 常微分方程（8学时）
1． 常微分方程、方程的阶、解、通解、特解等基本概念，可分离变量的微分方程的解法。（2学时）
(n ) y =f (x ), y ''=f (x , y ') 及2． 一阶线性微分方程的解法。特殊的高阶微分方程
y ''=f (y , y ') 的降阶法。（2学时）
3． 二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的解法，自由项为多项式与指数函数之积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。（2学时）
4．习题课：一阶微分方程及二阶常系数齐次线性微分方程的解法。（2学时）
(六) 向量代数与空间解析几何（8学时）
1．空间直角坐标系及向量的概念（向量、单位向量、向量模与方向余弦）。向量的运算（线性运算、数量积、向量积）两个向量平行与垂直条件。（2学时）
2．平面方程（点法式、一般式）与直线方程（点向式、一般式）。（2学时）
3．常用二次曲面，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程及其图形。空间曲面关于坐标面的投影柱面及投影曲线。（2学时）
4．习题课：向量的点积与叉积，平面方程与直线方程。（2学时）
（七）多元函数微分学（10+2*学时）
1．多元函数概念，二元函数极限与连续的概念，偏导数概念。（2学时）
2．全微分概念及其几何意义，复合函数的求导法则。（2学时）
3．隐函数的求导法则，曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线。（2学时）
4．多元函数极值概念，函数极值的求法，条件极值与拉格朗日乘数法。简单实际问题的最值应用。（2学时）
*5.方向导数与梯度概念及计算。（2学时）
6．习题课：偏导数与全微分概念及运算，条件极值。（2学时）
（八）多元函数积分学（10+2*学时）
1．二重积分的概念，二重积分的性质，二重积分的计算方法（直角坐标与极坐标）。（2学时）
2．三重积分的概念，三重积分的计算（直角坐标、柱坐标与球面坐标）。（2学时）
3．对坐标的曲线积分概念与性质，对坐标曲线积分的计算。格林公式，曲线积分与路径无关的条件。（4学时）
*4．对坐标的曲面积分的概念与计算，高斯公式。（2学时）
5．习题课：二重积分与三重积分概念及运算，对坐标的曲线积分概念。（2学时）
（九）无穷级数（8+4*学时）
1．无穷级数收敛、发散的概念，无穷级数性质。正项级数比较、比值审敛法。交错级数审敛法，绝对收敛与条件收敛。（2学时）
2．幂级数的概念，幂级数的收敛区间，幂级数的基本性质。（2学时）
1x ,e ,sin x 1-x 3．泰勒公式和函数展开成泰勒级数的充要条件。用的麦克劳林展开式将
一些简单函数展开成幂级数，幂级数的简单应用。（2学时）
*4．傅立叶级数概念，将函数展开成傅立叶级数的充分条件，以2π为周期的函数及定义在[-π，π]和[-L,L]上的函数展开成傅立叶级数，在（0，L ）上将函数展开成正弦和余弦级数。（4学时）
5．习题课：正项级数审敛法，幂级数的敛散性，函数展开成幂级数。（2学时）
（十）数学软件包（20学时）
1．Mathematica 简介及用Mathematica 作初等数学(算术运算，代数运算，函数运算，解代数方程) 。（2学时）
2．用Mathematica 做一元函数微积分(求函数极限，求函数的导数, 求函数的单调区间及极值，凹凸区间及拐点，作函数图形，最值问题的数学模型, 求不定积分，求定积分，求反常积分，定积分应用中的数学模型，常微分方程的求解，常微分方程组的求解，常微分方程应用中的数学模型) 。（2学时）
3．用Mathematica 做多元函数微积分(进行向量的运算，平面与直线，作三维图形, 求二元函数的极限，求偏导数与全微分，求二元函数极值，求二重积分与三重积分，多元函数微积分应用中的数学建模，对幂级数进行加、减、乘、除、复合、微分、积分运算。幂级数的展开，幂级数近似计算应用) 。（2学时）
4. 用Mathematica 进行数学建模。（2学时）
5. 上机实验（12学时）
(1) 用Mathematica 作初等数学。（2学时）
(2) 用Mathematica 求函数极限，求函数的导数, 求函数的单调区间及极值，凹凸区间及拐点，作函数图形，最值问题的数学模型。（2学时）
(3) 用Mathematica 求不定积分，求定积分，求反常积分，定积分应用中的数学模型，常微分方程的求解，常微分方程组的求解，常微分方程应用中的数学模型。（2学时）
(4) 用Mathematica 进行向量的运算，平面与直线，作三维图形, 求二元函数的极限，求偏导数与全微分，求二元函数极值，求二重积分与三重积分，多元函数微积分应用中的数学建模，对幂级数进行加、减、乘、除、复合、微分、积分运算。幂级数的展开，幂级数近似计算应用。（2学时）
(5) 用Mathematica 进行数学建模。（4学时）
注：表中内容不包括带*号内容，如选带*号内容，课时另计。
四、课程教学基本要求及重点
1．函数教学基本要求
（1）理解函数的概念。
（2）了解分段函数。
（3）了解复合函数的概念。
（4）掌握基本初等函数，理解初等函数的概念
（5）能熟练列出简单问题的函数关系式。
单元教学重点：
函数的概念、基本初等函数
2．极限与连续教学基本要求
（1）了解函数极限的描述性定义。
（2）了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系，会对无穷小进行比较。
（3）知道夹逼准则和单调有界数列极限存在准则，会用两个重要极限求极限。
（4）掌握极限四则运算法则。
（5）理解函数在一点连续的概念，会判断间断点的类型。
（6）了解初等函数的连续性，知道在闭区间上连续函数的性质（介值定理、最大值和最小值定理。）
（7）会求连续函数和分段函数的极限。
单元教学重点：
极限与无穷小的概念，利用两个重要极限求极限，利用极限四则运算法则求极限，函数的连续性。
3．一元函数微分学教学基本要求
（1）理解导数和微分的概念，了解导数、微分的几何意义，知道函数可导、可微、连续之间的关系，能用导数描述一些实际问题中的变化率。
（2）熟悉导数和微分的运算法则（包括微分形式不变性），导数的基本公式。了解高x e 阶导数的概念，掌握初等函数一、二阶导数的求法，知道,sin x x ) 的n 阶导数。
（3）会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶导数。
（4）知道柯西中值定理，了解拉格朗日中值定理。
（5）理解函数的极值概念。掌握求函数的极值，判断函数的增减与函数图形的凹向，以及求函数图形的拐点等方法，能描绘简单的常用函数的图形（包括水平渐近线和铅直渐近线）。掌握简单的最大值和最小值的应用题的求解。
（6）会用洛必达（L ’Hospital ）法则求未定型0/0与∞/∞的极限（其它未定型不作要求）。
*（7）知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
单元教学重点：
导数和微分的概念，导数的基本公式，导数和微分的运算法则, 拉格朗日（Lagrange ）中值定理，洛必达（L ’Hospital ）法则，函数的单调性与极值，简单的最大值和最小值的应用题的求解。
4．一元函数积分学教学基本要求
（1）理解不定积分和定积分的概念及其性质。
（2）熟悉不定积分的基本公式，掌握不定积分的第一类换元法和分部积分法，会用第二类换元法（限于三角置换，根式置换），会查积分表。
（3） 知道变上限的定积分是变上限的函数，知道有关求导定理。熟练掌握牛顿（Newton ）—莱布尼兹（Leibniz ）公式。
（4）了解反常积分的概念，会计算一些简单的无穷限反常积分。
（5）掌握定积分的微元法，能用于列写某些几何量和物理量的定积分表达式。
单元教学重点：
不定积分和定积分的概念，不定积分和定积分的换元积分法及分部积分法，牛顿（Newton ）—莱布尼兹（Leibniz ）公式，定积分的微元法及在某些几何量和物理量方面的应用。
5．常微分方程教学基本要求
（1）了解微分方程、方程的阶、解、通解、初始条件、特解等概念。
（2）熟练掌握可分离变量微分方程及一阶线性微分方程的解法。
（3）知道特殊的高阶微分方程y (n ) =f (x ), y ''=f (x , y ') 及y ''=f (y , y ') 的降阶法。
（4）了解二阶线性微分方程解的结构。
（5）熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
λx P (x )e m （6）知道自由项为的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。
（7）会用微分方程知识解决一些简单的实际问题。
单元教学重点：
微分方程的基本概念，可分离变量微分方程及一阶线性微分方程的解法，二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
6．向量代数与空间解析几何教学基本要求
（1）理解空间直角坐标系。
（2）理解向量的概念。
（3）掌握向量的坐标表示及运算（线性运算、点乘及叉乘），会求两个向量的夹角，知道向量的方向余弦，知道两个向量平行与垂直的充要条件。
（4）了解平面方程、直线方程的概念，会求简单的平面方程，直线方程。
（5）了解曲面方程的概念。知道常用二次曲面的方程及其图形，知道以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程及其图形。
（6）知道空间曲线的参数方程和一般方程，会求简单空间曲线在坐标平面上投影。 单元教学重点：
向量的概念，向量的坐标表示及运算，两个向量平行与垂直的充要条件。简单的平面方程与直线方程的确定，常用二次曲面的方程及其图形。
7．多元函数微分学教学基本要求
（1）理解多元函数的概念。
（2）知道二元函数的极限、连续性等概念，及有界闭域上连续函数的性质。
（3）了解偏导数、全微分的概念。
（4）掌握复合函数的求导法则。会求二阶偏导数（抽象函数的二阶偏导数不作要求）。
（5）会求隐函数的偏导数。
（6）会求曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线。
*（7）了解方向导数和梯度的概念。
（8）了解多元函数极值的概念，会求函数的极值。了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值。会解一些简单的最大值和最小值的应用。
单元教学重点：
多元函数的概念, 偏导数、全微分的概念, 复合函数的求导法则, 曲面的切平面与法线, 多元函数极值及一些简单的最大值和最小值的应用。
8．多元函数积分学教学基本要求
（1）理解二重积分的概念，知道二重积分的性质。
（2）掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。
（3）会用二重积分解决简单的应用题（体积、质量、曲面面积、重心、转动惯量）。
（4）了解三重积分的概念，会确定三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）的积分限。
(5)了解对坐标的曲线积分的概念，知道它的性质，掌握它的计算方法。
(6)知道格林公式，会运用曲线积分与路径无关的条件。
* (7)知道对坐标的曲面积分的概念，会求对坐标的曲面积分。
单元教学重点：
二重积分的概念，二重积分的计算方法（直角坐标，极坐标），对坐标的曲线积分的概念及计算方法，格林（Green ）公式及曲线积分与路径无关的条件。
9．无穷级数教学基本要求
（1）理解无穷级数的收敛、发散及级数和的概念。了解无穷级数收敛的必要条件，知道无穷级数的基本性质。
（2）了解几何级数和p -级数的收敛性。
（3）会用正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。
（4）掌握交错级数的莱布尼兹审敛法。
（5）知道无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，及绝对收敛与条件收敛的关系。
（6）会求幂级数的收敛半径。
（7）知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。
（8）知道泰勒(Taylor)公式和函数展开成泰勒级数的的充要条件( 不证), 掌握利用1,e x ,sin x 1-x 的麦克劳林（Maclaurin ）展开式把一些简单的函数间接展开成幂级数, 会利
m ln(1+x ),(1+x ) 用的麦克劳林展开式把一些简单的函数间接展开成幂级数。
*（9）知道函数展开成傅里叶级数的充分条件，并能将以2π为周期的及定义在[-π，π]和[-L，L]上的函数展开成傅里叶级数，能将定义在[0，L]上的函数展开成正弦或余弦级数。
单元教学重点：
无穷级数的基本性质, 幂级数的性质, 函数展开成幂级数
9．数学软件包教学基本要求
(1)了解数学软件包的主要功能，会用数学软件包作算术运算，代数运算，函数运算，解代数方程。
(2)掌握用Mathematica 求函数极限，求函数的导数，会用Mathematica 求函数的单调区间及极值，凹凸区间及拐点，作函数图形，解最值问题的数学模型。
(3)掌握用Mathematica 求不定积分，求定积分，求广义积分，定积分应用中的数学模型。
(4) 掌握用Mathematica 求解常微分方程，常微分方程组，会用Mathematica 求解常微分方程应用中的数学模型。
(5)会用Mathematica 进行向量的运算，平面与直线，作三维图形。
(6)掌握用Mathematica 求二元函数的极限，求偏导数与全微分，求二重积分与三重积分，会用Mathematica 求二元函数极值，解多元函数微积分应用中的数学模型。
(7) 会用Mathematica 对幂级数进行加、减、乘、除、复合、微分、积分运算。会解幂级数的展开，幂级数近似计算应用问题。
单元教学重点：
用Mathematica 求函数极限，导数, 不定积分与定积分, 偏导数与全微分, 二重积分
五、实验课时分配表
六、大纲说明与教法建议
1. 本大纲是结合三年制高职高专培养应用性人才的需要及近年来对高等数学课程的教研教改所取得的成果制订的，在制订过程中参考了本校历年，特别是1999年制订的《高等数学教学大纲》。
2． 在本课程的教学中，要从高职高专教育的培养目标出发，正确处理好“以应用为目的”和“以必需、够用为度”的关系，全面实现高等数学课程作为重要基础课的教学基本要求。同时，要注意与相关课程的配合与衔接。
3． 本课程的教学以掌握概念、强化应用、培养技能为教学重点。在教学的各个环节中，要充分注意引导学生通过对各种实际问题建立数学模型、求解及分析，掌握数学概念、方法的应用，逐步培养综合运用所学知识解决实际问题的能力。要结合教学内容特点培养学生独立学习习惯。要充分重视习题课的安排和课外作业的选择。要使学生有足够的复习和练习时间，及时地、正确地独立完成足够数量的课外作业。
4． 在教学中必须注意培养学生如下四方面的能力：一是用数学思想、概念、方法消化吸收工程概念和工程原理的能力；二是把实际问题转化为数学模型的能力；三是求解数学模型的能力；四是创造性思维的能力。培养学生用数学思想、概念、方法消化吸收工程概念和工程原理的能力，必须重视数学概念的教学；培养学生把实际问题转化为数学模型的能力，必须重视数学建模训练；培养学生求解数学模型的能力，必须结合计算机和数学软件包进行数学教学。另外，数学是最好的思维体操，作为数学教师应有意识地去结合教学内容培养学生的逻辑思维、类比思维、发散思维及联想思维等各种思维能力，帮助他们欣赏数学美。进而，培养学生的创新能力。
5．要不段探索适合高职高专教育特点和要求的教学方式，注意现代化教学手段的应用，特别是立体化教学包的运用, 发挥教与学两个方面的积极性和教师的主导作用，切实提高教学质量和教学效率，在规定的学时范围内，结合专业特点，保证总体大纲的贯彻执行。
6．教学 基本要求分为三个级别：
概念﹑理论：“理解” ﹑“了解”﹑“知道”
运算方法：“熟练掌握” ﹑“掌握” ﹑“能” 。
“熟悉”相当于“理解”或“熟练掌握”。
执行大纲时, 要认真研究不同级别的能力层次要求, 切实做到分级教学, 把握教学质量观。
7．本大纲所列各专业必修内容实际总学时不低于110学时，其中讲课与习题课比例约为4：1，上机实验12学时。课内、课外学时比例需达到1:1.5，以保证复习时间并完成总量不低于468题的课外作业。上机实验后, 必须有相应的课下上机作业。
8. 关于数学软件包建议结合教学进程分阶段安排, 一般一元微积分安排一次(4+6学时), 多元微积分安排一次(4+6学时) 。
9. 关于带*号内容的说明:
(1). 曲率和曲率半径的概念，曲率和曲率半径的求法。（2学时）-------机械类各专业必选。
(2).方向导数与梯度概念及计算。（2学时）--------热能工程类各专业必选。
(3)．对坐标的曲面积分的概念与计算，高斯公式。（2学时）-------电气工程类各专业必选。
(4)．傅立叶级数概念，将函数展开成傅立叶级数的充分条件，以2π为周期函数及定义在[-π，π]和[-L,L]上的函数展开成傅立叶级数，在（0，L ）上将函数展开成正弦和余弦级数。（4学时）--------电气工程类及机械工程类各专业必选。
10. 本大纲自2006/2007学年第一学期开始执行。
高等数学教研室
2006年7月20日